數(shù)值分析常用的插值方法

1、數(shù)值分析報(bào)告班 級(jí)：專 業(yè)： 流水號(hào)：學(xué) 號(hào)：姓 名： 常用的插值方法序言在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上補(bǔ)插連續(xù)函數(shù)，使得這條連續(xù)曲線通過(guò)全部給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)。插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過(guò)函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。 早在6世紀(jì)，中國(guó)的劉焯已將等距二次插值用于天文計(jì)算。17世紀(jì)之后，牛頓、拉格朗日分別討論了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是數(shù)據(jù)處理和編制函數(shù)表的常用工具，又是數(shù)值積分、數(shù)值微分、非線性方程求根和微分方程數(shù)值解法的重要基礎(chǔ)，許多求解計(jì)算公式都是以插值為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。插值問(wèn)題的提法是：假定區(qū)間a，b上的實(shí)值函數(shù)f（x）在該區(qū)間上 n1個(gè)互

2、不相同點(diǎn)x0，x1xn 處的值是f（x0），f（xn），要求估算f（x）在a，b中某點(diǎn)的值。其做法是：在事先選定的一個(gè)由簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)成的有n1個(gè)參數(shù)C0，C1，Cn的函數(shù)類(C0，C1，Cn)中求出滿足條件P（xi）f（xi）（i0，1， n）的函數(shù)P(x)，并以P(x)作為f(x)的估值。此處f（x）稱為被插值函數(shù)，x0，x1，xn稱為插值結(jié)(節(jié))點(diǎn)，(C0，C1，Cn)稱為插值函數(shù)類，上面等式稱為插值條件，（C0，Cn）中滿足上式的函數(shù)稱為插值函數(shù)，R（x） f（x）P（x）稱為插值余項(xiàng)。求解這類問(wèn)題，它有很多種插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛頓(Newton)插值為代表的

3、多項(xiàng)式插值最有特點(diǎn)，常用的插值還有Hermit插值，分段插值和樣條插值。一拉格朗日插值1.問(wèn)題提出：已知函數(shù)在n+1個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，求任意一點(diǎn)的函數(shù)值。說(shuō)明：函數(shù)可能是未知的；也可能是已知的，但它比較復(fù)雜，很難計(jì)算其函數(shù)值。2.解決方法：構(gòu)造一個(gè)n次代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)替代未知（或復(fù)雜）函數(shù)，則用作為函數(shù)值的近似值。設(shè)，構(gòu)造即是確定n+1個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)。3.構(gòu)造的依據(jù)：當(dāng)多項(xiàng)式函數(shù)也同時(shí)過(guò)已知的n+1個(gè)點(diǎn)時(shí)，我們可以認(rèn)為多項(xiàng)式函數(shù)逼近于原來(lái)的函數(shù)。根據(jù)這個(gè)條件，可以寫出非齊次線性方程組：其系數(shù)矩陣的行列式D為范德萌行列式：故當(dāng)n+1個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相同時(shí)，方程組系數(shù)矩陣的行列式D不等于零，故方程組

4、有唯一解。即有以下結(jié)論。結(jié)論：當(dāng)已知的n+1個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相同時(shí)，則總能夠構(gòu)造唯一的n次多項(xiàng)式函數(shù)，使也過(guò)這n+1個(gè)點(diǎn)。4.幾何意義5舉例：已知函數(shù)，求。分析：本題理解為，已知“復(fù)雜”函數(shù)，當(dāng)x=81,100,121,144時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為：y=9,10,11,12，當(dāng)x=115時(shí)，求函數(shù)值。解：（1）線性插值：過(guò)已知的（100,10）和（121,11）兩個(gè)點(diǎn)，構(gòu)造1次多項(xiàng)式函數(shù)，于是有則。（2）拋物插值：構(gòu)造2次多項(xiàng)式函數(shù)，使得它過(guò)已知的（100,10）、（121,11）和（144,12）三個(gè)點(diǎn)。于是有2次拉格朗日插值多項(xiàng)式： 則有10.4206.拉格朗日n次插值多項(xiàng)式公式：其中稱為基

