高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角學(xué)案（無(wú)答案）新人教A版.docx

1.1任意角和弧度制11.1任意角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解角的概念.2.掌握正角、負(fù)角和零角的概念，理解任意角的意義.3.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會(huì)用集合符號(hào)表示這些角知識(shí)點(diǎn)一角的相關(guān)概念思考1用旋轉(zhuǎn)方式定義角時(shí)，角的構(gòu)成要素有哪些？答案角的構(gòu)成要素有始邊、頂點(diǎn)、終邊思考2將射線OA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB位置，有幾種旋轉(zhuǎn)方向？答案有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種旋轉(zhuǎn)方向梳理(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)O從一個(gè)位置OA旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置OB所成的圖形點(diǎn)O是角的頂點(diǎn)，射線OA，OB分別是角的始邊和終邊(2)按照角的旋轉(zhuǎn)方向，分為如下三類：類型定義正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)零角知識(shí)點(diǎn)二象限角思考把角的頂點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角，則其終邊(除端點(diǎn)外)可能落在什么位置？答案終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個(gè)象限內(nèi)梳理在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角；軸線角：終邊落在坐標(biāo)軸上的角知識(shí)點(diǎn)三終邊相同的角思考1假設(shè)60的終邊是OB，那么660，420的終邊與60的終邊有什么關(guān)系，它們與60分別相差多少？答案它們的終邊相同660602360，42060360，故它們與60分別相差了2個(gè)周角及1個(gè)周角思考2如何表示與60終邊相同的角？答案60k360(kZ)梳理終邊相同角的表示：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k360，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和1經(jīng)過(guò)1小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)30.()提示因?yàn)槭琼槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)30.2終邊與始邊重合的角是零角()提示終邊與始邊重合的角是k360(kZ)3小于90的角是銳角()提示銳角是指大于0且小于90的角4鈍角是第二象限角()5第二象限角是鈍角()提示第二象限角不一定是鈍角類型一任意角概念的理解例1(1)給出下列說(shuō)法：銳角都是第一象限角；第一象限角一定不是負(fù)角；小于180的角是鈍角或直角或銳角其中正確說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫上)(2)將時(shí)鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的度數(shù)是_考點(diǎn)任意角的概念題點(diǎn)任意角的概念答案(1)(2)120解析(1)銳角指大于0小于90的角，都是第一象限角，所以對(duì)；由任意角的概念知，第一象限角也可為負(fù)角，小于180的角還有負(fù)角、零角，所以錯(cuò)誤(2)分針每分鐘轉(zhuǎn)6，由于順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以20分鐘轉(zhuǎn)了120.反思與感悟解決此類問(wèn)題要正確理解銳角、鈍角、090角、象限角等概念角的概念推廣后，確定角的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小跟蹤訓(xùn)練1寫出下列說(shuō)法所表示的角(1)順時(shí)針擰螺絲2圈；(2)將時(shí)鐘撥慢2小時(shí)30分，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角考點(diǎn)任意角的概念題點(diǎn)任意角的概念解(1)順時(shí)針擰螺絲2圈，螺絲順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了2周，因此所表示的角為720.(2)撥慢時(shí)鐘需將分針按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，因此將時(shí)鐘撥慢2小時(shí)30分，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為900.類型二象限角的判定例2(1)已知下列各角：120；240；180；495.其中是第二象限角的是()ABCD考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角答案D解析120為第三象限角，錯(cuò)；240360120，120為第二象限角，240也為第二象限角，故對(duì)；180為軸線角；495360135，135為第二象限角，495為第二象限角，故對(duì)故選D.(2)已知為第三象限角，則是第幾象限角？考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角解因?yàn)闉榈谌笙藿?，所以k360180k360270，kZ，所以k18090k180135，kZ，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，記k2n，nZ，n36090n360135，nZ，所以終邊在第二象限，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，記k2n1，nZ，n360270n360315，nZ，所以終邊在第四象限綜上可知，是第二象限角或第四象限角反思與感悟(1)判斷象限角的步驟當(dāng)0360時(shí)，直接寫出結(jié)果；當(dāng)0或360時(shí)，將化為k360(kZ，0360)，轉(zhuǎn)化為判斷角所屬的象限(2)一般地，要確定所在的象限，可以作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域，從x軸的非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針?lè)较虬堰@4n個(gè)區(qū)域依次標(biāo)上1,2,3,4，4n，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是根據(jù)所在第幾象限時(shí)，的終邊所落在的區(qū)域，如此，所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀的看出跟蹤訓(xùn)練2在0360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角(1)150；(2)650；(3)95015.