復變函數(shù)西安交大第四版第八講

1、第八講 留數(shù),1. 定義 2. 分類 3. 性質(zhì) 4. 零點與極點的關(guān)系,5.1 孤立奇點,1. 定義,例如,-z=0為孤立奇點,-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇點,-z=1為孤立奇點,這說明奇點未 必是孤立的。,2. 分類,以下將f (z)在孤立奇點的鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，根 據(jù)展開式的不同情況，將孤立點進行分類?？疾欤?特點：,沒有負冪次項,特點：,只有有限多個負冪次項,特點：,有無窮多個負冪次項,定義 設(shè)z0是f (z)的一個孤立奇點，在z0 的去心鄰域內(nèi)， 若f (z)的洛朗級數(shù),沒有負冪次項，稱z=z0為可去奇點;,只有有限多個(m個)負冪次項，稱z=z0為m

2、 級極點;,有無窮多個負冪次項，稱z=z0為本性奇點。,3. 性質(zhì),z0為f (z)的可去奇點,z0為f (z)的m (m 1) 級極點,例如：,z=1為f (z)的一個三級極點， z=i為f (z)的一級極點。,z0為f (z)的本性奇點,4. 零點與極點的關(guān)系,定義 不恒等于0的解析函數(shù)f (z)如果能表示成,例如：,定理,事實上，,必要性得證！,充分性略！,例如,定理:,證明,“”若z0為f (z)的m 級極點,例,解顯然，z=i 是(1+z2)的一級零點,綜合,1. 留數(shù)的定義 2. 留數(shù)定理 3. 留數(shù)的計算規(guī)則,5.2 留數(shù)(Residue),1. 留數(shù)的定義,定義設(shè) z0 為 f

3、 (z) 的孤立奇點， f (z) 在 z0為中心的圓環(huán) 鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負冪次項 (z- z0)1 的系數(shù) c1 稱為f (z)在 z0 的留數(shù)，記作 Res f (z), z0 或 Res f (z0)。,由留數(shù)定義, Res f (z), z0= c1 (1),2. 留數(shù)定理,定理,證明,由復合閉路定理得：,用2i 除上式兩邊得:,得證！,求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立 奇點的留數(shù)。,一般求 Res f (z), z0 是采用將 f (z) 在 z0 鄰域內(nèi) 展開成洛朗級數(shù)求系數(shù) c1 的方法, 但如果能先知道 奇點的類型，對求留數(shù)更為有利。,以下就三類孤立奇點進行討論：,3

4、. 留數(shù)的計算規(guī)則,規(guī)則I,規(guī)則II,事實上，由條件,當m=1時，式(5)即為式(4).,規(guī)則III,事實上，,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故由留數(shù)定理得：,(1)要靈活運用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留 數(shù)，不要死套規(guī)則。,如,是f (z)的三級極點。,-該方法較規(guī)則II更簡單！,但求導比較麻煩,(2) 由規(guī)則II 的推導過程知，在使用規(guī)則II 時，可將 m 取得比實際級數(shù)高，這可使計算更 簡單。,如,5.3 留數(shù)在定積分計算上的應用,1. 形如 的積分, 其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq 的有理函數(shù). 令z=eiq, 則dz=ieiqdq,其中f(z)是z的有理函數(shù),

5、 且在單位圓周|z|=1上分母不為零, 根據(jù)留數(shù)定理有,其中zk(k=1,2,.,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點.,例1 計算 的值.,解 由于0p1, 被積函數(shù)的分母在0q2p內(nèi)不為零, 因而積分是有意義的. 由于 cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2, 因此,在被積函數(shù)的三個極點z=0,p,1/p中只有前兩個在圓周|z|=1內(nèi), 其中z=0為二級極點, z=p為一級極點.,的積分 當被積函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù), 而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次, 并且R(x)在實軸上沒有孤立奇點時, 積分是存在的. 不失一般性, 設(shè),2. 形如,為一已約分式.

6、,取積分路線如圖所示, 其中CR是以原點為中心, R為半徑的在上半平面的半圓周. 取R適當大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點zk都包在這積分路線內(nèi).,-R,z1,z2,z3,CR,R,O,x,y,此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.,的值,例計算下列積分：,的一級極點為ai,bi, 其中ai與bi在上半平面內(nèi),解 這里m=4,n=2,m-n=2,并且實軸上R(z)沒有孤立奇點, 因此積分是存在的.函數(shù),3. 形如 的積分,當R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 且R(x)在實數(shù)軸上沒有奇點時, 積分是存在的. 象2中處理的一樣, 由于m-n1, 故對充分大的|z|有,因此, 在半徑R充分大的CR上, 有,的