北大附中高考數(shù)學專題復(fù)習平面向量.docx

學科：數(shù)學教學內(nèi)容：平面向量【考點梳理】一、考試內(nèi)容1.向量、向量的概念，向量的加法與減法，實數(shù)與向量的積。2.平面向量的坐標表示，線段的定比分點。3.平面向量的數(shù)量積，平面兩點間的距離公式。4.平移及平移公式。二、考試要求1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。2.掌握向量的加法與減法。3.掌握實數(shù)與向量積，理解兩個向量共線的充要條件。4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算。5.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。6.掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用；掌握平移公式。三、考點簡析1.平面向量知識結(jié)構(gòu)表2.向量的概念（1）向量的基本概念定義既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也即是向量的長度，叫做向量的模。特定大小或特定關(guān)系的向量零向量，單位向量，共線向量（平行向量），相等向量，相反向量。表示法幾何法：畫有向線段表示，記為或。坐標法：=xi+yj=(x,y)。=(x2x1,y2y1)，其中a(x1,y1),b(x2,y2)（2）向量的運算向量的加法與減法定義與法則（如圖51）：a+b=(x1+x2,y1+y2),ab=(x1x2,y1y2)。其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)。運算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+o=o+a=a。向量的數(shù)乘（實數(shù)與向量的積）定義與法則（如圖52）：a=(x,y)=(x, y)運算律（a）=()a,( +)a=a+a, (a+b)= a+b。平面向量的數(shù)量積定義與法則（如圖53）：ab=|a|b|cos(a0,b0,0)0a=0,ab=x1x2+y1y2a=(x1,y1),b=(x2,y2)。運算律：ab=ba,(a)b=a(b)=（ab），（a+b）c=ac+bc。（3）定理與公式共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)，使得b= a平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的。任一向量a，有且只有一對實數(shù)1,2使a=1e1+2e2兩向量垂直的充要條件(i)abab=0(ii)abx1x2+y1y2=0（a=(x1,y1),b=(x2,y2)）三點共線定理：平面上三點a、b、c共線的充要條件是：存在實數(shù)、,使=+，其中+=1，o為平面內(nèi)的任一點。數(shù)值計算公式兩點間的距離公式：|=p1(),p2(x2,y2)線段的定比分點坐標公式：p1 (x1,y1),p2 (x2,y2),p(x,y), =中點坐標公式：兩向量的夾角公式：cos=0180,a=(x1,y1),b=(x2,y2)圖形變換公式平移公式：若點p0(x,y)按向量a=(h,k)平移至p(x,y)，則有關(guān)結(jié)論(i)平面內(nèi)有任意三個點o，a，b。若m是線段ab的中點，則(+);一般地，若p是分線段ab成定比的分點（即=，1）則=+，此即線段定比分點的向量式（注意與例7（1）表述方法的不同，例7（1）用時很方便）。(ii)有限個向量a1,a2,an相加，可以從點o出發(fā)，逐一作向量=a1, =a2, =an,則向量即這些向量的和，即a1+a2+an=+=（向量加法的多邊形法則）。當an和o重合時（即上述折線oa1a2an成封閉折線時），則和向量為零向量。注意：反用以上向量的和式，即把一個向量表示為若干個向量和的形式，是解決向量問題的重要手段。3.向量的應(yīng)用（1）向量在幾何中的應(yīng)用（2）向量在物理中的應(yīng)用四、思想方法向量法：用向量證明或解題的方向稱為向量法。向量法在處理物理學、幾何學中有很大的用處?！纠}解析】例1 設(shè)a0為單位向量，（1）若a為平面內(nèi)的某個向量，則a=|a|a0;(2)若a與a0平行，則a=|a|a0；（3）若a與a0平行且|a|=1，則a=a0。上述命題中，假命題個數(shù)是（ ）a.0b.1c.2d.3解析 向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若a與a0平行，則a與a0方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時a=|a|a0，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選d。