高中數(shù)學(xué)第三章3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型學(xué)習(xí)目標1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異.2.會根據(jù)函數(shù)的增長差異選擇函數(shù)模型知識點一函數(shù)模型一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題的已知條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其他相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型知識點二三種常見函數(shù)模型的增長差異比較三種函數(shù)模型的性質(zhì)，填寫下表.函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定隨n值而不同增長速度ax的增長快于xn的增長，xn的增長快于logax的增長增長后果會存在一個x0，當xx0時，有axxnlogax1先有實際問題，后有模型()2一個好的函數(shù)模型，既能與現(xiàn)有數(shù)據(jù)高度符合，又能很好地推演和預(yù)測()3增長速度越來越快的一定是指數(shù)函數(shù)模型()4由于指數(shù)函數(shù)模型增長速度最快，所以對于任意xR恒有axx2(a1)()類型一幾類函數(shù)模型的增長差異例1(1)下列函數(shù)中，隨x的增大，增長速度最快的是()Ay50xByx50Cy50xDylog50x(xN*)考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案C解析四個函數(shù)中，增長速度由慢到快依次是ylog50x，y50x，yx50，y50x.(2)函數(shù)y2xx2的大致圖象為()考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案A解析在同一平面直角坐標系內(nèi)作出y12x，y2x2的圖象(圖略)易知在區(qū)間(0，)上，當x(0,2)時，2xx2，即此時y0；當x(2,4)時，2xx2，即y0；當x(4，)時，2xx2，即y0；當x1時，y2110.據(jù)此可知只有選項A中的圖象符合條件反思與感悟在區(qū)間(0，)上，盡管函數(shù)yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上，隨著x的增大，yax(a1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于yxn(n0)的增長速度，而ylogax(a1)的增長速度則會越來越慢因此，總會存在一個x0，當xx0時，就有l(wèi)ogaxxnax.跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)f(x)的大致圖象為()考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案D解析f(x)為偶函數(shù)，排除A，B.當x1時，ylg|x|lgx0，且增長速度小于yx2，所以當x時，0且函數(shù)值為正數(shù)，故選D.類型二函數(shù)模型的增長差異在函數(shù)圖象上的體現(xiàn)例2高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數(shù)vf(h)的大致圖象是()考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案B解析vf(h)是增函數(shù)，且曲線的斜率應(yīng)該是先變大后變小，故選B.反思與感悟一般來說，函數(shù)模型的增長速度與圖象關(guān)系如下表：增長速度越來越快不變越來越慢圖象/跟蹤訓(xùn)練2某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年的年產(chǎn)量保持不變，將該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示，則正確的是()考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案A類型三函數(shù)模型的應(yīng)用命題角度1選擇函數(shù)模型例3某大型超市為了滿足顧客對商品的購物需求，對超市的商品種類做了一定的調(diào)整，結(jié)果調(diào)整初期利潤增長迅速，隨著時間的推移，增長速度越來越慢，如果建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該超市調(diào)整后利潤y與售出商品的數(shù)量x的關(guān)系，則可選用()A一次函數(shù)B二次函數(shù)C指數(shù)型函數(shù)D對數(shù)型函數(shù)考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案D解析四個函數(shù)中，A的增長速度不變，B，C增長速度越來越快，其中C增長速度比B更快，D增長速度越來越慢，故只有D能反映y與x的關(guān)系反思與感悟根據(jù)實際問題提供的兩個變量的數(shù)量關(guān)系可構(gòu)建和選擇正確的函數(shù)模型同時，要注意利用函數(shù)圖象的直觀性來確定適合題意的函數(shù)模型跟蹤訓(xùn)練3(2017河南安陽檢測)四人賽跑，假設(shè)其跑過的路程和時間的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()Af1(x)x2Bf2(x)4xCf3(x)log2xDf4(x)2x考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案D解析四個函數(shù)模型中，增長速度最快的為f4(x)2x.存在x0，當xx0時，有2xx24xlog2x.即時間足夠長時，f4(x)路程最遠故選D.命題角度2用函數(shù)模型決策例4某公司預(yù)投資100萬元，有兩種投資可供選擇：甲方案年利率10%，按單利計算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年復(fù)利一次計算，5年后收回本金和利息哪種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？