5、函數(shù)（k=0,1,.,n），每一個(gè)基函數(shù)都是關(guān)于x的n次多項(xiàng)式，其表達(dá)式為：拉格朗日公式特點(diǎn)：1把每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)單獨(dú)組成一項(xiàng)；2.每一項(xiàng)中的分子是關(guān)于x的n次多項(xiàng)式，分母是一個(gè)常數(shù)；3.每一項(xiàng)的分子和分母的形式非常相似，不同的是：分子是，而分母是7.誤差分析（拉格朗日余項(xiàng)定理），其中在所界定的范圍內(nèi)。針對(duì)以上例題的線性插值，有函數(shù)在100,115區(qū)間絕對(duì)值的極大值為，則有：于是近似值有三位有效數(shù)字。針對(duì)以上例題的拋物線插值，有函數(shù)在100,115區(qū)間絕對(duì)值的極大值為，則有于是近似值10.420有四位有效數(shù)字。8.拉格朗日插值公式的優(yōu)點(diǎn)公式有較強(qiáng)的規(guī)律性，容易編寫程序利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。9.

6、 拉格朗日插值通用程序程序流程圖如下：文件lagrange.m如下：%拉格朗日插值close alln=input(已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?);x=input(x1,x2,.,xn=?);y=input(y1,y2,.,yn=?);xx=input(插值點(diǎn)=？);syms t %定義t為符號(hào)量p=0;for k=1:n l=1; for j=1:k-1 l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end for j=k+1:n l=l*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end p=p+l*y(k);endp=inline(p); %把符號(hào)算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式fplot(p,min(min(

7、x),xx)-1,max(max(x),xx)+1); %畫(huà)多項(xiàng)式函數(shù)hold onp(xx) %顯示插值點(diǎn)plot(x,y,o,xx,p(xx),*); %畫(huà)已知點(diǎn)和插值點(diǎn)在MATLAB命令窗口輸入：lagrange然后有以下對(duì)話過(guò)程和結(jié)果，已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?6x1,x2,.,xn=?1,3,5,7,9,11y1,y2,.,yn=?-1,20,0,-1,12,3插值點(diǎn)=？8ans = 5.000有以下圖形：二牛頓插值拉格朗日插值的缺點(diǎn)：無(wú)承襲性（繼承性）若算出3點(diǎn)的拋物插值精度不夠，再進(jìn)行4點(diǎn)的3次多項(xiàng)式插值時(shí)，必須從頭算起，前面算出的3點(diǎn)拋物插值的計(jì)算結(jié)果不能利用。而泰勒插值卻是具有承襲

8、性的，如線性插值的結(jié)果不精確，那么再加上一項(xiàng)，就變成了泰勒拋物插值，如：泰勒1次插值：泰勒2次插值：。而牛頓插值就是具有承襲性的插值公式1.差商的概念設(shè)n+1個(gè)點(diǎn)互不相等，則定義：和兩點(diǎn)的一階差商為：,三點(diǎn)的二階差商為：,四點(diǎn)的三階差商為：n+1個(gè)點(diǎn)的n階差商為：差商具有對(duì)稱性：；2.牛頓插值解決的問(wèn)題與拉格朗日插值解決的問(wèn)題相同只是表述 n次多項(xiàng)式的公式不同。3.牛頓插公式的推導(dǎo)根據(jù)差商的概念，有：是兩點(diǎn)的一階差商；是三點(diǎn)的二階差商；把以上各式從后向前逐次代入，可以得到：其中以上的表達(dá)式稱為牛頓插值公式，可以證明，n次牛頓插值多項(xiàng)式與n次拉格朗日插值多項(xiàng)式完全相同，只是表達(dá)形式不同。故，拉格

9、朗日余項(xiàng)定理與牛頓余項(xiàng)定理相同：，其中在所界定的范圍內(nèi)。則有公式：4.牛頓插值差商表xiyi一階差商二階差商n階差商*x0y01x1y1fx0,x1(x-x0)x2y2fx1,x2fx0,x1,x2(x-x0)(x-x1)x3y3fx2,x3fx1,x2,x3(x-x0)(x-x2)xn-1yn-1xnynfxn-1,xnfxn-2,xn-1,xnfx0,xn(x-x0)(x-xn-1)5.舉例已知函數(shù)f(x)當(dāng)x=-2,-1,0,1,2時(shí)，其對(duì)應(yīng)函數(shù)值為f(x)=13,-8,-1,4,1。求f(0.5)的值。解：該題目與例1相比，就是多了一個(gè)點(diǎn)，所以和例1的差商表相比，只需多一列，多一行：