注 向量的概念較多，且容易混淆，故在學習中要分清，理解各概念的實質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。例2 已知a=（cos，sin）,b=（cos,sin），a與b之間有關(guān)系|ka+b|=|akb|，其中k0，（1）用k表示ab;（2）求ab的最小值，并求此時ab的夾角的大小。解 （1）要求用k表示ab,而已知|ka+b|=|akb|，故采用兩邊平方，得|ka+b|2=(|akb|)2k2a2+b2+2kab=3(a2+k2b22kab)8kab=(3k2)a2+(3k21)b2ab =a=(cos，sin),b=(cos,sin)，a2=1, b2=1,ab =（2）k2+12k，即=ab的最小值為，又ab =| a|b |cos，|a|=|b|=1=11cos。=60,此時a與b的夾角為60。注 與代數(shù)運算相同，有時可以在含有向量的式子左右兩邊平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2ab或|a|2+|b|2+2ab例3 已知|a|=1,|b|=1，a與b的夾角為60, x=2ab,y=3ba,則x與y的夾角是多少？解 由已知|a|=|b|=1，a與b的夾角為60,得ab=|a|b|cos=。要計算x與y的夾角，需求出|x|,|y|,xy的值。|x|2=x2=(2ab)2=4a24ab+b2=44+1=3，|y|2=y2=(3ba)2=9b26ba+a2=96+1=7.xy=(2ab)(3ba)=6ab2a23b2+ab =7ab2a23b2 =723=，又xy=|x|y|cos，即=coscos=，=arccos。注 在計算x,y的模長時，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得，如圖所示，設(shè)=b, =a, =2a,bac=60。由向量減法的幾何意義，得=2ab。由余弦定理易得|=，即|x|=，同理可得|y|=.例4 討論|ab|與a,b的和或差的模的大小關(guān)系。解 如圖：（1）當a與b不平行時，a,b以及ab可以構(gòu)成一個三角形，如圖，于是| a |b|ab|a|+|b|（2）當a與b平行時，如果a與b的方向相同，則有|ab|=|a|b|，其中當|a|b|時，有|ab|=|a|b|，當|a|0，即ab2+(a2+b2) +ab0。把ab=3，a2+b2=|a|2+|b|2=2+9=11代入得32+11+30，解之得，此即所求的取值范圍。例6 如圖所示，已知四面體oabc中，m為bc的中點，n為ac的中點，q為ob的中點，p為oa的中點，若ab=oc，試用向量方法證明，pmqn。證明 m是bc的中點，連結(jié)om，=（+）。同理由n是ac的中點，得=（+）。=+=（+） =（+）=（+），=+=（+）=（+）=（+）= （）。=（+）（）=（）。|=|，=0，即pmqn。例7如圖，設(shè)g為oab的重心，過g的直線與oa，ob分別交于p和q，已知=h,=k,oab與opq的面積分別為s和t。求證：（1）+=3；（2）ts。證明 （1）連結(jié)og并延長交ab于m，則m為ab的中點，=（+），=+。 設(shè)g分pq所成比為t：(1t)，則=(1t) +t,而=h,=k,=（1t）h+tk。比較，得(1t)h=,tk=，即=3(1t), =3t,+=3。（2）poq=aob，=hk。由題（1）知k=0，3h10,=。又=，=，且依題意0h1,0k1, 1k=1=0,，。因此，sts成立。注 解本題的關(guān)鍵是理解向量各種運算的定義，并能熟練應(yīng)用運算法則。例8 將函數(shù)y=2x2進行平移，使得到的圖形與拋物線y=2x2+4x+2的兩個交點關(guān)于原點對稱，求平移后的函數(shù)解析式。解法一 設(shè)平移向量a=(h,k)，則將y=2x2按a平移之后得到的圖像的解析式為y=2(xh)2+k。設(shè)m(m,n)和m(m,n)是y=2x2+4x+2與y=2(xh)2+k的兩個交點，則：解得：或點（1，4）和點（1，4）在函數(shù)y=2(xh)2+k的圖像上故所求解析式為：y=2(x+1)24，即y=2x2+4x2解法二 將y=2x2按向量a=(h,k)平移，設(shè)p（x,y）為y=2x2上任一點，按a平移之后的對應(yīng)點為p(x,y)，則故yk=2(xh)2是平移之后的函數(shù)圖像解析式。由消去y得：4x24(h+1)x+2h2+k2=0又兩交點關(guān)于原點對稱x1+x2=0,即=0,h=1又y1+y2=0,2x124hx1+2+k+2x224hx2+2+k=02(x12+x22)+4(x1+x2)=42k2(x1+x2)2+4(x1+x2)4x1x1=42kx1x2=，4=42k,k=4y=2(x+1)24,即y=2x2+4x2。例9 如圖正方形oabc兩邊ab，bc的中點分別為d和e，求doe的余弦值。解析 創(chuàng)造使用求角公式的條件，為此須求。