信號處理導(dǎo)論中文版.docx

15Introduction to Signal ftrocessing第三章離散系統(tǒng)本章的討論重點(diǎn)是離散系統(tǒng)，尤其是離散線性時不變系統(tǒng)。線性時不變系統(tǒng)的輸入輸出（I/O）方 程可以用輸入信號與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的離散卷積來表示。根據(jù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是否是有限延時還是無限延時可以分為有限沖激響應(yīng)（FIR）和無限沖激響 應(yīng)(IIR)兩種。本章的主要目的是為 FIR 濾波器設(shè)計(jì)算法。FIR 濾波算法可以分為按塊（Block to Block） 和樣值處理（Sample to Sample）算法兩種。分批處理算法中，輸入信號視為一次抽樣的塊。將這一塊信號與濾波器沖激響應(yīng)卷積得到一個輸 出塊。如果輸入序列時限非常長或者是無限延時，這種方法需要做些改進(jìn)，比如說可以將輸入信號分成 多個塊，每一塊的長度都可以分別處理，可以一次濾波一塊，然后再把輸出拼湊在一起。樣值處理算法中，一次只處理一個抽樣。濾波器可以看作是一臺狀態(tài)機(jī)器，也就是說，把輸入抽 樣與濾波器當(dāng)前的狀態(tài)結(jié)合起來計(jì)算當(dāng)前的輸出抽樣，同時也更新濾波器的內(nèi)部狀態(tài)為下一次處理作準(zhǔn) 備。當(dāng)輸入信號特別長的時候，這種方法對于實(shí)時運(yùn)算特別有效。濾波器自身特性變化的自適應(yīng)濾波 就適合于使用這種算法。目前的 DSP 芯片對這種算法也很有效。3.1輸入輸出規(guī)則離散系統(tǒng)所實(shí)現(xiàn)的就是將輸入的離散抽樣序列 x(n)，根據(jù)一定的輸入/輸出（I/O）規(guī)則轉(zhuǎn)換成輸 出序列的運(yùn)算。I/O 規(guī)定了怎樣由已知的輸入計(jì)算輸出。樣值處理方法，我們可以認(rèn)為其 I/O 規(guī)則就是一次處理一個輸入抽樣。x , x , x ,L, x ,L1 nH y , y , y ,L, y ,L1 n按塊處理的方法，輸入序列劃分成塊，每次處理一塊。x0 y 0x = x1 H y1 = y x2 M y 2 M 因此其 I/O 規(guī)則也就是將輸入向量根據(jù)某種函數(shù)映射成輸出向量。 y = Hx對于線性系統(tǒng)，這種映射就是用矩陣 H 作線性變換。線性定常系統(tǒng)，其變換矩陣 H 根據(jù)系統(tǒng)的沖 激響應(yīng)有特定的結(jié)構(gòu)。例 3.1.1例 3.1.2y(n) = 2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2) 。n 時刻的輸出是此前連續(xù)三個輸入抽樣的加權(quán)和。也就是說，n 時刻，線性系統(tǒng)必須記住前兩個時 刻的抽樣 x(n-1)、x(n-2)。例 3.1.3 將長度為 L=4 的輸入抽樣 x0 , x1 , x2 , x3 視為一塊，例 3.1.2 所示的線性系統(tǒng)將其轉(zhuǎn)換成長 度為 6 的輸出序列。 y0 y1 23 y3 y y5 4 00002340000234000x0 y = y 2 = 40 x 2x2 1 = Hx3 x 3 4輸出序列的長度比輸入序列長度大 2，因?yàn)橄到y(tǒng)必須保存兩個抽樣，最后的兩個輸出可以認(rèn)為是 輸入消失后(input-off)的過渡狀態(tài)。如果輸入的抽樣為 L=5，那么，輸出的序列為： y0 20000 y1 32000x 043200 x 104320x200432x y5 00043x4 y6 00004y = y3 = y2 y 4 = Hx3例 3.1.4、例 3.1.2 的輸入輸出方程也可以用下列樣值處理的算法來實(shí)現(xiàn)：y(n)=2x(n)+3w1(n)+4w2(n) w2(n+1)=w1(n)w1(n+1)=x(n)附加的 w1(n)、w2(n)可以視為系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)。