(結(jié)果精確到0.01萬元)考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點建立函數(shù)模型解決實際問題解按甲，每年利息10010%10,5年后本息合計150萬元；按乙，第一年本息合計1001.09，第二年本息合計1001.092，5年后本息合計1001.095153.86(萬元)故按乙方案投資5年可多得利3.86萬元，乙方案投資更有利反思與感悟建立函數(shù)模型是為了預(yù)測和決策，預(yù)測過程就是依據(jù)模型研究相應(yīng)性質(zhì)，得到結(jié)論后再返回實際問題給出決策跟蹤訓(xùn)練4一家庭(父親、母親和孩子們)去某地旅游，甲旅行社說：“如果父親買全票一張，其余人可享受半票優(yōu)惠”乙旅行社說：“家庭旅行為集體票，按原價優(yōu)惠”這兩家旅行社的原價是一樣的試就家庭里不同的孩子數(shù)，分別建立表達式，計算兩家旅行社的收費，并討論哪家旅行社更優(yōu)惠考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點建立函數(shù)模型解決實際問題解設(shè)家庭中孩子數(shù)為x(x1，xN*)，旅游收費為y，旅游原價為a.甲旅行社收費：ya(x1)(x3)；乙旅行社收費：y(x2)(x2)(x3)(x1)，當x1時，兩家旅行社收費相等當x1時，甲旅行社更優(yōu)惠.1下列函數(shù)中隨x的增長而增長最快的是()AyexBylnxCyx100Dy2x考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案A2能使不等式log2xx22x一定成立的x的取值區(qū)間是()A(0，) B(2，) C(，2) D(4，)考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案D3某物體一天中的溫度T(單位：)是時間t(單位：h)的函數(shù)：T(t)t33t60，t0表示中午12：00，其后t取正值，則下午3時溫度為()A8B78C112D18考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點冪函數(shù)模型的應(yīng)用答案B4下列選項是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時間x的函數(shù)，從足夠長遠的角度看，更為有前途的生意是_y101.05x；y20x1.5；y30lg(x1)；y50.考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點建立函數(shù)模型解決實際問題答案5(2017臨沂期中)甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發(fā)，路程S與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是_(填序號)甲比乙先出發(fā)；乙比甲跑的路程多；甲、乙兩人的速度相同；甲比乙先到達終點考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案解析由圖知，甲、乙兩人S與t的關(guān)系均為直線上升，路程S的增長速度不變，即甲、乙均為勻速運動，但甲的速度快又甲、乙的路程S取值范圍相同，即跑了相同的路程，故甲用時少，先到終點1四類不同增長的函數(shù)模型(1)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型(2)增長速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)模型(3)增長速度較慢的函數(shù)模型是對數(shù)型函數(shù)模型(4)增長速度平穩(wěn)的函數(shù)模型是冪函數(shù)模型2函數(shù)模型的應(yīng)用(1)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結(jié)論(2)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題.一、選擇題1下列函數(shù)中，增長速度越來越慢的是()Ay6xBylog6xCyx6Dy6x考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案B解析D增長速度不變，A，C增長速度越來越快，只有B符合題意2以下四種說法中，正確的是()A冪函數(shù)增長的速度比一次函數(shù)增長的速度快B對任意的x0，xalogaxC對任意的x0，axlogaxD不一定存在x0，當xx0時，總有axxalogax考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案D解析對于A，冪函數(shù)與一次函數(shù)的增長速度分別受冪指數(shù)及一次項系數(shù)的影響，冪指數(shù)與一次項系數(shù)不確定，增長速度不能比較；對于B，C，顯然不成立；對于D，當a1時，一定存在x0，使得當xx0時，總有axxalogax，但若去掉限制條件“a1”，則結(jié)論不成立3某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)yf(x)的圖象大致是()考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案D解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的圖象大致為D中圖象4下面給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖，那么最能擬合詩句“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是()A指數(shù)函數(shù)：y2tB對數(shù)函數(shù)：ylog2tC冪函數(shù)：yt3D二次函數(shù)：y2t2考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案A解析由題干中的圖象可知，該函數(shù)模型應(yīng)為指數(shù)函數(shù)5某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，排放時污染物的含量不得超過1%.已知在過濾過程中廢氣中的污染物數(shù)量P(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：時)之間的函數(shù)關(guān)系式為：PP0ekt(k，P0均為正的常數(shù))若在前5個小時的過濾過程中污染物被排除了90%，那么，至少還需要過濾的時間為()A.