高中數(shù)學(xué)第二章2.1指數(shù)函數(shù)2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（二）學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合所得的函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及單調(diào)性的判斷.2.能借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.3.會(huì)解簡單的指數(shù)方程、不等式知識(shí)點(diǎn)一不同底指數(shù)函數(shù)圖象的相對(duì)位置思考y2x與y3x都是增函數(shù)，都過點(diǎn)(0,1)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)如何確定它們兩個(gè)的相對(duì)位置？答案經(jīng)描點(diǎn)觀察，在y軸右側(cè)，2x3x，即y3x圖象在y2x上方，經(jīng)(0,1)點(diǎn)交叉，位置在y軸左側(cè)反轉(zhuǎn)，y2x在y3x圖象上方梳理一般地，在同一坐標(biāo)系中有多個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象時(shí)，圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小有如下關(guān)系：(1)在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小；在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時(shí)針方向變大這一性質(zhì)可通過令x1時(shí)，ya去理解，如圖(2)指數(shù)函數(shù)yax與yx(a0且a1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)二比較冪的大小思考若x1x2，則與(a0且a1)的大小關(guān)系如何？答案當(dāng)a1時(shí)，yax在R上為增函數(shù)，所以當(dāng)0a1時(shí)，yax在R上為減函數(shù)，所以梳理一般地，比較冪大小的方法有：(1)對(duì)于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個(gè)冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷；(2)對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來判斷；(3)對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個(gè)冪的大小，則通過中間值來判斷知識(shí)點(diǎn)三解指數(shù)方程、不等式簡單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的單調(diào)性求解；(2)形如af(x)b的不等式，可將b化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助yax的單調(diào)性求解；(3)形如axbx的不等式，可借助兩函數(shù)yax，ybx的圖象求解知識(shí)點(diǎn)四與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)單調(diào)性思考的定義域與y的定義域是什么關(guān)系？的單調(diào)性與y的單調(diào)性有什么關(guān)系？答案由于yax(a0且a1)的定義域?yàn)镽，故的定義域與y的定義域相同，故研究的單調(diào)性，只需在y的定義域內(nèi)研究若設(shè)0x1x2，則，不等號(hào)方向的改變與yx，y的單調(diào)性均有關(guān)梳理一般地，有形如yaf(x)(a0，且a1)函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)yaf(x)與函數(shù)yf(x)有相同的定義域(2)當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)yaf(x)與yf(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)0a0.1b，則ab.()3a，b均大于0且不等于1，若axbx，則x0.()4由于yax(a0且a1)既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)也組不成具有奇偶性的函數(shù)()類型一解指數(shù)方程例1解下列方程(1)8132xx2；(2)22x232x10.考點(diǎn)指數(shù)方程的解法題點(diǎn)指數(shù)方程的解法解(1)8132xx2，32x432(x2)，2x42(x2)，x2.(2)22x232x10，4(2x)232x10.令t2x(t0)，則方程可化為4t23t10，解得t或t1(舍去)2x，解得x2.反思與感悟(1)af(x)b型通常化為同底來解(2)解指數(shù)方程時(shí)常用換元法，用換元法時(shí)要特別注意“元”的范圍轉(zhuǎn)化為解二次方程，用二次方程求解時(shí)，要注意二次方程根的取舍跟蹤訓(xùn)練1解下列方程(1)33x281；(2)；(3)52x65x50.考點(diǎn)指數(shù)方程的解法題點(diǎn)指數(shù)方程的解法解(1)8134，33x234，3x24，解得x2.(2)，解得x.(3)令t5x，則t0，原方程可化為t26t50，解得t5或t1，即5x5或5x1，x1或x0.類型二指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1比較大小例2比較下列各題中兩個(gè)值的大小(1)1.72.5,1.73；(2)1.70.3,1.50.3；(3)1.70.3,0.83.1.考點(diǎn)指數(shù)冪的大小比較題點(diǎn)比較指數(shù)冪大小解(1)1.71，y1.7x在(，)上是增函數(shù)2.53，1.72.51.73.(2)方法一1.71.5，在(0，)上，y1.7x的圖象位于y1.5x的圖象的上方而0.30，1.70.31.50.3.方法二1.50.30，且0.3，又1,0.30，0.31，1.70.31.50.3.(3)1.70.31.701,0.83.10.801，1.70.30.83.1.反思與感悟當(dāng)兩個(gè)數(shù)不能利用同一函數(shù)的單調(diào)性作比較時(shí)，可考慮引入中間量，常用的中間量有0和1.