當(dāng)前的輸入結(jié)合當(dāng)前的內(nèi)部狀態(tài)足以計(jì)算當(dāng)前的 輸出。由有下一個輸入 x(n+1)所產(chǎn)生的輸出 y(n+1)要求我們知道已經(jīng)更新的內(nèi)部狀態(tài)。而此時的內(nèi)部狀 態(tài)(n+1 時刻的內(nèi)部狀態(tài))已經(jīng)更新。也就是說，n+1 時刻，我們有：y(n+1)= 2x(n+1)+3w1(n+1)+4w2(n+1) w2(n+2)=w1(n+1)w1(n+2)=x(n+1)這樣的計(jì)算是從某個時刻開始并且不斷重復(fù)，我們可以歸結(jié)為以下算法：for each new input x do: y：= 2x+3w1+4w2 w2：=w1w1：=x一旦內(nèi)部狀態(tài)的當(dāng)前值在計(jì)算輸出 y 的時候使用過以后，他 們就被后兩個賦值的方程更新，用來計(jì)算下一個輸入的抽樣。因 此w1、w2必須在一次調(diào)用到下一次調(diào)用的過程中保存。w1、 w2更新的次序非常重要，也就是首先更新 w2，接下來更新 w1， 以避免把正確的值覆蓋。例 3.1.2、例 3.1.3、例 3.1.4 是同一個離散系統(tǒng)的等效描述方式。究竟是采用哪一種形式取決于應(yīng) 用的場所，也就是要看輸入序列是有限長還是無限長、輸入抽樣是否在接收到以后應(yīng)該立刻處理還是可 以延緩處理。上面的例子實(shí)際上是用下述 I/O 方程描述的、具有更一般形式的狀態(tài)空間的特例：y(n)=g(x(n)，s(n)輸出方程s(n+1)=f(x(n)，s(n)狀態(tài)更新方程。w1(n) 其中 s(n)是維數(shù)一定的狀態(tài)方程矢量。比如說前面的例子中，s(n) = w (n) 。I/O 算法根據(jù)當(dāng)前 2 已知的輸入 x(n)和當(dāng)前的狀態(tài) s(n)計(jì)算出當(dāng)前的輸出 y(n)和下一時刻的狀態(tài) s(n+1)。也可以將它表述成下面的重復(fù)演算形式：for each new input x do: y:=g(x,s)s:=f(x,s)線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)是由函數(shù) f 和 g 來表述的，而 f 和 g又是其變量的線性函數(shù)，即：f(x,s)=As+Bx g(x,s)=Cs+DxA B C D 維數(shù)各不相同。對于上例，我們有：y := 2x + 3w + 4w =123,4w 1w2 + 2x = 3,4s + 2x = g(x, s) w1 x 0s =:=w2 w110 w1 + 1 x = 00w2 0 101 s +x = f (x, s)0 0例 3.1.5y(n) = 0.5 y(n - 2) + 2x(n) + 3x(n -1)輸出由常系數(shù)差分方程遞歸計(jì)算得到。任意時刻 n，系統(tǒng)必須記住前一個輸入 x(n-1)和前一個時刻的輸 出 y(n-1)。例 3.1.6 例 3.1.5 也可以將 I/O 方程表述為樣值運(yùn)算算法：for each new input x do: y:=0.5w1+2x+3v1w1:=yv1:=x它對應(yīng)于所謂差分方程的直接實(shí)現(xiàn)形式，要求計(jì)算并且更新附加量w1,v1。 