高一數(shù)學(xué)教案[蘇教版]等差數(shù)列1

1、第三 等差數(shù)列 (一 )教學(xué)目 ：明確等差數(shù)列的定 ，掌握等差數(shù)列的通 公式，會(huì)解決知道an,a1,d,n 中的三個(gè)，求另外一個(gè)的 ；培養(yǎng)學(xué)生 察能力， 一步提高學(xué)生推理、 能力，培養(yǎng)學(xué)生的 用意 .教學(xué)重點(diǎn)：1.等差數(shù)列的概念的理解與掌握 .2.等差數(shù)列的通 公式的推 及 用.教學(xué) 點(diǎn)：等差數(shù)列“等差”特點(diǎn)的理解、把握和 用.教學(xué) 程： .復(fù) 回 上兩 我 共同學(xué) 了數(shù)列的定 及 出數(shù)列的兩種方法通 公式和 推公式. 兩個(gè)公式從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn)，下面我 看 一些例子 . 授新 1， 2，3， 4， 5， 6；10， 8， 6， 4， 2，；111121， 212 ， 22， 222

2、， 23，232 ， 24，242 ， 252， 2，2， 2， 2，首先， 同學(xué) 仔 察 些數(shù)列有什么共同的特點(diǎn)?是否可以寫出 些數(shù)列的通 公式？（引 學(xué)生 極思考，努力 求各數(shù)列通 公式，并找出其共同特點(diǎn)）數(shù)列是一 增數(shù)列，后一 比前一 多1，其通 公式 ：an n(1 n 6).數(shù)列是由一些偶數(shù) 成的數(shù)列，是一 減數(shù)列，后一 比前一 少2 ，其通 公式 ： an 122n( n 1).數(shù)列是一 增數(shù)列，后一 比前一 多1n11n（1 n2 ，其通 公式 ：a 202 29)數(shù)列的通 公式 ：an 2(n1)是一常數(shù)數(shù)列 . 合上述所 ，它 的共同特點(diǎn)是什么呢？它 的共同特點(diǎn)是：從第2 起

3、，每一 與它的前一 的“差”都等于同一個(gè)常數(shù).也就是 ， 些數(shù)列均具有相 兩 之差“相等”的特點(diǎn).具有 種特點(diǎn)的數(shù)列，我 把它叫做等差數(shù)列 .1.定 等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2 起，每一 與它的前一 的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么 個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列， 個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d 表示 .1如：上述4 個(gè)數(shù)列都是等差數(shù)列，它 的公差依次是1，2，2， 0.2.等差數(shù)列的通 公式等差數(shù)列定 是由一數(shù)列相 兩 之 關(guān)系而得.若一等差數(shù)列 an1的首 是 a ，公差是d， 據(jù)其定 可得：第 1頁(yè)共6頁(yè)看來(lái)，若已知一數(shù)列 等差數(shù)列， 只要知其首 如數(shù)列： an 1( n1) 1n(1

4、 n6),數(shù)列 ： an 10 (n 1) (2) 122n(n 1),a2 a1 da3 a2 d(n 1)個(gè)等式a4 a3 dan an1 d若將 n 1 個(gè)等式左右兩 分 相加， 可得：an a1 (n1)d即： an a1(n1)d當(dāng) n1 ，等式兩 均 a1，即上述等式均成立， 于一切 n N * 上述公式都成立，所以它可作 數(shù)列 an 的通 公式 .或者由定 可得：a2 a1 d 即： a2 a1 d； a3 a2 d 即： a3 a2 d a1 2d； a4 a3 d 即： a4 a3d a1 3d； anan 1 d，即： an an1 d a1 (n 1)da1 和公差 d,

5、便可求得其通 .111數(shù)列 ： an 22 (n 1) 2 2122n (n 1),數(shù)列 ： an 2 (n 1) 0 2(n1)由通 公式可 推得：am a1 (m 1)d，即： a1 am( m 1)d， ：an a1 (n 1)d am (m 1)d (n 1)d am (nm)d.如： a5a4d a3 2d a2 3d a1 4d3.例 解例 1 (1) 求等差數(shù)列8， 5， 2的第 20 項(xiàng) .分析：由 出的三 先找到首 a1,求出公差 d，寫出通 公式，然后求出所要 .解：由 意可知：a1 8， d5 8 2 5 3 數(shù)列通 公式 ： ann 8 (n 1) ( 3)，即： a

