概率論與數(shù)理統(tǒng)計2.2.ppt

2.2 隨機變量的數(shù)字特征,一、隨機變量的數(shù)學期望,二、隨機變量的方差,2.2 隨機變量的數(shù)字特征,三、隨機變量的矩與切比雪夫不等式,判斷棉花質量時, 既看纖維的平均長度,平均長度越長,偏離程度越小, 質量就越好,又要看 纖維長度與平均長度的偏離程度,例如：,問題的提出：,在一些實際問題中，我們需要了解隨機變量的分布函數(shù)外，更關心的是隨機變量的某些特征。,考察一射手的水平, 既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高, 還要看他彈著點的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的波動是否小.,r.v.的平均取值 數(shù)學期望 r.v.取值平均偏離均值的情況 方差,例如：,一、隨機變量的數(shù)學期望,引例,求該射手的平均成績,此數(shù)值是對射手真實水平的綜合評價，它是以概率為權重的加權平均，稱為r.v.X的數(shù)學期望。,解：,定義：,注：,(1) E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權平均,與一般的平均值不同 , 它從本質上體現(xiàn) 了隨機變量 X 取可能值的真正平均值, 也稱 均值.,(2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變 。,(3)如果D.r.v.只取有限多個值，EX一定存在。,試問哪個射手技術較好?,例 誰的技術比較好?,解：,平均起來甲射手每槍擊中9.3環(huán),乙射手每槍擊中9.1環(huán).因此甲射手的本領要高一些.,2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,定義,設顧客在某銀行窗口等待服務的時間為 X(以分計),其概率密度為,試求顧客等待服務的平均時間?,解,因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務.,例 顧客平均等待多長時間?,例 均勻分布,則有,結論: 均勻分布的數(shù)學期望位于區(qū)間的中點.,3、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,定義,（1）概念,(2) r.v.函數(shù)的期望,解:,4、數(shù)學期望的性質,(3) 如果EX,EY存在，則E(X+Y)存在， 且E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) ；,二、隨機變量的方差,-離差,-絕對離差,1. 方差的定義,定義：,注：（1）DX是一個確定的非負常數(shù)，它的大 小反映了r.v.X對于EX的平均偏離水平。,（2）若EX不存在，則DX一定不存在； 若EX存在，則DX不一定存在。,2. 隨機變量方差的計算,例 均勻分布的方差,則有,3. 方差的性質,(1) 設 C 是常數(shù), 則有,(3) 設 X 是一個隨機變量, a是常數(shù), 則有,解：,練習：,（1）原點矩,定義：,（2）性質,練習： 1、對任意的隨機變量X，如果存在 那么下列式子恒成立： . ( ) 2、學習指導與習題解析 一（9）,注：DX為二階中心矩。,2、切比雪夫不等式,-r.v.X取值越集中在EX附近,-r.v.X取值越分散,得,證明,對連續(xù)型隨機變量的情況來證明.,注：可用此不等式對r.v.X的概率分布進行 粗略的估計。,例：,已知EX=1，標準差為0.1，求a，使得,解：,由切比雪夫不等式,則,Pafnuty Chebyshev,Born: 16 May 1821 in