高中數(shù)學(xué)1.3算法案例素材新人教A版必修3.docx

精致教學(xué)理念在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的運用-以算法案例拓展課（中國剩余定理）為例深圳市龍翔學(xué)校高中部數(shù)學(xué)教師歐陽文豐撰寫導(dǎo)言：我校在鄧繼新教育工作室的領(lǐng)導(dǎo)下，高中部精致班認真貫徹精致教學(xué)理念，提倡課堂教學(xué)優(yōu)化教學(xué)觀念、優(yōu)化教學(xué)目標、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容、優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)、優(yōu)化教學(xué)方法、優(yōu)化教學(xué)氛圍共六個優(yōu)化思想。本文作者以算法案例拓展課（中國剩余定理）為例，探討精致教學(xué)理念在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的運用。 一、問題情境 1孫子不知其數(shù)問題2孫子問題的現(xiàn)代數(shù)學(xué)描述（引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型）“孫子問題”相當于求滿足x，y，z為正整數(shù)的不定方程組 m的一個正整數(shù)解二、探究問題的解決方法 1、 學(xué)生活動：嘗試集合列舉法； 三三數(shù)之剩二: 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,3x+2五五數(shù)之剩三: 3,8,13,18,23,28,33,38,43,48,53,58, ,5y+3七七數(shù)之剩二: 2,9,16,23,30,37,44,51,58,65,72,79, ,7z+2從上面的列舉中得知， 這個孫子問題的最小自然數(shù)解是23。 溫馨提示：此方法思路的優(yōu)點是容易想得到，但是缺點是列舉繁瑣。再者，如果所求解的數(shù)是比較大的話，還不容易找得到。 2、現(xiàn)代處理方法（計算機） ：學(xué)生自行完成，并相互討論檢查。 流程圖 程序語句3、 除了上面的兩種方法外，還有其他甚至于簡單易行的方法嗎？（教師因勢利導(dǎo)倡導(dǎo)學(xué)生的發(fā)散式思維）請看中國古代韓信的解決方法。 我國古代軍事家韓信對解這類問題編了這樣的歌訣：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正月半，除百零五便得知。韓信點兵的意思是：一個自然數(shù)除以3得到的余數(shù)乘以70，除以5得到的余數(shù)乘以21，除以7得到的余數(shù)乘以15，積相加。如果和大于105，連續(xù)減105，直到小于105為止，這樣得到的最小自然數(shù)，就是所求的結(jié)果。 韓信點兵的具體解題思路如下所示：能同時被5和7整除，還被3除余1的最小整數(shù)是：5，7 K， 顯然K最小是2。 所以5，7 2=70。能同時被3和7整除，還被5除余1的最小整數(shù)是：3，7 K， 顯然K最小是1。 所以3，7 1=21。能同時被3和5整除，還被7除余1的最小整數(shù)是：3，5 K， 顯然K最小是1。 所以3，5 1=15。所以， 一個自然數(shù)除以3得到的余數(shù)乘以70，除以5得到的余數(shù)乘以21，除以7得到的余數(shù)乘以15，積相加。如果和大于105，連續(xù)減105，直到小于105為止，這樣得到的最小自然數(shù)，就是所求的結(jié)果。三、 典型例題學(xué)習(xí)（以小組為單位，讓學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，領(lǐng)會韓信點兵的解題思路。）1、 例1 一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求適合這些條件的最小自然數(shù)。解：能同時被5和7整除，還被3除余1的最小整數(shù)是：5，7 K， 顯然K最小是2。 所以5，7 2=70。能同時被3和7整除，還被5除余1的最小整數(shù)是：3，7 K， 顯然K最小是1。 所以3，7 1=21。能同時被3和5整除，還被7除余1的最小整數(shù)是：3，5 K， 顯然K最小是1。 所以3，5 1=15。所以， 270+321+215 =233， 233- 3， 5， 7 2=233-1052=23。答：適合這些條件的最小自然數(shù)是23。變式練習(xí)1： 一筐蘋果,如果按5個一堆放, 最后多出3個. 如果按6個一堆放, 最后多出4個. 如果按7個一堆放, 還多出1個. 這筐蘋果至少有多少個？解：能同時被6和7整除，還被5除余1的最小整數(shù)是：6，7 K， 顯然K最小是3。 所以6，7 3=126。能同時被5和7整除，還被6除余1的最小整數(shù)是：5，7 K， 顯然K最小是5。 所以5，7 5=175。能同時被5和6整除，還被7除余1的最小整數(shù)是：5，6 K， 顯然K最小是4。 所以5，6 4=120。所以， 3126+4175+1120=1198， 1198- 5， 6， 7 5=1198-2105=148。答：這筐蘋果至少有148個。 變式練習(xí)2：中國古代還流傳一個蕭何計糧的歌訣。九宮山上十一泉， 十一泉涌九宮山，山泉匯合翻五滾，去百加個便了然。 試證明蕭何計糧的正確性。 解：蕭何計糧的含義是：除以9的余數(shù)乘以11，除以11的余數(shù)乘以9，積相加。 再計算和的5倍，最后去掉百位及以上的數(shù)字，添加到個位上后就是所求的最小自然數(shù)。能被11整除，還被9除余1的最小整數(shù)是：11 K， 顯然K最小是5。 所以11 5=55。能被9整除，還被11除余1的最小整數(shù)是：9 K， 顯然K最小是5。 所以9 5=45。所以，一個自然數(shù)除以9得到的余數(shù)乘以55，除以11得到的余數(shù)乘以45，積相加。去掉百位及以上的數(shù)字，添加到個位上的意思是：如果和大于99，連續(xù)減99，直到小于99為止，這樣得到的最小自然數(shù)，就是所求的結(jié)果。2、 例2 在10000以內(nèi)，除以3余2，除以7余3，除以11余4的數(shù)有幾個？ 解： 能同時被7和11整除，還被3除余1的最小整數(shù)是：7，11 K， 顯然K最小是2。 所以7，11 2=154。能同時被3和11整除，還被7除余1的最小整數(shù)是：3，11 K， 顯然K最小是3。 所以3，11 3=99。能同時被3和7整除，還被11除余1的最小整數(shù)是：3，7 K， 顯然K最小是10。 所以3，7 10=210。所以， 2154+399+4210 =1445， 符合題意的數(shù)是：1445- 3， 7， 11 6=59。 因為3， 7， 11=231，所以符合題意的數(shù)是以59為首項，公差是231的等差數(shù)列。（10000-59）231=438，所以在10000以內(nèi)符合題意的數(shù)共有43+1=44個。 答：在10000以內(nèi)符合題意的數(shù)共有44個。 四、課堂小結(jié) 1孫子不知數(shù)問題的求解算法中國剩余定理；2現(xiàn)代數(shù)學(xué)處理方法是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)整數(shù)的搜索；3、中國古代韓信點兵的解題思路。 五、 課后練習(xí)1、求滿足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然數(shù)。 2、一個兩位數(shù),用它除58余2,除73余3,除85余1,這個兩位數(shù)是多少？3、在小于1000的自然數(shù)中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然數(shù)是幾？ 結(jié)束語：本節(jié)課是以問題情境啟發(fā)學(xué)生認識新的問題，進而導(dǎo)入課題。在探究活動中，采用循序漸進引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散式思維，以學(xué)生自主式學(xué)習(xí)，從多維度思考問題，鼓勵學(xué)生思想活躍，勇于探索。在教師因勢利導(dǎo)的前提下，介紹韓信點兵的歌訣，敦促學(xué)生理解韓信點兵的解題思路。在