跟蹤訓(xùn)練2比較下列各題中的兩個(gè)值的大小(1)0.80.1,1.250.2；(2)，1；(3)0.23，(3)0.2.考點(diǎn)指數(shù)冪的大小比較題點(diǎn)比較指數(shù)冪大小解(1)00.81，y0.8x在R上是減函數(shù)0.20.1，0.80.20.80.1，即0.80.11.250.2.(2)01，函數(shù)yx在R上是減函數(shù)又0，01，即1.(3)0.233353，命題角度2解指數(shù)不等式例3解關(guān)于x的不等式：a2x1ax5(a0，且a1)考點(diǎn)指數(shù)不等式的解法題點(diǎn)指數(shù)不等式的解法解當(dāng)0a1時(shí)，a2x1ax5，2x1x5，解得x6.綜上所述，當(dāng)0a1時(shí)，不等式的解集為x|x6反思與感悟解指數(shù)不等式的基本方法是先化為同底指數(shù)式，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性化為常規(guī)的不等式來解，注意底數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響跟蹤訓(xùn)練3已知(a2a2)x(a2a2)1x，則x的取值范圍是_考點(diǎn)指數(shù)不等式的解法題點(diǎn)指數(shù)不等式的解法答案解析a2a221，(a2a2)x(a2a2)1xx1xx.x.類型三求與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例4(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)y2x8x17的單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽.在(，3上，yx26x17是減函數(shù)，在(，3上是增函數(shù)在3，)上，yx26x17是增函數(shù)，在3，)上是減函數(shù)的增區(qū)間是(，3，減區(qū)間是3，)(2)函數(shù)y2x8x17的定義域?yàn)镽.設(shè)tx0，又yt28t17在(0,4上單調(diào)遞減，在4，)上單調(diào)遞增，令x4，得x2，當(dāng)2x1t2，t8t117t8t217.y2x8x17的單調(diào)增區(qū)間是2，)同理可得減區(qū)間是(，2反思與感悟復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題歸根結(jié)底是由x11時(shí)，y關(guān)于u為增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，原函數(shù)的增區(qū)間為1，)，減區(qū)間為(，1；當(dāng)0a1時(shí)，原函數(shù)的增區(qū)間為(，1，減區(qū)間為1，)(2)已知函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0設(shè)y，u0.2x，易知u0.2x為減函數(shù)而根據(jù)y的圖象可知在區(qū)間(，1)和(1，)上，y是關(guān)于u的減函數(shù)，原函數(shù)的增區(qū)間為(，0)和(0，).1下列大小關(guān)系正確的是()A0.4330.40B0.43030.4C30.40.430D030.40.43考點(diǎn)指數(shù)冪的大小比較題點(diǎn)比較指數(shù)冪大小答案B解析0.430.4003030.4.2方程42x116的解是()AxBxCx1Dx2考點(diǎn)指數(shù)方程的解法題點(diǎn)指數(shù)方程的解法答案B解析42x142，2x12，x.3函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(，0 B0，)C(1，) D(，1)考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案A解析，01，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為u(x)x21的單調(diào)遞減區(qū)間，即(，04設(shè)0a1，則關(guān)于x的不等式的解集為_考點(diǎn)指數(shù)不等式的解法題點(diǎn)指數(shù)不等式的解法答案(1，)解析0a1，yax在R上是減函數(shù)，又，2x23x22x22x3，解得x1.5f(x)2x2x的奇偶性是_考點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的奇偶性題點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的奇偶性答案偶函數(shù)解析f(x)的定義域?yàn)镽.f(x)2x2(x)2x2xf(x)，f(x)為偶函數(shù)1比較兩個(gè)指數(shù)式值的大小的主要方法(1)比較形如am與an的大小，可運(yùn)用指數(shù)函數(shù)yax的單調(diào)性(2)比較形如am與bn的大小，一般找一個(gè)“中間值c”，若amc且cbn，則amc且cbn，則ambn.2解簡單指數(shù)不等式問題的注意點(diǎn)(1)形如axay的不等式，可借助yax的單調(diào)性求解如果a的值不確定，需分0a1兩種情況進(jìn)行討論(2)形如axb的不等式，注意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助yax的單調(diào)性求解(3)形如axbx的不等式，可借助圖象求解3(1)研究yaf(x)型單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意a1還是0a1時(shí)，yaf(x)與f(x)單調(diào)性相同當(dāng)0a1時(shí)，yaf(x)與f(x)單調(diào)性相反(2)研究yf(ax)型單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意ax屬于f(u)的增區(qū)間還是減區(qū)間一、選擇題1設(shè)x0，且1bxax，則()A0ba1B0ab1C1baD1ab考點(diǎn)指數(shù)不等式的解法題點(diǎn)指數(shù)不等式的解法答案B解析1bxax，x0，0a1,0b1.