例 3.1.5 所示的 I/O 計(jì)算規(guī)則也可與下列所謂的規(guī)范形式相對應(yīng)：for each new input x do: w0:=x+0.5w1 y:=2w0+3w1w1:=w0y(n) = 1 x(n + 2) + x(n +1) + x(n) + x(n -1) + x(n - 2) 為線性時不變系統(tǒng)5y(n) = 2x(n) + 3y(n) = x 2 (n)非線性、時不變系統(tǒng)y(n) = 2x(n) + 3x(n -1) + x(n)x(n -1)y(n) = medx(n +1), x(n), x(n -1) - -取中間值y(n) = nx(n)y(n) = 1 x(0) + x(1) +L x(n -1)n線性、時變系統(tǒng)y(n +1) =n n +1y(n) +1n +1x(n)例 3.1.16x(n 2)y(n) = 0n為偶數(shù) n為奇數(shù)相當(dāng)于一個上采樣器。在抽樣之間插入零，因此輸出將輸入抽樣的數(shù)量增加。x , x , x , x ,L, x ,L01 nHx ,0, x ,0, x ,0, x ,0L, x ,0,L0123n3.2 線性與時不變性x(n) = a1x1 (n) + a2 x2 (n)一個系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，則當(dāng)輸入是由兩個抽樣序列 x1(n)、x2(n)的線性組合時，其輸出序列也是其 相應(yīng)輸出序列的線性組合。即：時，其輸出為(3.2.1)(3.2.2)y(n) = a1 y1(n) + a2 y2 (n)為了驗(yàn)證一個系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng)，必須分別驗(yàn)證三個輸出序列，y(n)、y1(n)、y2(n)滿足(3.2.2)x1(n)a1x1(n)y1(n)a1Hx(n)y(n)Ha1y1(n)+ a2y2(n)Hx2(n)a2x2(n)y2(n)a2式。時不變系統(tǒng)是指系統(tǒng)不隨時間變化而改變。相同的輸入序列，無論在何時施加到系統(tǒng)上，將產(chǎn)生 相同的輸出。輸入信號延時（右移）或提前（左移）D 單位時間，輸出序列也將相應(yīng)延時（右移）或提 前（左移）D 單位時間。00D時不變可以用下圖來解釋。DH)yD(n)Hy(n)Dx(n-DxD(n)x(n)y(n-D)x(n)輸入信號經(jīng)系統(tǒng)先延時后變換和輸入信號先經(jīng)過系統(tǒng)變換后的輸出再延時得到的輸出序列應(yīng)該是 一樣的。設(shè) YD(n)為先延時，后變換得到的輸出。Y(n-D)為先變換，后延時得到的輸出。 若 yD(n)=y(n-D)，那么，該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。例 3.2.1若則 而y(n)=2x(n)+3x(n) = a1x1 (n) + a2 x2 (n) 。y(n) = 2a1x1(n) + a2 x2 (n) + 3a1 y1(n) + a2 y2 (n) = a12x1(n) + 3 + a22x2 (n) + 3顯然輸入為兩個信號的線性疊加時，輸出并不是兩個信號單獨(dú)作用時輸出的線性疊加，既：a1 y1(n) + a2 y2 (n) ya1x1(n) + a2 x2 (n)。所以為非線性系統(tǒng)。y(n)=x2(n)x(n) = a1x1 (n) + a2 x2 (n) 時，則y(n) = a x (n) + a x (n)2 = a 2 x2 (n) + 2a a x (n)x (n) + a 2 x2 (n)1 12 2221 11 2 122 2非線性系統(tǒng)。 a1x1 (n) + a2 x2 (n) = a1 y1(n) + a2 y2 (n)而為時變系統(tǒng)。 同理，若:y(n)=nx(n) yD(n)=nxD(n)=nx(n-D)y(n-D)=(n-D)x(n-D)yD(n)y(n-D)y(n)=x(2n) yD(n)=xD(2n)=x(2n-D)y(n-D)=x(2(n-D)=x(2n-2D)y(n-D) yD(n)所以是時變系統(tǒng)。這是一個下采樣器。我們可以從原信號的輸出和延時信號的輸出更直觀的看出：x , x , x , x , x , x , x L01 456HHx , x , x , x ,L02460, x , x , x , x , x , x , x L01 4560, x , x , x ,L135第一種情況下，輸入經(jīng)系統(tǒng)變換后每兩個輸入丟掉丟掉一個。