考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角解(1)因?yàn)?50360210，所以在0360范圍內(nèi)，與150角終邊相同的角是210角，它是第三象限角(2)因?yàn)?50360290，所以在0360范圍內(nèi)，與650角終邊相同的角是290角，它是第四象限角(3)因?yàn)?5015336012945，所以在0360范圍內(nèi)，與95015角終邊相同的角是12945角，它是第二象限角類型三終邊相同的角命題角度1求與已知角終邊相同的角例3在與角10030終邊相同的角中，求滿足下列條件的角(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)360，720)的角考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解與10030終邊相同的角的一般形式為k36010030(kZ)，(1)由360k360100300，得10390k36010030，解得k28，故所求的最大負(fù)角為50.(2)由0k36010030360，得10030k3609670，解得k27，故所求的最小正角為310.(3)由360k36010030720，得9670k3609310，解得k26，故所求的角為670.反思與感悟求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值跟蹤訓(xùn)練3寫出與1910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式720360的元素寫出來(lái)考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解由終邊相同的角的表示知，與角1910終邊相同的角的集合為|k3601910，kZ720360，即720k3601910360(kZ)，3k6(kZ)，故取k4,5,6.當(dāng)k4時(shí)，43601910470；當(dāng)k5時(shí)，53601910110；當(dāng)k6時(shí)，63601910250.命題角度2求終邊在給定直線上的角的集合例4寫出終邊在直線yx上的角的集合考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解終邊在yx(x0)上的角的集合是S1|120k360，kZ；終邊在yx(x0)上的角的集合是S2|300k360，kZ因此，終邊在直線yx上的角的集合是SS1S2|120k360，kZ|300k360，kZ，即S|1202k180，kZ|120(2k1)180，kZ|120n180，nZ故終邊在直線yx上的角的集合是S|120n180，nZ反思與感悟求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x0和x0兩種情況討論，最后再進(jìn)行合并跟蹤訓(xùn)練4寫出終邊在直線yx上的角的集合考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角解終邊在yx(x0)上的角的集合是S1|30k360，kZ；終邊在yx(x0，解得k，故當(dāng)k9時(shí)，240滿足條件10若k36045，kZ，則是第_象限角考點(diǎn)象限角、軸線角題點(diǎn)象限角答案一或三解析k36045，kZ，k18022.5，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)，即k2n，nZ時(shí)，n36022.5，nZ，為第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)，即k2n1，nZ時(shí)，n360202.5，nZ，為第三象限角綜上，是第一或第三象限角11.如圖，終邊落在OA的位置上的角的集合是_；終邊落在OB的位置上，且在360360內(nèi)的角的集合是_；終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是_考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案|120k360，kZ315，45|45k360120k360，kZ解析終邊落在OA的位置上的角的集合是|120k360，kZ終邊落在OB的位置上的角的集合是|315k360，kZ，取k0，1得315，45.故終邊落在OB的位置上，且在360360內(nèi)的角的集合是315，45終邊落在陰影部分的角的集合是|45k360120k360，kZ12集合A|k9036，kZ，B|180180，則AB_.考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案126，36，54，144解析當(dāng)k1時(shí)，126；當(dāng)k0時(shí)，36；當(dāng)k1時(shí)，54；當(dāng)k2時(shí)，144.AB126，36，54，14413已知角的終邊在直線xy0上則角的集合S為_(kāi)考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)任意角的綜合應(yīng)用答案|60n180，nZ解析如圖，直線xy0過(guò)原點(diǎn)，傾斜角為60，在0360范圍內(nèi)，終邊落在射線OA上的角是60，終邊落在射線OB上的角是240，所以以射線OA，OB為終邊的角的集合分別為S1|60k360，kZ，S2|240k360，kZ，所以，角的集合SS1S2|60k360，kZ|60180k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60n180，nZ14(2017山東臨沂一中月考)若角滿足180360，角5與有相同的始邊與終邊，則角_.考點(diǎn)終邊相同的角題點(diǎn)終邊相同的角答案270解析角5與具有相同的始邊與終邊，5k360，kZ，得4k360，kZ，k90，kZ，又180360，當(dāng)k3時(shí)，270.三、解答題15(2017山西平遙一中月考)一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)單位圓(半徑為1的圓)上爬動(dòng)，兩只螞蟻均從點(diǎn)A(1,0)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻每秒爬過(guò)角，黑螞蟻每秒爬過(guò)角(其中0180)，如果兩只螞蟻都在第14s時(shí)回到A點(diǎn)，并且在第2s時(shí)均