人教版選修21第三章空間向量的基本定理講義

案例（二）精析精練課堂合作研究重點(diǎn)難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)一 共線向量定理（1）定理內(nèi)容：對(duì)空間兩個(gè)向量，的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使。此定理可以分解為以下兩個(gè)命題；若，則存在唯一實(shí)數(shù)，使。存在實(shí)數(shù)，使，則。 （2）在定理中為什么要規(guī)定呢?當(dāng)時(shí)，若，則，也存在實(shí)數(shù)使；但若，我們知道零向量和任一非零向量共線，但不存在實(shí)數(shù)，使，因此在定理中規(guī)定了。若將定理寫成，則應(yīng)規(guī)定。 說明：在功中，對(duì)于確定的和，功表示空間與平行或共線且長(zhǎng)度為的所有向量；利用共線向量定理可以證明兩線平行，或三點(diǎn)共線。 知識(shí)點(diǎn)二 共面向量定理 （1）共面向量已知向量，作，如果的基線平行于平面，記作（右圖），通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 說明：是指的基線在平面內(nèi)或平行平面。共面向量是指這些向量的基線平行或在同一平面內(nèi)，共面向量的基線可能相交、平行或異面。我們已知，對(duì)空間任意兩個(gè)向量，它們總是共面的，但空間任意三個(gè)向量就不一定共面了。例如，在下圖中的長(zhǎng)方體，向量、，無論怎樣平移都不能使它們?cè)谕黄矫鎯?nèi)。 （2）共面向量定理 共面向量定理：如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使。說明：在證明充要條件問題時(shí)，要證明兩個(gè)方面即充分性和必要性。共面向量的充要條件給出了平面的向量表示，說明任意一個(gè)平面可以由兩個(gè)不共線的平面向量表示出來，它既是判斷三個(gè)向量是否共面的依據(jù)，又是已知共面條件的另一種形式，可以借此已知共面條件化為向量式，以便我們的向量運(yùn)算。利用共面向量定理可證明點(diǎn)線共面、線面平行等。三個(gè)向量共面，又稱做三個(gè)向量線性相關(guān)。反之，如果三個(gè)向量不共面，則稱做三個(gè)向量線性無關(guān)。 知識(shí)點(diǎn)三 空間向量分解定理 （1）空間向量分解定理：如果三個(gè)向量、不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。(2) 如果三個(gè)向量、是三個(gè)不共面的向量，則、的線性組合能生成所有的空間向量，這時(shí)、叫做空間的一個(gè)基底，記作，其中、都叫做基向量。 （3）空間向量基本定理說明：用空間三個(gè)不共面的已知和向量組可以線性表示出空間任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是唯一的。 空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底。 由于0可看做是與任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以三個(gè)向量不共面，就隱含它們都不是0。 要明確：一個(gè)基底是一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念。 典型例題分析 題型1 概念問題 【例1】 設(shè)，且是空間的個(gè)基底，給出下列向量組： ，。其中可以作為空間基底的向量組有 （ ） A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 解析 正確理解向量的基底與基向量。 答案 如圖所示，設(shè)，則，由、D四點(diǎn)不共面，可知、也不共面，同理可知、和、也不共面。選D. 方法指導(dǎo) 能否作為空間的基底，即是判斷給出的向量組中的三個(gè)向量是否共面。充分利用一些常見的幾何體，如：正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體等可以幫助我們進(jìn)行直觀判斷，即模型法的應(yīng)用。 【變式訓(xùn)練1】 設(shè)、是三個(gè)不共面向量，現(xiàn)從，中選出一個(gè)使其與、構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，則可以選擇的向量為 。 【答案】 。 題型2 共線向量定理的應(yīng)用 【例2】 已知空間三個(gè)不共面的向量，若，且，求實(shí)數(shù)的值。 