離散型隨機(jī)變量及其分概率布律.ppt

2.2 離散型隨機(jī)變量及其分概率布律,一.離散型隨機(jī)變量及其概率分布,二.幾個(gè)常用的離散型分布,三.小結(jié) 思考題,離散型隨機(jī)變量的定義,一.離散型隨機(jī)變量及其概率分布,如果隨機(jī)變量 X 的取值是有限個(gè)或可列無(wú)窮個(gè)，則稱 X 為離散型隨機(jī)變量,離散型隨機(jī)變量的分布律,設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為,為離散型隨機(jī)變量 X 的分布律也稱概率函數(shù),離散型隨機(jī)變量,定義,稱,也稱概率函數(shù).,由概率的定義，,必然滿足：,(1),(2),完,例1,某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈的概率是 0.9,求他兩,解,可取 0, 1, 2 為值,且,于是,的概率分布可表示為,完,【例4】盒中有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)白球，3個(gè)黃球，從中任取3個(gè)，記X=“取到白球的個(gè)數(shù)”，X是一個(gè)隨機(jī)變量，且X的可能取值是0，1，2，,p2=PX=2=0.3,概率分布為,p0=PX=0=0.1,p1=PX=1=0.6,X的概率分布表：,【例1】設(shè)一汽車(chē)在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)四盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以 1/2 的概率允許或禁止汽車(chē)通過(guò). 以 X 表示汽車(chē)首次停下時(shí)，它已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)，求 X 的分布律. (信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的).,PX=3=(1-p)3p,可愛(ài)的家園,解： 以 p 表示每盞信號(hào)燈禁止汽車(chē)通過(guò)的概率，則 X 的分布律為：,pk,p,或?qū)懗?PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3,0,1,2,3,4,(1-p) p,(1-p)2p,(1-p)3p,(1-p)4,X,PX= 4 = (1-p)4,以 p = 1/2 代入得X 的分布律：,X pk,0 1 2 3 4,0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625,1.兩點(diǎn)分布,定義,其分布為,且,特別地,點(diǎn)分布,即,完,二.幾個(gè)常用的離散型分布,【例2】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,有兩種可能的結(jié)果：H表示正面朝上，T表示背面朝上，引入變量X，令,pk=PX=k=0.5 (k=0,1).,X的概率分布表：,概率分布為,例2,200 件產(chǎn)品中,有 196 件是正品,則,服從參數(shù)為 0.98 的兩點(diǎn)分布.,于是,4 件是次品,今從中隨機(jī)地抽取一件,若規(guī)定,完,2. 二項(xiàng)分布,將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次，若各次試驗(yàn)結(jié)果互不影響，即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。,貝努利試驗(yàn)：,PX=k= (k= 0,1,2,n)=？,X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則X是一個(gè)隨機(jī)變量，所有可能取值為0,1,2,n.,事件A在k(0kn)次試驗(yàn)中發(fā)生，其它n-k次試驗(yàn)中 不發(fā)生的方式有,(1) PX=k0, k=0,1,2,n.,二項(xiàng)分布中滿足,說(shuō)明,n=1時(shí)，,注意,即PX=0=1-p, PX=1=p,PX=k=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，,(0-1)分布,定義,若一個(gè)隨機(jī)變量,的概率分布由 (1) 式給,出,記為,的二項(xiàng)分布,二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn):,完,加時(shí),是隨之增加直至達(dá)到最,大值,隨后單調(diào)減少.,在圖1和圖2中，,分別給出了當(dāng),從圖易,看出：,概率,先是隨之增加直至達(dá)到最大值，,隨后,二項(xiàng)概率,大值.,注：,完,單調(diào)減少.,可以證明，,一般的二項(xiàng)分布的圖形也具有這一,性質(zhì)，,二項(xiàng)概率,先是隨之增加直至達(dá)到最大值，,隨后,【例2】一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4道題的概率是多少？,則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn),解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，,【例3】按規(guī)定,某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過(guò)1500小時(shí)的為一級(jí)品.已知某批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2,現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽取20只,問(wèn)20只元件中恰有k(k=0,1,2,20)只為一級(jí)品的概率為多少？