下面一種情況下，輸入延時一個單位，輸 出同樣每兩個輸入被丟掉一個，得到的輸出并不是上面的輸出延時一個單位。所以為時變系統(tǒng)。3.3 沖激響應(yīng)。（離散）線性時不變系統(tǒng)可以用其沖激響應(yīng)序列 h(n)來唯一表征。而沖激響應(yīng) h(n)就是系統(tǒng)對于 單位沖激輸入 （n）的響應(yīng)。1當(dāng)d (n) = 0當(dāng)n = 0h(n)n 0（n）H（n）h(n)0nn因此，我們有：d (n) h(n)或者說：1，0，0，0，L h0 , h1, h2 ,L若系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)，就意味單位沖激輸入延時一段時間，（比如說，D 單位時間），其沖激響應(yīng) 輸出將會是大小一樣，但延時為 D 的輸出 h(n-D)。d (n - D) h(n - D)其中 D 可以正，也可以負(fù)。 線性性就意味任意輸入的線性組合將會產(chǎn)生同樣的線性組合輸出。d (n) + d (n -1) + d (n - 2) h(n) + h(n -1) + h(n - 2)更一般性，三個輸入的加權(quán)線性組合： x(0)d (n) + x(1)d (n - 1) + x(2)d (n - 2)將會產(chǎn)生同樣三個輸出的加權(quán)線性組合： x(0)h(n) + x(1)h(n -1) + x(2)h(n - 2)任意輸入序列，x(0)，x(1)，x(2)，可以看作是延時并且權(quán)重為單位沖激函數(shù)的線性組合。 x(n) = x(0)d (n) + x(1)d (n -1) + x(2)d (n - 2) +L上式中，n=0 則只有第一項(xiàng)不為零，其余各項(xiàng)為零。n=1 則只有第二項(xiàng)不為零，其余各項(xiàng)為零等等。 因而得到。 y(n) = x(0)h(n) + x(1)h(n -1) + x(2)h(n - 2) +L或?qū)懽鳎簓(n) = x(m)h(n - m)m(LTI Form)(3.3.2)上式又稱為輸出函數(shù)的 LTI 形式。其實(shí)就是輸入序列 x(n)與濾波器沖激響應(yīng)序列 h(n)的離散時間卷積。 也可以說，LTI（線性時不變系統(tǒng)）就是一個卷積器。y(n) = h(m)x(n - m)m(Direct Form)(3.3.3)一般說來，上式中的求和 m 值可以擴(kuò)展到負(fù)數(shù)，主要取決于輸入信號。改變求和式當(dāng)中求和項(xiàng)的 次序，也可以寫成另一種形式：圖 3.3.3 線性組合的響應(yīng)3.4FIR 和 IIR 濾波器離散時不變系統(tǒng)根據(jù)其沖激響應(yīng)是否是有限延時還是無限延時可以分成 FIR(有限沖激響應(yīng))和 IIR（無限沖激響應(yīng)）兩類。FIR 沖激響應(yīng)IIR 沖激響應(yīng)FIR 濾波器的沖激響應(yīng)僅僅延續(xù)有限長時間，也就是說，0nM，其余均為零。h0 , h1, h2 ,L, hM ,0,0,0,LM 稱為濾波器的階數(shù)。FIR 濾波器沖激響應(yīng)矢量 h 的長度為：L h=M+1沖激響應(yīng)的系數(shù) h0 , h1, h2 ,L, hM 在不同的教科書上有不同的名稱，比方說，濾波器系數(shù)、濾波器的權(quán)、filters taps(濾波器的節(jié)拍)。式 3.3.3 又成為卷積的直接形式。當(dāng) mM 和 m0 時，h(m)都不存在，只有0mM 的項(xiàng)不為零。所以 3.3.3 式又可以寫成為：My(n) = h(m)x(n - m)m=0FIR 卷積方程3.4.1或者寫成顯式表達(dá)式： y(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n - 1) + h(2)x(n - 2) + L+ h(M )x(n - M )3.4.2因此，I/O 方程可以由當(dāng)前的輸入抽樣 x(n)與過去的 M 個抽樣 x(n-1),x(n-2),x(n-M)的加權(quán)和得到。