6、113n(n 1)，當(dāng) n20 ， a 11 320 49.20答案： 個(gè)數(shù)列的第20 49.(2) 401 是不是等差數(shù)列5， 9， 13的 ?如果是，是第幾 ?分析：要想判斷 401 是否 數(shù)列的一 ， 關(guān) 要求出通 公式， 看是否存在正整數(shù)n，可使得 an 401.解：由 意可知：a1 5，d 9 ( 5) 4,數(shù)列通 公式 ：an 5 4(n 1) 4n 1.令 401 4n 1，解之得 n 100. 401 是 個(gè)數(shù)列的第100 項(xiàng) .例 2在等差數(shù)列 an 中，已知5121與公差 d.a 10， a 31，求首 a解：由 意可知，a1 4d 10 a1 11d 31 是一個(gè)以 a1

7、 和 d 未知數(shù)的二元一次方程 ，解 個(gè)方程 ，得a1 2， d 3.即 個(gè)等差數(shù)列的首 是2，公差是 3.例 3在等差數(shù)列 an 中，已知51525a 10， a 25，求 a .思路一：根據(jù)等差數(shù)列的已知兩 ，可求出a1 和 d，然后可得出 數(shù)列的通 公式，便第 2頁(yè)共6頁(yè)d 4a25 的值 .可求出 a25.解法一：設(shè)數(shù)列 an1a 4d 10 的首項(xiàng)為 a ,公差為 d,則根據(jù)題意可得：1a1 14d 25這是一個(gè)以 a113和 d 為未知數(shù)的二元一次方程組，解這個(gè)方程組，得a 4， d 2 .3這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an 4 2 (n 1)，即：3 5an 2 n 2 .35a25

8、2 25 2 40.思路二：若注意到已知項(xiàng)為 a5 與 a15，所求項(xiàng)為 a25，則可直接利用關(guān)系式 an am (nm)d.這樣可簡(jiǎn)化運(yùn)算 .解法二：由題意可知：a15 a5 10d，即 25 10 10d, 10d 15.又 a25 a1510d， a25 25 15 40.思路三：若注意到在等差數(shù)列 an 中， a5， a15， a25 也成等差數(shù)列，則利用等差中項(xiàng)關(guān)系式，便可直接求出解法三：在等差數(shù)列 an 中， a5，a15， a25 成等差數(shù)列2a15a5 a25，即 a25 2a15 a5,a252 25 1040.例 4已知等差數(shù)列 an 中， a1533，a45 153，試問

9、 217 是否為此數(shù)列的項(xiàng)？若是說明是第幾項(xiàng)；若不是，說明理由 .分析：這是一個(gè)探索性問題，但由于在條件中已知道兩項(xiàng)的值，所以，在求解方法上，可以考慮運(yùn)用方程思想求解基本量a1 和 d，也可以利用性質(zhì)求d，再就是考慮運(yùn)用等差數(shù)列的幾何意義 .解法一：由通項(xiàng)公式，15 a1 14d 33a1 23知 a a1 44d 153a45得： d 4由 217 234(n 1)，得 n61.解法二：由等差數(shù)列性質(zhì)，得a45 a15 30d 153 33，即又 an a15 (n 15)d，217 334(n 15)，解得 n 61.解法三：由等差數(shù)列的幾何意義可知，等差數(shù)列的圖象是一些共線的點(diǎn)由于 P（

10、 15， 33）， Q（ 45，153）， R（ n， 217）在同一條直線上 .153 33 217 153故有45 15 n 45 ，解得 n 61.評(píng)述：運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，知三求一.如果已知兩個(gè)條件，就可以列出方程組解之.如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)，幾何意義去考慮也可以，因此要根據(jù)具體問題具體分析.例 5已知數(shù)列 an 為等差數(shù)列， a35，a73，求 a15 的值 .44解法一：利用通項(xiàng)公式，設(shè)數(shù)列 an1 的首項(xiàng)為 a ,公差為 d第 3頁(yè)共6頁(yè)59則a1 2d4解之得a1 431a 6d4d 219119a a 14d4 14 (2) 4151解法二：利用等差數(shù)列的性 a73把已

