【高考輔導資料】高考數(shù)學難點突破_難點39__化歸思想

難點39 化歸思想化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學問題時采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進而達到解決問題的思想.等價轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法.難點磁場1.（）一條路上共有9個路燈，為了節(jié)約用電，擬關(guān)閉其中3個，要求兩端的路燈不能關(guān)閉，任意兩個相鄰的路燈不能同時關(guān)閉，那么關(guān)閉路燈的方法總數(shù)為 .2.（）已知平面向量a=(1),b=().（1）證明ab;（2）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使x=a+(t23)b，y=ka+tb，且xy，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);（3）據(jù)（2）的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f(t)k=0的解的情況.案例探究例1對任意函數(shù)f(x), xD，可按圖示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：輸入數(shù)據(jù)x0D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x1=f(x0)；若x1D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x1D，則將x1反饋回輸入端，再輸出x2=f(x1)，并依此規(guī)律繼續(xù)下去.現(xiàn)定義（1）若輸入x0=，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列xn，請寫出xn的所有項；（2）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x0的值；（3）若輸入x0時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列xn，滿足對任意正整數(shù)n均有xnxn+1；求x0的取值范圍.命題意圖：本題主要考查學生的閱讀審題，綜合理解及邏輯推理的能力.屬級題目.知識依托：函數(shù)求值的簡單運算、方程思想的應用.解不等式及化歸轉(zhuǎn)化思想的應用.解題的關(guān)鍵就是應用轉(zhuǎn)化思想將題意條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言.錯解分析：考生易出現(xiàn)以下幾種錯因：（1）審題后不能理解題意.（2）題意轉(zhuǎn)化不出數(shù)學關(guān)系式，如第2問.（3）第3問不能進行從一般到特殊的轉(zhuǎn)化.技巧與方法：此題屬于富有新意，綜合性、抽象性較強的題目.由于陌生不易理解并將文意轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言.這就要求我們慎讀題意，把握主脈，體會數(shù)學轉(zhuǎn)換.解：（1）f(x)的定義域D=（,1)(1,+)數(shù)列xn只有三項，（2）,即x23x+2=0x=1或x=2，即x0=1或2時故當x0=1時，xn=1，當x0=2時，xn=2（nN*）（3）解不等式，得x1或1x2要使x1x2，則x21或1x12對于函數(shù)若x11，則x2=f(x1)4，x3=f(x2)x2若1x12時，x2=f(x1)x1且1x22依次類推可得數(shù)列xn的所有項均滿足xn+1xn（nN*)綜上所述，x1(1,2)由x1=f(x0),得x0(1,2).例2設橢圓C1的方程為(ab0)，曲線C2的方程為y=，且曲線C1與C2在第一象限內(nèi)只有一個公共點P.（1）試用a表示點P的坐標；（2）設A、B是橢圓C1的兩個焦點，當a變化時，求ABP的面積函數(shù)S(a)的值域；（3）記miny1,y2,yn為y1,y2,yn中最小的一個.設g(a)是以橢圓C1的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數(shù)f(a)=ming(a), S(a)的表達式.命題意圖：本題考查曲線的位置關(guān)系，函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查推理運算能力及綜合運用知識解題的能力.屬級題目.知識依托：兩曲線交點個數(shù)的轉(zhuǎn)化及充要條件，求函數(shù)值域、解不等式.錯解分析：第（1）問中將交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程組解的個數(shù)，考查易出現(xiàn)計算錯誤，不能借助找到a、b的關(guān)系.第（2）問中考生易忽略ab0這一隱性條件.第（3）問中考生往往想不起將ming(a),S(a)轉(zhuǎn)化為解不等式g(a)S(a).技巧與方法：將難以下手的題目轉(zhuǎn)化為自己熟練掌握的基本問題，是應用化歸思想的靈魂.要求必須將各知識的內(nèi)涵及關(guān)聯(lián)做到轉(zhuǎn)化有目標、轉(zhuǎn)化有橋梁、轉(zhuǎn)化有效果.解：（1）將y=代入橢圓方程，得化簡，得b2x4a2b2x2+a2=0由條件，有=a4b44a2b2=0，得ab=2解得x=或x=（舍去）故P的坐標為().