復(fù)變函數(shù)西安交大第四版第八講

1、第八講 留數(shù),1. 定義 2. 分類 3. 性質(zhì) 4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,5.1 孤立奇點(diǎn),1. 定義,例如,-z=0為孤立奇點(diǎn),-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇點(diǎn),-z=1為孤立奇點(diǎn),這說明奇點(diǎn)未 必是孤立的。,2. 分類,以下將f (z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，根 據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類?？疾欤?特點(diǎn)：,沒有負(fù)冪次項(xiàng),特點(diǎn)：,只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng),特點(diǎn)：,有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng),定義 設(shè)z0是f (z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，在z0 的去心鄰域內(nèi)， 若f (z)的洛朗級(jí)數(shù),沒有負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為可去奇點(diǎn);,只有有限多個(gè)(m個(gè))負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為m

2、 級(jí)極點(diǎn);,有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為本性奇點(diǎn)。,3. 性質(zhì),z0為f (z)的可去奇點(diǎn),z0為f (z)的m (m 1) 級(jí)極點(diǎn),例如：,z=1為f (z)的一個(gè)三級(jí)極點(diǎn)， z=i為f (z)的一級(jí)極點(diǎn)。,z0為f (z)的本性奇點(diǎn),4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,定義 不恒等于0的解析函數(shù)f (z)如果能表示成,例如：,定理,事實(shí)上，,必要性得證！,充分性略！,例如,定理:,證明,“”若z0為f (z)的m 級(jí)極點(diǎn),例,解顯然，z=i 是(1+z2)的一級(jí)零點(diǎn),綜合,1. 留數(shù)的定義 2. 留數(shù)定理 3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則,5.2 留數(shù)(Residue),1. 留數(shù)的定義,定義設(shè) z0 為 f

3、 (z) 的孤立奇點(diǎn)， f (z) 在 z0為中心的圓環(huán) 鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng) (z- z0)1 的系數(shù) c1 稱為f (z)在 z0 的留數(shù)，記作 Res f (z), z0 或 Res f (z0)。,由留數(shù)定義, Res f (z), z0= c1 (1),2. 留數(shù)定理,定理,證明,由復(fù)合閉路定理得：,用2i 除上式兩邊得:,得證！,求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立 奇點(diǎn)的留數(shù)。,一般求 Res f (z), z0 是采用將 f (z) 在 z0 鄰域內(nèi) 展開成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù) c1 的方法, 但如果能先知道 奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利。,以下就三類孤立奇點(diǎn)進(jìn)行討論：,3

4、. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則,規(guī)則I,規(guī)則II,事實(shí)上，由條件,當(dāng)m=1時(shí)，式(5)即為式(4).,規(guī)則III,事實(shí)上，,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故由留數(shù)定理得：,(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開來求留 數(shù)，不要死套規(guī)則。,如,是f (z)的三級(jí)極點(diǎn)。,-該方法較規(guī)則II更簡(jiǎn)單！,但求導(dǎo)比較麻煩,(2) 由規(guī)則II 的推導(dǎo)過程知，在使用規(guī)則II 時(shí)，可將 m 取得比實(shí)際級(jí)數(shù)高，這可使計(jì)算更 簡(jiǎn)單。,如,5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用,1. 形如 的積分, 其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq 的有理函數(shù). 令z=eiq, 則dz=ieiqdq,其中f(z)是z的有理函數(shù),

5、 且在單位圓周|z|=1上分母不為零, 根據(jù)留數(shù)定理有,其中zk(k=1,2,.,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點(diǎn).,例1 計(jì)算 的值.,解 由于0p1, 被積函數(shù)的分母在0q2p內(nèi)不為零, 因而積分是有意義的. 由于 cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2, 因此,在被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)z=0,p,1/p中只有前兩個(gè)在圓周|z|=1內(nèi), 其中z=0為二級(jí)極點(diǎn), z=p為一級(jí)極點(diǎn).,的積分 當(dāng)被積函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù), 而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次, 并且R(x)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)時(shí), 積分是存在的. 不失一般性, 設(shè),2. 形如,為一已約分式.

6、,取積分路線如圖所示, 其中CR是以原點(diǎn)為中心, R為半徑的在上半平面的半圓周. 取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)zk都包在這積分路線內(nèi).,-R,z1,z2,z3,CR,R,O,x,y,此等式不因CR的半徑R不斷增大而有所改變.,的值,例計(jì)算下列積分：,的一級(jí)極點(diǎn)為ai,bi, 其中ai與bi在上半平面內(nèi),解 這里m=4,n=2,m-n=2,并且實(shí)軸上R(z)沒有孤立奇點(diǎn), 因此積分是存在的.函數(shù),3. 形如 的積分,當(dāng)R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 且R(x)在實(shí)數(shù)軸上沒有奇點(diǎn)時(shí), 積分是存在的. 象2中處理的一樣, 由于m-n1, 故對(duì)充分大的|z|有,因此, 在半徑R充分大的CR上, 有,的