解析 解決向量共線問題的依據(jù)是應(yīng)用共線向量的充要條件，即，且是唯一確定的實(shí)數(shù)及。 答案 因?yàn)?，所以，即。由于向量不共面，所以解之，得故?shí)數(shù)的值分別為。規(guī)律總結(jié) 待定系數(shù)法也可以用來解決空間向量中的有關(guān)問題。在解決本題的過程中有兩個(gè)關(guān)鍵：一是運(yùn)用共線向量的充要條件得到相應(yīng)的關(guān)系式；二是根據(jù)空間向量定理的推論得到關(guān)于的方程組。 【變式訓(xùn)練2】 已知空間三個(gè)非零向量、滿足，判斷向量與是否平行。 答案 因?yàn)?所以得：，得：，所以，故由共線向量充要條件得：。 【變式訓(xùn)練3】 已知向量、，且，則一定共線的三點(diǎn)是 （ ）A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 答案 。所以，所以、三點(diǎn)共線。選A. 題型3 共面向量定理及應(yīng)用 【例3】 已知，三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外一點(diǎn)，確定下列各條件中的點(diǎn)是否與點(diǎn)，一定共面，（1）；（2）。 解析 由共面向量定理知，要證明，四點(diǎn)共面，只要證明存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使得。 答案 （1）共面。，即.主不共線，共面且具有公共點(diǎn)，從而，四點(diǎn)共面。（2）不共面。如果與，共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得，對(duì)平面外一點(diǎn)，有，即，與原式比較得，此方程組無解，故，四點(diǎn)不共面。 規(guī)律總結(jié) 判斷四點(diǎn)共面，除了本題中的解題方法外，還可以用其變形，即：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得對(duì)空間任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，共面，則對(duì)空間任一定點(diǎn)，有。 【變式訓(xùn)練4】 若是三個(gè)不共面的向量，試問向量，是否共面，并說明理由。 答案 令，亦即，因?yàn)槭侨齻€(gè)不共面的向量，所以，解得從而三個(gè)向量共面。 【例4】 求證：三向量共面；若，試求實(shí)數(shù)的值。 解析 要證明三個(gè)向量共面，可以利用向量共面定理的推論，證明存在三個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，使得即可。 答案 如果，適合方程組那么就能使，而顯然上述方程組有無數(shù)組解，其中。于是有，所以，三向量共面，并且可得。故所求的實(shí)數(shù)。 規(guī)律總結(jié) 事實(shí)上，對(duì)于任意兩非零向量，則，總是共面的。從本題的解法中不難發(fā)現(xiàn)，其解題方法是一箭雙雕，即在證明三向量共面同時(shí)，只要對(duì)結(jié)論稍作變形就得到了與的值。另外，面對(duì)解題過程中關(guān)于的方程組有數(shù)組解的情況，若不能利用其中的一組解，或者是獲得與的值，就不能就得所求的與的值。 【變式訓(xùn)練5】 已知是三個(gè)不共面向量，若的起點(diǎn)相同，則當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，及的終點(diǎn)共面？答案 由于及的終點(diǎn)共面，所以等價(jià)于及共面，于是，設(shè)，所以.故有方程組 有解，（1）+（2）得：，由（3）得：，所以，即. 題型4 空間向量分解定理及應(yīng)用 【例5】 如右圖所示，平行六面體，且，用表示如下向量：（1）、；（2）（、分別是側(cè)面和的中心）。 解析 、不共面，可作為空間的一個(gè)基底，其他向量用（、）表示出來。 答案 （1），。（2）.規(guī)律總結(jié) 在平行六面體中，從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對(duì)應(yīng)的向量都可作為基底。向量法的關(guān)鍵就是用已知表示未知，然后進(jìn)行向量的運(yùn)算。 【變式訓(xùn)練6】如圖，空間四邊形中，、分別是、的重心，設(shè)、，試用向量、表示向量。 答案 由.，即. 題型5 綜合應(yīng)用 【例6】 如圖所示，分別為正方體的棱的中點(diǎn)。求證：（1）四點(diǎn)共面；（2）平面平面。 解析 由共面向量定理可知，要證明四點(diǎn)共面，只要證明存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使得即可；要證明平面平面，只要證明平面內(nèi)的兩條直線平行于平面內(nèi)的兩條相交直線即可。 