11、知條件代入,得： d1 a 4d219 a15 a7 (157)d 4.解法三： an 等差數(shù)列， a3,a7,a11,a15也成等差數(shù)列53由 a3 4 ， a7 45知上述數(shù)列首 4 ，公差 2 a155 (3 1)（ 2）1944例 6兩個(gè)等差數(shù)列 5，8， 11，和 3， 7， 11，都有 100 ，那么它 共有多少相同的 ？分析： 然，已知的兩數(shù)列的所有相同的 將構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列 an ， 就 化 一個(gè)研究數(shù)列 an 的 數(shù) 了 .解法一： 已知的兩數(shù)列的所有相同的 將構(gòu)成的新數(shù)列 cn ， c1=11,又?jǐn)?shù)列 5，8， 11，的通 公式 an 3n 2，數(shù)列 3，7， 11，的通

12、公式 nb 4n 1.數(shù)列 cn 等差數(shù)列，且 d 12. cn 12n 1又 a100 302，b100 399， cn 12n1 3021得 n254 ，可 已知兩數(shù)列共有25 個(gè)相同的 .解法二： an 3n2， bn 4n1， anbm4 有 3n 2 4m 1(n，m N*) ，即 n 3 m 1(n， m N*)要使 n 正整數(shù)， m 必 是 3 的倍數(shù) .設(shè) m 3k(k N*) ，代入前式得 n4k 1又 1 3k 100，且 1 4k 1 100，解得 1k 25 共有 25 個(gè)相同的 .例 7一個(gè)首 23，公差 整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六 均 正數(shù)，第七 起 數(shù)， 它的公差是

13、多少？23（ 6 1） d 023解：由23（ 7 1） d 0得 4.6 d 6答案： 4第 4頁(yè)共6頁(yè) . 堂 本 P34 練習(xí) 1，2， 31.（ 1）求等差數(shù)列3， 7， 11，的第4 與第 10 項(xiàng) .分析：根據(jù)所 數(shù)列的前3 求得首 和公差，寫出 數(shù)列的通 公式，從而求出所求項(xiàng) .解：根據(jù) 意可知：a1 3，d 7 34. 數(shù)列的通 公式 ：an 3 (n 1) 4，即 an 4n1(n 1， nN *) a4 44 1 15， a10 4 101 39. 述：關(guān) 是求出通 公式.（ 2）求等差數(shù)列 10， 8， 6， 的第 20 項(xiàng).解：根據(jù) 意可知： a1 10，d 8 10

14、2. 數(shù)列的通 公式 ： an 10(n 1) (2)，即： an 2n 12，a20 2 20 12 28. 述：要注意解 步 的 范性與準(zhǔn)確性.（ 3）100 是不是等差數(shù)列2，9，16，的 ？如果是，是第幾 ？如果不是， 明理由 .分析：要想判斷一數(shù)是否 某一數(shù)列的其中一 ， 關(guān) 是要看是否存在一正整數(shù)n ，使得 an 等于 一數(shù) .解：根據(jù) 意可得：a1 2，d 9 27.此數(shù)列通 公式 ：an 2 (n 1) 7 7n 5.令 7n 5 100，解得： n 15, 100 是 個(gè)數(shù)列的第15 項(xiàng) .（ 4） 20 是不是等差數(shù)列 0， 31 ， 7，的 ？如果是，是第幾 ？如果不是，2 明理由 .1解：由 意可知：a1 0， d 327 7此數(shù)列的通 公式 ： an 2 n2令 77472 n 2 20，解得 n 777因 2n 2 20 沒有正整數(shù)解，所以20 不是 個(gè)數(shù)列的 .2.在等差數(shù)列 an 中，（1）已知 a4 10， a7 19，求 a1 與 d；(2)已知 a 9，a 3，求 a .39121 3d 10a1 1解：（ 1）由 意得：a解之得：a1 6d 19d 3(2)解法一：由 意可得：a1 2d 9a1 111解之得：a 8d 3d 1 數(shù)列的通 公式 ：an 11 (n 1)