人教版選修21第三章空間向量的基本定理講義

案例（二）精析精練課堂合作研究重點難點突破知識點一 共線向量定理（1）定理內(nèi)容：對空間兩個向量，的充要條件是存在唯一的實數(shù)，使。此定理可以分解為以下兩個命題；若，則存在唯一實數(shù)，使。存在實數(shù)，使，則。 （2）在定理中為什么要規(guī)定呢?當時，若，則，也存在實數(shù)使；但若，我們知道零向量和任一非零向量共線，但不存在實數(shù)，使，因此在定理中規(guī)定了。若將定理寫成，則應規(guī)定。 說明：在功中，對于確定的和，功表示空間與平行或共線且長度為的所有向量；利用共線向量定理可以證明兩線平行，或三點共線。 知識點二 共面向量定理 （1）共面向量已知向量，作，如果的基線平行于平面，記作（右圖），通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 說明：是指的基線在平面內(nèi)或平行平面。共面向量是指這些向量的基線平行或在同一平面內(nèi)，共面向量的基線可能相交、平行或異面。我們已知，對空間任意兩個向量，它們總是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面了。例如，在下圖中的長方體，向量、，無論怎樣平移都不能使它們在同一平面內(nèi)。 （2）共面向量定理 共面向量定理：如果兩個向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是，存在唯一的一對實數(shù)，使。說明：在證明充要條件問題時，要證明兩個方面即充分性和必要性。共面向量的充要條件給出了平面的向量表示，說明任意一個平面可以由兩個不共線的平面向量表示出來，它既是判斷三個向量是否共面的依據(jù)，又是已知共面條件的另一種形式，可以借此已知共面條件化為向量式，以便我們的向量運算。利用共面向量定理可證明點線共面、線面平行等。三個向量共面，又稱做三個向量線性相關。反之，如果三個向量不共面，則稱做三個向量線性無關。 知識點三 空間向量分解定理 （1）空間向量分解定理：如果三個向量、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數(shù)組，使。(2) 如果三個向量、是三個不共面的向量，則、的線性組合能生成所有的空間向量，這時、叫做空間的一個基底，記作，其中、都叫做基向量。 （3）空間向量基本定理說明：用空間三個不共面的已知和向量組可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結果是唯一的。 空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底。 由于0可看做是與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含它們都不是0。 要明確：一個基底是一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同概念。 典型例題分析 題型1 概念問題 【例1】 設，且是空間的個基底，給出下列向量組： ，。其中可以作為空間基底的向量組有 （ ） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析 正確理解向量的基底與基向量。 答案 如圖所示，設，則，由、D四點不共面，可知、也不共面，同理可知、和、也不共面。選D. 方法指導 能否作為空間的基底，即是判斷給出的向量組中的三個向量是否共面。充分利用一些常見的幾何體，如：正方體、長方體、平行六面體、四面體等可以幫助我們進行直觀判斷，即模型法的應用。 【變式訓練1】 設、是三個不共面向量，現(xiàn)從，中選出一個使其與、構成空間向量的一個基底，則可以選擇的向量為 。 【答案】 。 題型2 共線向量定理的應用 【例2】 已知空間三個不共面的向量，若，且，求實數(shù)的值。 解析 解決向量共線問題的依據(jù)是應用共線向量的充要條件，即，且是唯一確定的實數(shù)及。 答案 因為，所以，即。由于向量不共面，所以解之，得故實數(shù)的值分別為。規(guī)律總結 待定系數(shù)法也可以用來解決空間向量中的有關問題。在解決本題的過程中有兩個關鍵：一是運用共線向量的充要條件得到相應的關系式；二是根據(jù)空間向量定理的推論得到關于的方程組。 【變式訓練2】 已知空間三個非零向量、滿足，判斷向量與是否平行。 答案 因為 所以得：，得：，所以，故由共線向量充要條件得：。 【變式訓練3】 已知向量、，且，則一定共線的三點是 （ ）A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 答案 。所以，所以、三點共線。選A. 題型3 共面向量定理及應用 【例3】 已知，三點不共線，對平面外一點，確定下列各條件中的點是否與點，一定共面，（1）；（2）。 解析 由共面向量定理知，要證明，四點共面，只要證明存在有序實數(shù)對使得。 答案 （1）共面。，即.主不共線，共面且具有公共點，從而，四點共面。（2）不共面。如果與，共面，則存在唯一的實數(shù)對，使得，對平面外一點，有，即，與原式比較得，此方程組無解，故，四點不共面。 規(guī)律總結 判斷四點共面，除了本題中的解題方法外，還可以用其變形，即：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序實數(shù)對，使得對空間任一定點，有；或若四點，共面，則對空間任一定點，有。 