例 3.4.1y(n)=2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2) 可以視為二階濾波器，濾波器的系數(shù) h=h0，h1，h2=2，3，4 y(n)=h0x(n)-h1x(n-1)+h3x(n-2)例 3.4.3 求下列 FIR 濾波器的沖激響應(yīng)系數(shù) h。y(n)=2x(n)+3x(n-1)+5x(n-2)+2x(n-3)濾波器系數(shù)：h=h0,h1,h2,h3=2,3,5,2為一個三階濾波器y(n)=x(n)-x(n-4)濾波器系數(shù)：h=1,0,0,0,-1為一個四階濾波器當(dāng)輸入為沖激序列時 x(n)=(n)，輸出也是沖激響應(yīng)序列： h(n)=2(n)+3(n-1)+5(n-2)+2(n-3)和h(n)=(n)(n-4)另一方面，IIR 濾波器沖激響應(yīng) h(n)時限無限延長，0n0 時，沖激函數(shù)(n)=0，因此差分方程為：h(n)=h(n-1)，也就是說：h(0)=h(1)=h(2)=1。所有系數(shù)都是一樣的。 因此我們有：1h(n) = u(n) = 0n 0n -1其中，u(n)為離散時間單位階躍序列。將上式代入卷積方程(3.4.3)，我們得到：y(n) = h(m)x(n - m) = x(n - m)m=0m=0或者寫成： y(n) = x(n) + x(n -1) + x(n - 2) + x(n - 3) +L將 n 換成 n-1，前一時刻的輸出為： y(n -1) = x(n -1) + x(n - 2) + x(n - 3) +L由此得到： y(n) - y(n -1) = x(n)因此，I/O 卷積方程等效于下列遞歸差分方程： y(n) = y(n -1) + x(n)這是一個累加器，或者叫做離散時間積分器。注意到 I/O 卷積方程(遞歸差分方程)與 h(n)的差 分方程具有相同的形式。實(shí)際上，沖激響應(yīng)差分方程中，只要將 y(n)=h(n)、x(n)=(n)代入濾波器系數(shù) 所滿足的差分方程，就可以得到遞歸差分方程。例 3.4.5 設(shè)濾波器系數(shù)滿足下列差分方程： h(n) = ah(n -1) + d (n) a 為常數(shù)。求輸出 y(n)與輸入 x(n)之間的差分方程。 解：h(0) = ah(-1) + d (0)h(1) = ah(0) + d (1) = a 1+ 0 = a h(2) = ah(1) + d (2) = a a + 0 = a 2 h(3) = ah(2) + d (3) = a a 2 + 0 = a3以此類推，我們得到：代入卷積方程，得到：h(n) = anu(n) = an0n 0n -1y(n) = x(n) + ax(n -1) + a2 x(n - 2) + a3x(n - 3) +L= x(n) + ax(n -1) + ax(n - 2) + a2 x(n - 3) +Ly(n) = ay(n -1) + x(n)可以看出，它所滿足的方程正好是濾波器系數(shù)所滿足的差分方程。例 3.4.6 求滿足下列 I/O 差分方程的 IIR 濾波器的卷積方程和沖激響應(yīng)：y(n) = -0.8 y(n - 1) + x(n)分方程：解：上述方程恰好是上例中 a=0.8。令 x(n)=(n)、y(n)=h(n)，我么就得到 h(n)所滿足的差h(n) = -0.8h(n -1) + d (n)設(shè)初始條件 h(-1)=0，對 n 作幾次迭代，我們得到：(-0.8)nh(n) = (-0.8)nu(n) = 0n 0n 1將 h(n)代入卷積方程(3.4.3)我們得到：y(n) = x(n) + (-0.8)x(n - 1) + (-0.8)2 x(n - 2) + (-0.8)3 x(n - 3) +L上式包括無限多項(xiàng)。例 3.4.7 設(shè)濾波器的沖激響應(yīng)為：2n = 0h(n) = 4(0.5)n-1n 1求 y(n)和 h(n)所滿足的差分方程。