當(dāng)x1時(shí)，a，0abf(n)，則m，n的關(guān)系為()Amn0CmnDmn考點(diǎn)指數(shù)不等式的解法題點(diǎn)指數(shù)不等式的解法答案D解析0f(n)，m0，且a1)，滿足f(1)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A(，2 B2，)C2，) D(，2考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案B解析由f(1)得a2，所以a(a舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上遞減，在2，)上遞增，所以f(x)在(，2上遞增，在2，)上遞減故選B.5設(shè)y140.9，y280.48，y31.5，則()Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y2考點(diǎn)指數(shù)冪的大小比較題點(diǎn)比較指數(shù)冪大小答案D解析40.921.8,80.4821.44，1.521.5，根據(jù)y2x在R上是增函數(shù)，得21.821.521.44，即y1y3y2，故選D.6設(shè)f(x)|3x1|，cbf(a)f(b)，則下列關(guān)系式中一定成立的是()A3c3bB3c3bC3c3a2D3c3af(a)f(b)可知c，b，a不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上故有c0.f(c)13c，f(a)3a1.f(c)f(a)，即13c3a1,3c3a2.7已知函數(shù)f(x)x(exaex)(xR)，若f(x)是偶函數(shù)，記am，若f(x)是奇函數(shù)，記an，則m2n的值為()A0B1C2D1考點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的奇偶性題點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的函數(shù)的奇偶性答案B解析當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，即(1a)(exex)x0，因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以a1，即m1.當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，即(1a)(exex)x0，因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以a1，即n1，所以m2n1.8若存在正實(shí)數(shù)x使2x(xa)1，則a的取值范圍是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍答案D解析由2x(xa)x(x0)，令f(x)x，即af(x)有解，則af(x)min，又f(x)在(0，)上是增函數(shù)，f(x)f(0)1，a1.故選D.二、填空題9函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性題點(diǎn)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間答案(2，)解析函數(shù)由f(t)t，t(x)x24x5復(fù)合而成，其中f(t)t是減函數(shù)，t(x)x24x5在(，2)上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2，)10某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)隨時(shí)間x(h)變化的規(guī)律近似滿足解析式f(x)規(guī)定駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.02mg/mL，據(jù)此可知，此駕駛員至少要過_h后才能開車(精確到1h)考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題點(diǎn)指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用答案4解析當(dāng)0x1時(shí)，5x2，此時(shí)不宜開車；由x0.02，可得x3.10.故至少要過4h后才能開車11若4x2x1m1對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的恒成立問題答案1，)解析4x2x1m1等價(jià)于(2x)222x12m，即(2x1)22m.2x(0，)，2x1(1，)，2m1，解得m1.三、解答題12已知函數(shù)f(x)2a4x2x1.(1)當(dāng)a1時(shí)，解不等式f(x)0；(2)當(dāng)a，x0,2時(shí)，求f(x)的值域考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的恒成立問題解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)24x2x1.f(x)0，即2(2x)22x10，解得2x1或2x0，不等式f(x)0的解集為x|x0(2)當(dāng)a時(shí)，f(x)4x2x1，x0,2設(shè)t2x，x0,2，t1,4令yg(t)t2t1(1t4)，畫出g(t)t2t1(1t4)的圖象(如圖)，可知g(t)ming(1)1，g(t)maxg(4)11，f(x)的值域?yàn)?,1113已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)12x，(1)寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式f(x)的解集考點(diǎn)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題點(diǎn)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的恒成立問題解(1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0.f(x)在0，)上是增函數(shù)，f(x)在(，)上是增函數(shù)(2)f(x)f(1)f(1)，由(1)知f(x)在R上是增函數(shù)，x1.即f(x)2時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則af(1.10.9)，bf(0.91.1)，cf(2)的大小關(guān)系是_(按由大到小排列)考點(diǎn)指數(shù)冪的大小比較題點(diǎn)比較指數(shù)冪大小答案bac解析f(x)f(4x)，f(x)關(guān)于x2對(duì)稱又f(x)在(2，)上是增函數(shù)，f(x)在(，2)上是減函數(shù)又1.10.91,00.91.11，0.91.11.10.9f(1.10.9)f(2)，即b