10、xiyi一階差商二階差商三階差商四階差商*-2131-1-8-21(x+2)0-1714(x+2)(x+1)145-1-5(x+2)(x+1)x21-3-4-11(x+2)(x+1)x(x-1)而5個(gè)點(diǎn)的4次牛頓插值多項(xiàng)式是在的基礎(chǔ)上多增加1項(xiàng)：則可以在MATLAB下運(yùn)行程序newton02.m：p4=inline(13-21*(x+2)+14*(x+2)*(x+1)-5*(x+2)*(x+1)*x+(x+2)*(x+1)*x*(x-1);fplot(p4,-2.5,2.5,r);hold onxi=-2,-1,0,1,2;yi=13,-8,-1,4,1;plot(xi,yi, *);plot

11、(0.5,p4(0.5),o);可以得到以下圖形：6.牛頓插值的優(yōu)點(diǎn)（1）具有承襲性質(zhì)（2）利用差商表，計(jì)算多點(diǎn)插值，比拉格朗日公式計(jì)算方便。7.牛頓插值算法的通用程序以下是程序流程圖：MATLAB的通用程序newton.m為：%牛頓插值close alln=input(已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?);x=input(x1,x2,.,xn=?);y=input(y1,y2,.,yn=?);xx=input(插值點(diǎn)=？);% 計(jì)算差商：fx1,x2,fx1,x2,x3,.,fx1,x2,.,xnf=y;for i=1:n-1 % 計(jì)算第i階差商 for k=n:-1:i+1 f(k)=(f(k)-f(k

12、-1)/(x(k)-x(k-i); endendsyms t %定義t為符號(hào)量p=f(1);for k=2:n l=1; for j=1:k-1 l=l*(t-x(j); end p=p+l*f(k);endp=inline(p); %把符號(hào)算式p變?yōu)楹瘮?shù)形式fplot(p,min(min(x),xx)-1,max(max(x),xx)+1); %畫(huà)多項(xiàng)式函數(shù)hold onp(xx) %顯示插值點(diǎn)plot(x,y,o,xx,p(xx),*); %畫(huà)已知點(diǎn)和插值點(diǎn)在MATLAB命令窗口輸入：newton然后有以下對(duì)話過(guò)程和結(jié)果，已知的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)n=?6x1,x2,.,xn=?1,3,5,7,9,1

13、1y1,y2,.,yn=?-1,20,0,-1,12,3插值點(diǎn)=？8ans = 5.000有以下圖形：三總結(jié)和展望插值與逼近都是指用某個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)在滿足一定條件下在某個(gè)范圍內(nèi)近似代替另一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)或解析表達(dá)式未能給出的函數(shù)，以便于簡(jiǎn)化對(duì)后者的各種計(jì)算或揭示后者的某些性質(zhì)。插值方法理論是近似計(jì)算和逼近函數(shù)的有效方法。此外，它也是數(shù)值微積分，微分方程數(shù)值解等數(shù)值分析的基礎(chǔ)。在圖形處理等很多需要優(yōu)化的實(shí)際中，也有著很廣泛的應(yīng)用。我們期望在以后的生活中會(huì)更加熟練和更好的運(yùn)用插值方法。參考文獻(xiàn)1李慶揚(yáng),王能超,易大義. 數(shù)值分析M. 武漢:華中科技大學(xué)出版社,1982.2吳才斌. 插值方法J. 湖北大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào),1999,(5).3徐萃薇,孫繩武. 計(jì)算方法引論M. 北京:高等教育出版社,2002.4林鷺. 拉格朗日插值多項(xiàng)式的一種并行算法J. 廈門大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,43(5):592-595.5吳筑筑. 計(jì)算方法M.