橢圓講義最新

1、橢圓講義知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：1橢圓的概念在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡(或集合)叫橢圓這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若ac，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若ac，則集合P為空集2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0

2、)軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a短軸B1B2的長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|2c離心率e，e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b2自我檢測(cè)1已知兩定點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，點(diǎn)M滿足MAMB2，則點(diǎn)M的軌跡是_2“mn0”是方程“mx2ny21表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的_條件3已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是_4橢圓1的焦點(diǎn)為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，那么PF1_，PF2_.5橢圓5x2ky25的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，那么k_.例1、(1)已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A

3、是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC是周長(zhǎng)是()A2B6C4 D12解析 ：根據(jù)橢圓定義，ABC的周長(zhǎng)等于橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的2倍，即4.訓(xùn)練1、已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，且橢圓上一點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為_解析：設(shè)橢圓方程為1(ab0)，根據(jù)橢圓定義2a12，即a6，又，得c3，故b2a2c236279，故所求橢圓方程為1.答案：1例2、一動(dòng)圓與已知圓O1：(x3)2y21外切，與圓O2：(x3)2y281內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程解如圖所示，設(shè)動(dòng)圓的圓心為C，半徑為r.則由圓相切的性質(zhì)知，CO11r，CO29r，CO1C

4、O210，而O1O26，點(diǎn)C的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a10,2c6，b4.動(dòng)圓圓心的軌跡方程為1.變式遷移1求過點(diǎn)A(2,0)且與圓x24xy2320內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程變式遷移1解將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：(x2)2y262，圓心B(2,0)，r6.設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，動(dòng)圓與已知圓的切點(diǎn)為C.則BCMCBM，而BC6，BMCM6.又CMAM，BMAM6AB4.點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)B(2,0)、A(2,0)為焦點(diǎn)、線段AB中點(diǎn)(0,0)為中心的橢圓a3，c2，b.所求軌跡方程為1.例3、求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長(zhǎng)軸是短軸的3倍且經(jīng)過點(diǎn)A(3,0)；(

5、2)經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,2)和B.解(1)若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為1 (ab0)橢圓過點(diǎn)A(3,0)，1，a3，又2a32b，b1，方程為y21.若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為1 (ab0)橢圓過點(diǎn)A(3,0)，1，b3，又2a32b，a9，方程為1.綜上可知橢圓的方程為y21或1.(2)設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)A(0,2)，B的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2ny21，將A，B坐標(biāo)代入方程得，所求橢圓方程為x21.變式遷移2(1)已知橢圓過(3,0)，離心率e，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(，1)、P2(，)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程變式遷移2解(1)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)

6、，a3，c，從而b2a2c2963，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b3，a227.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.(2)設(shè)橢圓方程為mx2ny21 (m0，n0且mn)橢圓經(jīng)過P1、P2點(diǎn)，P1、P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，則兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為1.例4、 已知曲線C：(5m)x2(m2)y28(mR)若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求m：的取值范圍；解析：曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，當(dāng)且僅當(dāng)(3分)解得m5，所以m的取值范圍是.例5、 6(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形

7、，則E的離心率為()A. B. C. D.解析：選C根據(jù)題意直線PF2的傾斜角是，所以ac|PF2|F1F2|2c，解得e.變式練習(xí)：(2012江西高考)橢圓1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_解析：依題意得|F1F2|2|AF1|BF1|，即4c2(ac)(ac)a2c2，整理得5c2a2，得e.答案：例6、已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF260.(1)求橢圓離心率的范圍；(2)求證：F1PF2的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)解析：(1)橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢

8、圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、PF1PF22a，得到a、c的關(guān)系(2)對(duì)F1PF2的處理方法(1)解設(shè)橢圓方程為1 (ab0)，PF1m，PF2n.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos 60.mn2a，m2n2(mn)22mn4a22mn.4c24a23mn，即3mn4a24c2.又mn2a2(當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)取等號(hào))，4a24c23a2.，即e.e的取值范圍是.(2)證明由(1)知mnb2，SPF1F2mnsin 60b2，即PF1F2的面積只與短軸長(zhǎng)有關(guān)變式遷移3已知橢圓1(ab0)的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M(在