答案（1），共面且具有公共點(diǎn)，四點(diǎn)共面。（2）分別是的中點(diǎn)，平面，平面，又，平面平面。 方法指導(dǎo) （1）要證明四點(diǎn)共面，也可以證明，也即只要證明：。，共線，又不重合，即四點(diǎn)共面。（2）要證明兩平面平行，只要證明一平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一平面。轉(zhuǎn)化為向量問題即是要證明，一個(gè)平面內(nèi)兩條直線對(duì)應(yīng)的向量分別與另一平面內(nèi)的兩條相交直線所對(duì)應(yīng)的向量共線即可。 【變式訓(xùn)練7】 已知分別是空間四邊形的邊的中點(diǎn)，（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）求證：平面。 答案（1）如圖，由題意知且，四邊形是平行四邊形，、四點(diǎn)共面。（2） 由（1）知，即.又平面，平面，平面。 規(guī)律 方法 總結(jié) （1）0與任一向量是共線向量。 （2）向量的平行（共線）不具備傳遞性，即若，不定有。但當(dāng)為非零向量時(shí)，平行（共線）的傳遞性將成立，即若，則。 （3）在共線向量定理中，不可去掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一。 （4）如果、共線，則不是、共面的充要條件。原因是：若、共線，則與、一定共面。當(dāng)與、不共線時(shí)，無法寫成的形式；當(dāng)與、共線時(shí)，雖然可以寫成的形式，但實(shí)數(shù)對(duì)不唯一。 （5）利用空間向量的分解定理時(shí)，不可忽視條件中三向量“不共面”的條件。 （6）證明兩向量共線的方法：首先判斷兩向量中是否有零向量。若有，則兩向量共線；若兩向量，中，且有，則，共線。 （7）判斷三向量是否共面的依據(jù)：共面向量定理是判定三個(gè)向量是否共面的依據(jù)，要證明三個(gè)向量共面，只需存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使就可以了。在證明時(shí)要結(jié)合空間圖形，若通過運(yùn)算得不出的向量等式，、就不存在，就不共面。但一定要注意：三個(gè)向量共面是指它們所在的基線平行于同一平面或在同一平面內(nèi)，并不是指它們的基線一定在同一平面內(nèi)，利用此定理可以證明四點(diǎn)共面。（8）空間向量基本定理的應(yīng)用方法：選定空間不共面的三個(gè)向量作為基向量，用它們表示指定向量時(shí)，要結(jié)合圖形，聯(lián)想相關(guān)的公式和運(yùn)算法則等表示出與指定向量接近的向量，再變形整理直至符合目標(biāo)。 定時(shí) 鞏固 檢測(cè)基礎(chǔ)訓(xùn)練1.設(shè)是的重心，記，則為（ ）A. B. C. D.【答案】D（點(diǎn)撥：為重心，則.）2.如圖所示，已知三點(diǎn)不共線，為一定點(diǎn)，為平面外任一點(diǎn)，則下列能表示向量的為 （ ）A.B.C.D.【答案】C（點(diǎn)撥：根據(jù)、四點(diǎn)共面的條件即可求得：。即，由圖.）3.下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是 （ ）空間中的任何一個(gè)向量都可用表示空間中的任何一個(gè)向量都可用基向量表示空間中的任何一個(gè)向量都可用不共面的三個(gè)向量表示平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可用平面內(nèi)的兩個(gè)向量表示A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】C（點(diǎn)撥：正確的命題是。）4.已知向量是空間的一個(gè)基底，從中選哪一個(gè)向量，一定可以與向量，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底（ ）A. B. C. D.不存在【答案】C（點(diǎn)撥：設(shè)，則因?yàn)榛?，只能?）5.如圖所示，已知空間四邊形，其對(duì)角線為，、分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且分所成的定比為2，現(xiàn)用向量表示向量，設(shè)，則，的值分別是 （ ）A.B.C.D.【答案】D（點(diǎn)撥：由，知.能力提升6.空間四邊形中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則為 （ ）A. B.C