【變式訓練4】 若是三個不共面的向量，試問向量，是否共面，并說明理由。 答案 令，亦即，因為是三個不共面的向量，所以，解得從而三個向量共面。 【例4】 求證：三向量共面；若，試求實數(shù)的值。 解析 要證明三個向量共面，可以利用向量共面定理的推論，證明存在三個不全為零的實數(shù)，使得即可。 答案 如果，適合方程組那么就能使，而顯然上述方程組有無數(shù)組解，其中。于是有，所以，三向量共面，并且可得。故所求的實數(shù)。 規(guī)律總結 事實上，對于任意兩非零向量，則，總是共面的。從本題的解法中不難發(fā)現(xiàn)，其解題方法是一箭雙雕，即在證明三向量共面同時，只要對結論稍作變形就得到了與的值。另外，面對解題過程中關于的方程組有數(shù)組解的情況，若不能利用其中的一組解，或者是獲得與的值，就不能就得所求的與的值。 【變式訓練5】 已知是三個不共面向量，若的起點相同，則當實數(shù)為何值時，及的終點共面？答案 由于及的終點共面，所以等價于及共面，于是，設，所以.故有方程組 有解，（1）+（2）得：，由（3）得：，所以，即. 題型4 空間向量分解定理及應用 【例5】 如右圖所示，平行六面體，且，用表示如下向量：（1）、；（2）（、分別是側面和的中心）。 解析 、不共面，可作為空間的一個基底，其他向量用（、）表示出來。 答案 （1），。（2）.規(guī)律總結 在平行六面體中，從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應的向量都可作為基底。向量法的關鍵就是用已知表示未知，然后進行向量的運算。 【變式訓練6】如圖，空間四邊形中，、分別是、的重心，設、，試用向量、表示向量。 答案 由.，即. 題型5 綜合應用 【例6】 如圖所示，分別為正方體的棱的中點。求證：（1）四點共面；（2）平面平面。 解析 由共面向量定理可知，要證明四點共面，只要證明存在有序實數(shù)對使得即可；要證明平面平面，只要證明平面內(nèi)的兩條直線平行于平面內(nèi)的兩條相交直線即可。 答案（1），共面且具有公共點，四點共面。（2）分別是的中點，平面，平面，又，平面平面。 方法指導 （1）要證明四點共面，也可以證明，也即只要證明：。，共線，又不重合，即四點共面。（2）要證明兩平面平行，只要證明一平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一平面。轉化為向量問題即是要證明，一個平面內(nèi)兩條直線對應的向量分別與另一平面內(nèi)的兩條相交直線所對應的向量共線即可。 【變式訓練7】 已知分別是空間四邊形的邊的中點，（1）求證：四點共面；（2）求證：平面。 答案（1）如圖，由題意知且，四邊形是平行四邊形，、四點共面。（2） 由（1）知，即.又平面，平面，平面。 規(guī)律 方法 總結 （1）0與任一向量是共線向量。 （2）向量的平行（共線）不具備傳遞性，即若，不定有。但當為非零向量時，平行（共線）的傳遞性將成立，即若，則。 （3）在共線向量定理中，不可去掉，否則實數(shù)就不唯一。 （4）如果、共線，則不是、共面的充要條件。原因是：若、共線，則與、一定共面。當與、不共線時，無法寫成的形式；當與、共線時，雖然可以寫成的形式，但實數(shù)對不唯一。 （5）利用空間向量的分解定理時，不可忽視條件中三向量“不共面”的條件。 （6）證明兩向量共線的方法：首先判斷兩向量中是否有零向量。若有，則兩向量共線；若兩向量，中，且有，則，共線。 （7）判斷三向量是否共面的依據(jù)：共面向量定理是判定三個向量是否共面的依據(jù)，要證明三個向量共面，只需存在一對實數(shù)，使就可以了。在證明時要結合空間圖形，若通過運算得不出的向量等式，、就不存在，就不共面。但一定要注意：三個向量共面是指它們所在的基線平行于同一平面或在同一平面內(nèi)，并不是指它們的基線一定在同一平面內(nèi)，利用此定理可以證明四點共面。（8）空間向量基本定理的應用方法：選定空間不共面的三個向量作為基向量，用它們表示指定向量時，要結合圖形，聯(lián)想相關的公式和運算法則等表示出與指定向量接近的向量，再變形整理直至符合目標。 定時 鞏固 檢測基礎訓練1.設是的重心，記，則為（ ）A. B. C. D.【答案】D（點撥：為重心，則.）2.如圖所示，已知三點不共線，為一定點，為平面外任一點，則下列能表示向量的為 （ ）A.B.C.D.【答案】C（點撥：根據(jù)、四點共面的條件即可求得：。即，由圖.）3.下列命題中真命題的個數(shù)是 （ ）空間中的任何一個向量都可用表示空間中的任何一個向量都可用基向量表示空間中的任何一個向量都可用不共面的三個向量表示平面內(nèi)的任何一個向量都可用平面內(nèi)的兩個向量表示A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】C（點撥：正確的命題是。）4.已知向量是空間的一個基底，從中選哪一個向量，一定可以與向量，構成空間的另一個基底（ ）A. B. C. D.不存在【答案】C（點撥：設，則因為基底，只能有.）5.如圖所示，已知空間四邊形，其對角線為，、分別是的中點，點在線段上，且分所成的定比為2，現(xiàn)用向量表示向量，設，則，的值分別是 （ ）A.B.C.D.【答案】D（點撥：由，知.能力提升6.空間四邊形中，點在上，且，為中點，則為 （ ）A. B.C