,記X為20只元件中一級(jí)品的只數(shù),解,解：將每次射擊看成一次試驗(yàn),設(shè)擊中的次數(shù)為X,則Xb(400,0.02),某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，求至少擊中兩次的概率。,所求概率為,【例4】,解,第一種方法：,X:第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)間發(fā)生故障的臺(tái)數(shù),Ai :第i人維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修,(i=1,2,3,4),80臺(tái)發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為,第二種方法,則80臺(tái)發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為,4.泊松(Poisson)分布,隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,取各個(gè)值的概率,稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X().,(1) PX=k0.,有,【例5】,因?yàn)?解,所以,4.二項(xiàng)分布的泊松近似,對(duì)二項(xiàng)分布,計(jì),算其概率很麻煩.,例如，,要計(jì)算n=5000,故須尋求近似計(jì)算方法.,這里先介紹二項(xiàng)分布的,泊松近似，,在本章第四節(jié)中還將介紹二項(xiàng)分布的,的正態(tài)近似.,泊松定理,每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為,為常數(shù)),則有,注：,(i)：,必定很小.,因此，,泊松定理表明，,很小時(shí)有下列近似公式：,二項(xiàng)分布的泊松近似,很小時(shí)有下列近似公式：,實(shí)際計(jì)算中，,時(shí)近似效果變很好.,(ii),把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀,有事件，,此類事件如：,地震、火山爆發(fā)、特大洪,水、意外事故等，,則由泊松定理知，,重伯努利試,驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.,完,例8,一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過(guò)去的銷(xiāo),售記錄知道,某種商品每月的銷(xiāo)售數(shù),的泊松分布來(lái)描述,為了以 95%以上的把,握保證不脫銷(xiāo),問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該種商品,多少件?,解,設(shè)該商品每月的銷(xiāo)售數(shù)為,的泊松分布.,設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)該種商品,件,即,可以用參數(shù),解,設(shè)該商品每月的銷(xiāo)售數(shù)為,的泊松分布.,設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)該種商品,件,即,查泊松分布表,得,完,例 9,自 1875年至 1955年中的某 63年間,上海市夏,季( 5-9月)共發(fā)生大暴雨 180次,試建立上海市夏季,暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型.,解,每年夏季共有,天,每次暴雨發(fā)生以 1 天計(jì)算,則夏季每天發(fā)生暴,雨的概率,將暴雨發(fā)生看做稀有事件,利用泊松分布,分布模型.,來(lái)建立上,的概率,解,將暴雨發(fā)生看做稀有事件,利用泊松分布來(lái)建立,分布模型.,上,的概率,由于,故得上海市暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型為,解,故得上海市暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型為,并將它與資料,記載的實(shí)際年數(shù)作對(duì)照,均列入下表.,次暴雨的理論年數(shù),計(jì)算 63 年中上海市夏季發(fā)生,由上表可見(jiàn),按建立的概率分布模型計(jì)算的理論年,數(shù),這表明,的模型,分布.,與實(shí)際年數(shù)總的來(lái)看符合得較好,所建立,能近似描述上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率,完,三、小結(jié),1. 如果隨機(jī)變量 X 的取值是有限個(gè)或可列無(wú)窮個(gè)， 則稱 X 為離散型隨機(jī)變量,為離散型隨機(jī)變量 X 的分布律滿足,2.(01)分布(兩點(diǎn)分布):,隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,分布律是,PX=k=pk(1-p)k-1,(k=0,1)(0p1),稱X服從(0-1)分布。,(k= 0,1,2,n),4.泊松(Poisson)分布,隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,取各個(gè)值的概率,稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X().,保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤(rùn)，需要計(jì)算投保人在一年內(nèi)死亡若