2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第10節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算教學(xué)案文含解析北師大版.docx

第十節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算考綱傳真1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.通過(guò)函數(shù)圖像直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)yc(c為常數(shù))，yx，y，yx2，yx3，y的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)稱函數(shù)yf(x)在x0點(diǎn)的瞬時(shí)變化率為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，用f (x0)表示，記作f (x0) .(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)的幾何意義是在曲線yf(x)上點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線的斜率相應(yīng)地，切線方程為yf(x0)f (x0)(xx0)(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點(diǎn)x處都有導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)值記為f (x)：f (x) ，則f (x)是關(guān)于x的函數(shù)，稱f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，通常也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)2導(dǎo)數(shù)公式表(其中三角函數(shù)的自變量單位是弧度)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)yc(c是常數(shù))y0ysin xycos xyx(是實(shí)數(shù))yx1ycos xysin xyax (a0，a1)yaxln a特別地(ex)exytan xyylogax (a0，a1)y特別地(ln x)ycot xy3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)g(x)f (x)g(x)；(2)f(x)g(x)f (x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)1曲線yf(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點(diǎn)，而后者P(x0，y0)不一定為切點(diǎn)2直線與二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)相切只有一個(gè)公共點(diǎn)；直線與非二次曲線相切，公共點(diǎn)不一定只有一個(gè)3函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f (x)|反映了變化的快慢，|f (x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)f (x0)與(f(x0)表示的意義相同()(2)求f (x0)時(shí)，可先求f(x0)再求f (x0)()(3)曲線的切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)()(4)若f(a)a32axx2，則f (a)3a22x()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)t2(t是時(shí)間，s是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻t2時(shí)的瞬時(shí)速度為()ABC DD由題意知，機(jī)器人的速度方程為v(t)s(t)2t，故當(dāng)t2時(shí)，機(jī)器人的瞬時(shí)速度為v(2)22.3函數(shù)yxcos xsin x的導(dǎo)數(shù)為()Axsin xBxsin xCxcos xDxcos xBycos xxsin xcos xxsin x，故選B4若f(x)xex，則f (1)_.2ef (x)exxex，則f (1)e1e12e.5曲線y在點(diǎn)M(，0)處的切線方程為_(kāi)xy0y，則y|x，則切線方程為y(x)，即xy0.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1f(x)x(2 018ln x)，若f (x0)2 019，則x0等于()Ae2 B1Cln 2 DeBf (x)2 018ln x12 019ln x，則f (x0)2 019ln x02 019，解得x01，故選B2已知f(x)x22xf (1)，則f (0)_.4f (x)2x2f (1)，則f (1)22f (1)，解得f (1)2，所以f (x)2x4，則f (0)4.3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y；(2)yxsincos ；(3)yx2ex1.解(1)y.(2)yxsin x，y1cos x.(3)ye1x2ex，ye1(2xexx2ex)ex1(x22x)規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的常見(jiàn)形式及其求解方法連乘積形式先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)公式形式觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)對(duì)數(shù)形式先化為和、差的形式，再求導(dǎo)根式形式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)含待定系數(shù)如含f (x0)，a，b等的形式，先將待定系數(shù)看成常數(shù)，再求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的幾何意義考法1求切線方程【例1】(1)(2018全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()Ay2xByxCy2xDyx(2)已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過(guò)點(diǎn)(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為_(kāi)(1)D(2)xy10(1)因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，由此可得a1，故f(x)x3x，f (x)3x21，f (0)1，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為yx.(2)點(diǎn)(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)又f (x)1ln x，直線l的方程為y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直線l的方程為yx1，即xy10.考法2求切點(diǎn)坐標(biāo)【例2】設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2.若曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線方程為xy0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(0,0)B(1，1)C(1,1)D(1，1)或(1,1)D由f(x)x3ax2得f (x)3x22ax，記y0f(x0)，由題意可得由可得xaxx0，即x0(xax01)0.由可得3x2ax010.由可得x00，所以式可化為xax010.由可得x01，代入式得或即P(1，1)或P(1,1)故選D.考法3求參數(shù)的值【例3】(1)已知函數(shù)f(x)(x2ax1)ex(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aR)，若f(x)在(0，f(0)處的切線與直線xy10垂直，則a()A1B1C2D2(2)已知直線yxb與曲線yxln x相切，則b的值為()A2B1CD1(1)C(2)B(1)f (x)(x2ax1)ex(x2ax1)(ex)(2xa)ex(x2ax1)exx2(a2)x(a1)ex，故f (0)02(a2)0(a1)e0a1.因?yàn)閒(x)在(0，f(0)處的切線與直線xy10垂直，故f (0)1，即a11，解得a2.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，y，則y|xx0，由得x01，切點(diǎn)坐標(biāo)為，又切點(diǎn)在直線yxb上，故b，得b1，故選B規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用類型及求解思路(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值：kf (x0)(2)若求過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由求解即可(3)已知斜率k，求切點(diǎn)A(x1，f(x1)，即解方程f (x1)k.(4)函數(shù)圖像在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖像在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖像升降的快慢 (1)若曲線yxln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2xy10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_(2)直線ykx1與曲線yx3axb相切于點(diǎn)A(1,3)，則2ab的值等于_(1)(e，e)(2)1(1)由題意得yln x1，直線2xy10的斜率為2.設(shè)P(m，n)，則1ln m2，解得me，所以neln ee，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(e，e)(2)依題意知，y3x2a，則由此解得所以2ab1.1(2018全國(guó)卷)曲線y2ln x在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為_(kāi)y2x2由題意知，y，所以曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線斜率ky|x12，故所求切線方程為y02(x1)，即y2x2.2(2015全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ax3x1的圖像在點(diǎn)(1，f(1)處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，則a_.1先用“導(dǎo)數(shù)法”求出切線方程，然后代入點(diǎn)(2,7)求出a的值f (x)3ax21，f (1)3a1.又f(1)a2，切線方程為y(a2)(3a1)(x1)切線過(guò)點(diǎn)(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.3(2016全國(guó)卷)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是_2xy0設(shè)x0，則x0，f(x)ex1x.f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)ex1x.當(dāng)x0時(shí)，f (x)ex11，f (1)e111112.曲線yf(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y22(x1)，即2xy0.4(2015全國(guó)卷)已知曲線yxln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.8法一：yxln x，y1，y