解：h(0)和 h(1)為任意給定的。n2 后，各系數(shù)可以遞歸計(jì)算。比如說：h(1)=4h(2)=0.5h(1)h(3)=0.5h(2)h(4)=0.5h(3) 把以上系數(shù)代入卷積方程(3.4.3)，我們得到：yn = h0 xn + h1 xn-1 + h2 xn-2 + h3 xn-3 +L= 2xn + 4xn-1 + 2xn-2 + 0.5xn-3 + 0.52 xn-4 +L此前一個時刻的輸出：2yn-1 = 2xn-1 + 4xn-2 + 2xn-3 + 0.5xn-4 + 0.5 xn-5 +L方程兩邊同乘以 0.5 得到：230.5 yn-1 = xn-1 + 2xn-2 + 0.5xn-3 + 0.5 xn-4 + 0.5 xn-5 +L用 y(n)減去 0.5y(n-1)得到：y(n) - 0.5 y(n -1) = 2x(n) + 3x(n -1)或者：y(n) = 0.5 y(n -1) + 2x(n) + 3x(n -1)既為輸入和輸出所滿足的差分方程。用 h(n)替換 y(n)，(n)替換 x(n)，得到?jīng)_激響應(yīng)所滿足的差分方程：h(n) = 0.5h(n -1) + 2d (n) + 3d (n -1)例 3.4.8 求滿足下列差分方程的 IIR 濾波器的卷積和沖激響應(yīng)。y(n) = 0.25 y(n - 2) + x(n)解：沖激響應(yīng)滿足下列差分方程：h(n) = 0.25h(n - 2) + d (n)設(shè)初始條件為零：h(-1)=h(-2)=0。濾波器前幾項(xiàng)系數(shù)的迭代為：h(0)=0.25h(-2)+(0)=0.250+1=1 h(1)=0.25h(-1)+(1)=0h(2)=0.25h( 0)+(2)=0.25=(0.5)2 h(3)=0.25h(1)+(3)=0 h(4)=0.25h(2)+(4)=0.250.25=(0.25)4因此，對任何 n0，我們有：我們也可以寫成為：h(n) = (0.5)n0n為偶數(shù) n為奇數(shù)卷積方程為：h=1， 0， (0.5)2， 0，(0.5)4， yn = xn + 0.52 x(n - 2) + 0.54 x(n - 4) +L例 3.4.9 求滿足下列周期性因果沖激響應(yīng)的 IIR 濾波器 I/O 差分方程：h(n) = 2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,4,5,L解：如果將沖激響應(yīng)延時四個時間單位，我們得到：h(n - 4) = 0,0,0,0,2,3,4,5,2,3,4,5,L兩式相減得到：h(n) - h(n - 4) = 2,3,4,5,0,0,0,0,0,0,0,0,L也就是說，n4 的項(xiàng)相互抵消。Page 114 圖解釋。 我們可以將上式寫作：h(n) - h(n - 4) = 2d (n) + 3d (n -1) + 4d (n - 2) + 5d (n - 3)得到：h(n) = h(n - 4) + 2d (n) + 3d (n -1) + 4d (n - 2) + 5d (n - 3)用前面例子中所介紹的方法，我們可以得到 y(n)所滿足的方程：y(n) = y(n - 4) + 2x(n) + 3x(n -1) + 4x(n - 2) + 5x(n - 3)這以例子解釋了怎樣構(gòu)造數(shù)字周期波形發(fā)生器。將要產(chǎn)生的波形假設(shè)為 LTI 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)， 在確定好系統(tǒng)的差分方程后，輸入端施加沖激脈沖，輸出端就是想要的波形。