小時B.小時C5小時D10小時考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點建立函數(shù)模型解決實際問題答案C解析由題意知前5個小時消除了90%的污染物PP0ekt，(190%)P0P0e5k，0.1e5k，即5kln0.1，kln0.1.由1%P0P0ekt，即0.01ekt，ktln0.01，tln0.01，t10，至少還需要過濾5小時才可以排放6向高為H的水瓶內(nèi)注水，一直到注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)圖象如圖所示，那么水瓶的形狀大致是()考點三種函數(shù)模型增長的差異題點三種函數(shù)模型增長速度的差異答案B解析水深h為自變量，隨著h增大，A中V增長速度越來越快，C中先慢后快，D增長速度不變，只有B中V增長速度越來越慢7某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則本年5月份()A甲食堂的營業(yè)額較高B乙食堂的營業(yè)額較高C甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D不能確定甲、乙哪個食堂的營業(yè)額較高考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點建立函數(shù)模型解決實際問題答案A解析設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m，甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a0)，乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x，由題意可知，m8am(1x)8，則5月份甲食堂的營業(yè)額y1m4a，乙食堂的營業(yè)額y2m(1x)4，因為yy(m4a)2m(m8a)16a20，所以y1y2，故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高8我們處在一個有聲的世界里，不同場合人們對聲音的音量會有不同的要求音量大小的單位是分貝(dB)對于一個強度為I的聲波，其音量的大小可由如下公式計算：10lg(其中I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強度)設(shè)170dB的聲音強度為I1，260dB的聲音強度為I2，則I1是I2的()A.倍B10倍C10倍Dln倍考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案B解析由題意，令7010lg，則有I1I0107.同理得I2I0106，所以10.二、填空題9某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(雙)的關(guān)系式為y5x4000，而手套出廠價格為每雙10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為_雙考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點建立函數(shù)模型解決實際問題答案800解析要使該廠不虧本，只需10xy0，即10x(5x4000)0，解得x800.10在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度vm/s和燃料質(zhì)量Mkg，火箭(除燃料外)質(zhì)量mkg的關(guān)系是v2000ln，則當燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的_倍時，火箭的最大速度可達12km/s.考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案e61解析由題意可知2000ln12000，ln6，從而e61.11某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系式為yalog2(x1)，設(shè)這種動物第一年有100只，則到第7年這種動物發(fā)展到_只考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用答案300解析把x1，y100代入yalog2(x1)中，得a100，故函數(shù)關(guān)系式為y100log2(x1)，所以當x7時，y100log2(71)300，所以到第7年這種動物發(fā)展到300只三、解答題12某種儲蓄按復(fù)利計算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，求本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用解已知本金為a元，利率為r，則1期后本利和為yaara(1r)，2期后本利和為ya(1r)a(1r)ra(1r)2，3期后本利和為ya(1r)3，x期后本利和為ya(1r)x，xN*.13某省兩相近重要城市之間人員交流頻繁，為了緩解交通壓力，特修一條專用鐵路，用一列火車作為交通車，已知該車每次拖掛4節(jié)車廂，一天能來回16次，如果該車每次拖掛7節(jié)車廂，則每天能來回10次(1)若每天來回的次數(shù)是車頭每次拖掛車廂節(jié)數(shù)的一次函數(shù)，求此一次函數(shù)的解析式和定義域；(2)在(1)的條件下，每節(jié)車廂能載乘客110人問這列火車每天來回多少次才能使運營人數(shù)最多？并求出每天最多運營人數(shù)考點建立函數(shù)模型解決實際問題題點建立函數(shù)模型解決實際問題解(1)設(shè)每天來回y次，每次拖掛x節(jié)車廂，由題意設(shè)ykxb(k0)，當x4時，y16，當x7時，y10，得到164kb,107kb，解得k2，b24，y2x24.依題意有解得定義域為xN|0x12(2)設(shè)每天來回y次，每次拖掛x節(jié)車廂，由題意知，每天拖掛車廂最多時，運營人數(shù)最多，設(shè)每天拖掛S節(jié)車廂，則Sxyx(2x24)2x224x2(x6)272，x0,12且xN.所以當x6時，Smax72，此時y12，則每日最多運營人數(shù)為110727920.故這列火車每天來回12次，才能使運營人數(shù)最多，每天最多運營人數(shù)為7920.四、探究與拓展14一