空間直線及其方程(37).ppt

一、空間直線的點向式方程 和參數(shù)方程,二、空間直線的一般方程,三、空間兩直線的夾角,第五節(jié) 空間直線及其方程,第八章 向量代數(shù) 空間解析幾何,設 M(x, y, z)是直線 L 上任意一點，,設直線 L 過點 M0(x0, y0, z0)，,是直線 L 的向量.,由兩向量平行的充要條件可知,方程組 稱為直線的點向式方程或標準方程,(當 m，n，p 中有一個或兩個為零時， 就理解為相應的分子是零).,M,x,L,s,y,z,M0,一、空間直線的點向式方程和參數(shù)方程,若直線 L 的方程為,平面 的方程為,則直線 L 與平面 平行的充要條件是 mA + nB + pC = 0 .,直線 L 與平面 垂直的充要條件是,在直線方程 中，,記其比值為 t ，,則方程組,稱為直線的參數(shù)方程，t 為參數(shù).,所以可取s = n，,例 1,求過點 M( 2, 0, 3 )且垂直于平面 :,4x + y z + 5 = 0 的直線方程.,解,設所求的直線方程為,由于直線垂直于平面 ，,即,s = m , n , p = 4 , 1 , 1 ，,故所求的直線方程為,例 2,求過點 M1 (x1, y1, z1)，,M2(x2, y2, z2)的直線方程.,解,設所求的直線方程為,由于直線過點 M1，M2 ,所以可取向量,為直線的方向向量 s .,故所求的直線方程為,例 3,求過點(1, 3, 2),且平行于兩平面 3x y + 5z + 2 = 0,及 x + 2y 3z + 4 = 0 的直線方程.,解,設所求的直線方程為,因為所求直線平行于兩平面，,故直線的方向向量 s 垂直于兩平面的法向量,n1 = 3 , 1 , 5 及 n2 = 1 , 2 , 3 .,所以,因此所求的直線方程為,即,顯然 P 點的坐標應同時滿足已知的直線方程與平面方程.,與平面 2x + y -z - 5 = 0 的交點.,例 4,解,設所求交點為 P(x, y, z)，,解方程組,得 t = 4 ，,代入?yún)?shù)方程得 x = 3，y = 6，z = 5，,即交點 P 的坐標為(3, 6, 5).,由于 L 的參數(shù)方程為,例 5,求點 P(1, 1, 4)到直線 L：,的距離.,解,過點 P 且垂直于直線 L 的平面 的法向量為 n = 1, 1, 2，,則平面方程為,( x1 ) + ( y 1 ) + 2( z 4 ) = 0，,即,x + y + 2z 10 = 0 .,x = 2 + t，,y = 3 + t，,z = 4+ 2t，,將 代入 ， 得,6t + 3 = 0，,即,將 代入 得交點 Q 的坐標為,所以點 P 到 L 的距離,稱為空間直線的一般方程.,二、空間直線的一般方程,方程組,表示這兩個平面的交線，,例如方程組,表示 z 軸所在的直線方程，,而,表示 y 軸所在的直線方程.,因為 s 分別垂直于兩平面的法向量,即點( 2, 0, 0 )在直線上.,例 6,將直線方程,化為點向式方程及參數(shù)方程.,解,令 z = 0,代入原方程得 x = 2， y = 0，,n1 = 1, 1, 2，,n2 = 2, 1, 3.,所以,所以直線的點向式方程為,令上式等于 t，,得已知直線的參數(shù)方程為,又因已知直線,例 7,一直線過點 M5, 0, 2，,且與直線,平行，求該直線方程.,解,因為所求直線過點(5, 0, 2)，,所以它的方程為,的方向向量 s 為：,即,s = m, n, p =2, 5, 11 ，,因此， 所求直線方程為,三、空間兩直線的夾角,兩直線方向向量的夾角稱為兩直線的夾角.,設直線 L1 和 L2 的方程為,那么 L1 和 L2 的夾角 的余弦為,兩直線 L1，L2 垂直的充要條件是:,通常規(guī)定， 0 , .,易知,兩直線 L1，L2 平行的充要條件是：,確定下列各方程組所表示的直線或直線與平面間的位置關系：,例