9、x軸上方)向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F1，ABOM.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求F1QF2的取值范圍變式遷移3解(1)F1(c,0)，則xMc，yM，kOM.kAB，OMAB，bc，故e.(2)設(shè)F1Qr1，F(xiàn)2Qr2，F(xiàn)1QF2，r1r22a，F(xiàn)1F22c，cos 110，當(dāng)且僅當(dāng)r1r2時(shí)，cos 0，0，最值問題例7、設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值解:易知a2，b1，c，所以F1(，0)，F(xiàn)2(，0)設(shè)P(x，y)，則(x,y)(x,y)x2y23x213(3x28)因?yàn)?，故?dāng)x

10、=0, 即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值2；當(dāng)x=2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),有最大值1.變式練習(xí).點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，。（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值?！痉治觥苛蟹匠探M求得P坐標(biāo)；解幾中的最值問題通常可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，要注意橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)的范圍. 解：（1）由已知可得點(diǎn)A(6,0),F(0,4) 設(shè)點(diǎn)P(,),則=（+6, ）,=（4, ）,由已知可得 則2+918=0, =或=6. 由于0,只能=,于是=. 點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,) (2) 直線A

11、P的方程是+6=0. 設(shè)點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是. 于是=,又66,解得=2. 橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離有 ,由于66, 當(dāng)=時(shí),d取得最小值點(diǎn)撥:本題考查了二次曲線上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離范圍問題，通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題.課后練習(xí)(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,0)、B(4,0)，ABC的周長(zhǎng)為18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為_2已知橢圓1，長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m_.3已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若ABF2是等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率為_4已知圓(x2)2y2

12、36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是_5橢圓1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N是MF1的中點(diǎn)，則ON_.6已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為_7橢圓1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上若PF14，則PF2_；F1PF2的大小為_8如圖，已知點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓1 (ab0)上一點(diǎn)，若PF1PF2，tanPF1F2，則此橢圓的離心率是_二、解答題(共42分)9(14分)(2011常州模擬)已知方向向量為v(1，)的直線l過點(diǎn)(0，2)和橢圓C：1(ab

13、0)的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若已知點(diǎn)D(3,0)，點(diǎn)M，N是橢圓C上不重合的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍10(14分)橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若AB2，OC的斜率為，求橢圓的方程1.1 (y0)2.83.14.橢圓54解析連結(jié)MF2，已知MF12，又MF1MF210，故MF210MF18，如圖，ONMF24.6.1解析由已知得，2a12，a6，c3，b2a2c29.故橢圓方程為1.72120解析由PF1PF26，且PF14，知PF22，在PF1F2中，cosF1PF2.F1PF2120.8.解析由題得PF1F2為直角三角形

14、，設(shè)PF1m，tanPF1F2，PF2，F(xiàn)1F2m，e.9解(1)直線l的方向向量為v(1，)，直線l的斜率為k.又直線l過點(diǎn)(0，2)，直線l的方程為y2x.ab，橢圓的焦點(diǎn)為直線l與x軸的交點(diǎn)c2.又e，a.b2a2c22.橢圓方程為1.(6分)(2)若直線MNy軸，則M、N是橢圓的左、右頂點(diǎn)，或，即52或52.若MN與y軸不垂直，設(shè)直線MN的方程為xmy3(m0)由得(m23)y26my30.設(shè)M、N坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1y2，y1y2，36m212(m23)24m2360，m2.(x13，y1)，(x23，y2)，顯然0，且1，(x13，y1)(x23，y2)y1y2.代入，得210.m2，得210，即解得52b0)，且可知其左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.(5分)(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為yxt.由得3x23txt2120.(7分)因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.(9分)另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4，解得