(2)在ABP中，AB=2，高為,ab0,b=a,即a,得01于是0S（a），故ABP的面積函數(shù)S(a)的值域為(0,)(3)g(a)=c2=a2b2=a2解不等式g(a)S(a)，即a2整理，得a810a4+240，即(a44)(a46)0解得a（舍去）或a.故f(a)=ming(a), S(a)錦囊妙計轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與不等價轉(zhuǎn)化.等價轉(zhuǎn)化后的新問題與原問題實質(zhì)是一樣的.不等價轉(zhuǎn)化則部分地改變了原對象的實質(zhì)，需對所得結(jié)論進行必要的修正.應用轉(zhuǎn)化化歸思想解題的原則應是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡量是等價轉(zhuǎn)化.常見的轉(zhuǎn)化有：正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、整體與局部的轉(zhuǎn)化、空間與平面相互轉(zhuǎn)化、復數(shù)與實數(shù)相互轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、數(shù)學語言的轉(zhuǎn)化.殲滅難點訓練一、選擇題1.（）已知兩條直線l1:y=x,l2:axy=0，其中aR，當這兩條直線的夾角在(0,)內(nèi)變動時，a的取值范圍是( )A.（0，1） B.（，）C.（，1）（1，） D.（1，）2.（）等差數(shù)列an和bn的前n項和分別用Sn和Tn表示，若，則的值為( )A. B.1 C. D.二、填空題3.（）某房間有4個人，那么至少有2人生日是同一個月的概率是 .（列式表示即可）4.（）函數(shù)f(x)=x33bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則b的取值范圍是 .三、解答題5.（）已知f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t),(tR是參數(shù)）.(1)當t=1時，解不等式f(x)g(x);(2)如果x0,1時，f(x)g(x)恒成立，求參數(shù)t的取值范圍.6.（）已知函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn，nN*且a1、a2、a3、an構(gòu)成一個數(shù)列an，滿足f(1)=n2.（1）求數(shù)列an的通項公式，并求；（2）證明0f()1.7.（）設A、B是雙曲線x2=1上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點.（1）求直線AB的方程；（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？8.（）直線y=a與函數(shù)y=x33x的圖象有相異三個交點，求a的取值范圍.參 考 答 案難點磁場1.解析：9個燈中關(guān)閉3個等價于在6個開啟的路燈中，選3個間隔（不包括兩端外邊的裝置）插入關(guān)閉的過程故有C=10種答案：102.(1)證明：ab=0，ab(2)解：xy,xy=0即a+（t23)b(ka+tb)=0，整理后得ka2+tk(t23)ab+t(t23)b2=0ab=0,a2=4,b2=1上式化為4k+t(t23)=0，k=t(t23).(3)解：討論方程t(t23)k=0的解的情況，可以看作曲線f(t)=t(t23)與直線y=k的交點個數(shù)于是f(t)=(t21)=(t+1)(t1).令f(t)=0,解得t1=1,t2=1.當t變化時，f(t),f(t)的變化情況如下表：t(,1)1(1,1)1(1,+)f(t)+00+f(t)極大值極小值當t=1時，f(t)有極大值，f(t)極大值=；當t=1時，f(t)有極小值，f(t)極小值=.而f(t)=(t23)t=0時，得t=,0,.所以f(t)的圖象大致如右：于是當k或k時，直線y=k與曲線y=f(t)僅有一個交點，則方程有一解；當k=或k=時，直線與曲線有兩個交點，則方程有兩解；當k=0，直線與曲線有三個交點，但k、t不同時為零，故此時也有兩解；當k0或0k時，直線與曲線有三個交點，則方程有三個解殲滅難點訓練一、1.解析：分析直線l2的變化特征，化數(shù)為形，已知兩直線不重合，因此問題應該有兩個范圍即得解答案：C2.解析：化和的比為項的比.,取極限易得答案：A二、3.解析：轉(zhuǎn)化為先求對立事件的概率即四人生日各不相同的概率答案：4.解析：轉(zhuǎn)化為f(x)=3x23b在（0，1）內(nèi)與x軸有兩交點只須f(0)0.答案：0b1三、5.解：(1)原不等式等價于即 x原不等式的解集為x|x.(2)x0,1時，f(x)g(x)恒成立.x0,1時恒成立.即恒成立即x0,1時，t2x+恒成立，于是轉(zhuǎn)化為求2x+,x0,1的最大值問題令=,則x=21,則1,.2x+=2()2+.當=1即x=0時，2x+有最大值1t的取值范圍是t1.6.(1)解：an的前n項和Sn=a1+a2+an=f(1)=n2,由an=SnSn1=n2(n1)2=2n1(n2),又a1=S1=1滿足an=2n1.故an通項公式為an=2n1(nN*)(2)證明：f()=1+3+(2n1) f()=1+3+(2n3)+(2n1) 得：f()=1+2+2+2(2n1)f()=+(2n1)=1. (nN*)01,011，即0f()17.解：(1)設ABy=k(x1)+2代入x2=1.整理得（2k2）x22k(2k)x(2k)22=0 設A(x1,y1)、B（x2,y2),x1,x2為方程的兩根所以2k20且x1+x2=.又N為AB中點，有（x1+x2）=1.k(2k)=2k2,解得k=1.故ABy=x+1.(2)解出A（1，0）、B（3，4）得CD的方程為y=3x.與雙曲線方