=+=+，=+=+，=（+）（+） =+（+）+， =0，=0。又=， =，=|2=。于是=（|2+|2）=|2，又|2=|2+|2=|2+|2=|2，cosdoe=注 利用向量解幾何題，關(guān)鍵是將有關(guān)線段設(shè)為向量，不同的設(shè)法可出現(xiàn)不同的解法。利用向量解平面幾何有時特別方便，但要注意的一點，不宜搞得過難，因為高考在這方面要求不高，只是在數(shù)學競賽中有較高要求。專題四 平面向量練習一、選擇題1.若三點p（1，1），a（2，-4），b（x,-9）共線，則（ ）a.x=-1b.x=3c.x=d.x=512.與向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）a.（-5k,4k）b.(-,-)c.(-10,2)d.(5k,4k)3.若點p分所成的比為，則a分所成的比是（ ）a.b. c.- d.-4.已知向量a、b，aa=-40，|a|=10,|b|=8，則向量a與b的夾角為（ ）a.60b.-60c.120d.-1205.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5，則向量ab=（ ）a.10b.-10c.10d.106.已知a=(3,0),b=(-5,5)，則a與b的夾角為( )a.b. c. d.7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+xb與b垂直，則x的值為（ ）a.b.c.2d.-8.設(shè)點p分有向線段的比是，且點p在有向線段的延長線上，則的取值范圍是（ ）a.(-,-1)b.(-1,0)c.(-,0)d.(-,-)9.設(shè)四邊形abcd中，有=，且|=|，則這個四邊形是（ ）a.平行四邊形b.矩形c.等腰梯形d.菱形10.將y=x+2的圖像c按a=(6,-2)平移后得c的解析式為（ ）a.y=x+10b.y=x-6c.y=x+6d.y=x-1011.將函數(shù)y=x2+4x+5的圖像按向量a經(jīng)過一次平移后，得到y(tǒng)=x2的圖像，則a等于（ ）a.(2,-1)b.(-2,1)c.(-2,-1)d.(2,1)12.已知平行四邊形的3個頂點為a(a,b),b(-b,a),c(0,0)，則它的第4個頂點d的坐標是（ ）a.(2a,b)b.(a-b,a+b)c.(a+b,b-a)d.(a-b,b-a)二、填空題13.設(shè)向量a=(2,-1)，向量b與a共線且b與a同向，b的模為2，則b= 。14.已知：|a|=2,|b|=,a與b的夾角為45，要使b-a垂直，則= 。15.已知|a|=3,|b|=5，如果ab，則ab= 。16.在菱形abcd中，（+）（-）= 。三、解答題。17.如圖，abcd是一個梯形，abcd，且ab=2cd，m、n分別是dc、ab的中點，已知=a,=b,試用a、b分別表示、。18.已知a=(1,2),b=(-3,2)，當k為可值時：（1）ka+b與a-3b垂直；（2）ka+b與a-3b平行，平行時它們是同向還是反向？19.設(shè)e1與e2是兩個單位向量，其夾角為60，試求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夾角。20.以原點o和a（4，2）為兩個頂點作等腰直角三角形oab，b=90，求點b的坐標和。21. 已知兩個向量a和b，求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是ab。22.已知abc頂點a（0，0），b（4，8），c（6，-4），點m內(nèi)分所成的比為3，n是ac邊上的一點，且amn的面積等于abc面積的一半，求n點的坐標。參考答案1.b 2.a 3.c 4.c 5.a 6.b 7.d 8.a 9.c 10.b 11.a 12.c13.(4,-2) 14.2 15.15 16.017.解 連結(jié)ac=a,=+= b+a, =-= b+a-a= b-a, =+=+= b-a,=-=a-b。18.解 （1）ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4)。當(ka+b)(a-3b)=0時，這兩個向量垂直，由10(k-3)+(2k+2)（-4）=0得k=19。（2）當ka+b與a-3b平行，存在惟一的實數(shù)，使ka+b=(a-3b),由(k-3,2k+2)=(10,-4)得解得此時-a+b與a-3b反向。19.解 a=2e1+e2,|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7,|a|=。同理得|b|=。又ab=（2e1+e2）(-3e1+2e2,)=-6e12+ e1e2+2e22=-， cos=-,=120.20.解 如圖8，設(shè)b(x,y),則=(x,y), =(x-4,y-2)。b=90，x(x-4)+y(y-2)=0，即x2+y2=4x+2y。設(shè)oa的