(8.1.2)更一般性，我們所關(guān)心的 IIR 濾波器的沖激響應(yīng) h(n)滿足下述差分方程：MLh(n) = aih(n - i) + bid (n - i)i=1i=0或這寫成顯式表達(dá)式：hn = a1hn-1 + a2h(n - 2) +L+ aM hn-M+ b0d n + b1d n-1 + L+ bLd n- L利用例 3.4.7 的方法，我們可以把上述兩式寫成：MLy(n) = ai y(n - i) + bix(n - i)i=1i=0或yn = a1 yn-1 + a2 y(n - 2) +L+ aM yn-M + b0 xn + b1xn-1 +L+ bLxn- L我們將在討論 z 變換后再探討 IIR 濾波器的特性。需要提醒的一點(diǎn)是 FIR 濾波器可以認(rèn)為是 IIR 濾波其遞歸項(xiàng)不存在時的特殊情形。也就是說當(dāng)遞歸項(xiàng)系數(shù) a1=a2=aM=0 時，IIR 濾波器就是 FIR 濾 波器。I/O 差分方卷積方程沖激響應(yīng) h(n)傳遞函數(shù) H(z)頻域響應(yīng) H()零點(diǎn)/極點(diǎn)圖框圖和抽樣處理算法最后，F(xiàn)IR 和 IIR 濾波器數(shù)學(xué)上有幾種等效的表達(dá)方式： 程前面的這些例子總是在前三種方法之間來回倒換，從差分方程到?jīng)_激響應(yīng)再到濾波的卷積形式。 后面我們將看到，這些例子中時域的繁瑣的運(yùn)算用 z 變換就可以避免了。但是每一種表述方式都有不同的目的，并使我們對濾波器特性可以做不同的解釋。比方說，我們 可以給濾波器提供我們期望的頻域規(guī)范，也就是提出期望的 H()。用濾波器設(shè)計(jì)方法，我們可以設(shè)計(jì) 一個濾波器的頻域響應(yīng)逼近這一函數(shù)。對 IIR 濾波器一般的設(shè)計(jì)手段是傳遞函數(shù) H(z)，而 FIR 濾波器設(shè) 計(jì)的手段多為沖激響應(yīng) h(n)。由傳遞函數(shù) H(z)或沖激響應(yīng) h(n)，我們可以得到實(shí)時實(shí)現(xiàn)該濾波器的框圖。3.5 因果性和穩(wěn)定性離散信號同模擬信號一樣，可以劃分為因果信號、反因果信號、混合信號。 因果信號或右邊信號：當(dāng)且僅當(dāng) n0 時 x(n)存在，n1 時，x(n)不存在。這種信號是最常見的信號。信號反因果信號或叫左邊信號只有當(dāng) n1 時，x(n)存在，而當(dāng) n0，x(n)不存在?；旌闲盘柣螂p邊 既包含左邊信號又包含右邊信號。時間起點(diǎn)，n=0 的設(shè)置完全是一種人為約定。一般說來，我們將時間起點(diǎn)設(shè)置為信號發(fā)生器合上 開關(guān)或我們開始處理的某個時間。因此，相對于某個給定的時間起點(diǎn)而言的雙邊信號，無非是我們開始 處理之前已經(jīng)存在的信號。LTI 系統(tǒng)也可以根據(jù)其沖激響應(yīng) h(n)是否是因果、反因果或雙邊二可以劃分為因果系統(tǒng)、反因果 系統(tǒng)或混合系統(tǒng)。雙邊的（混合的）的 LTI 系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(n)，n 的取值范圍為n,其 I/O 方 程為：y(n）= h(m)x(n - m)m=-這種系統(tǒng)不可能實(shí)時實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樯鲜娇梢哉归_為：y(n) = L+ h-2 x(n + 2) + h-1x(n + 1) + h0 x(n) + h1x(n - 1) + h2 x(n - 2) +L換句話說，為了計(jì)算當(dāng)前的輸出 y(n),我們必須知道未來的輸入，,x(n+2)，x(n+1)，而這些未來 的輸入是無法得到的。反因果系統(tǒng)和雙邊系統(tǒng)與直覺相反的，是違反因果規(guī)律的。比方說，雙邊系統(tǒng)或反因果系統(tǒng)對于 n=0 時刻的單位沖激信號(n)的響應(yīng) h(n)，如果 h(-1)0，這就意味著，系統(tǒng)已經(jīng)在 n=-1 時刻產(chǎn)生一 個輸出，或者說在 n=0 時刻施加單位沖激信號之前就已經(jīng)有了輸出。但是 DSP 中又經(jīng)常遇到或要用到這樣一種雙邊系統(tǒng)或反因果系統(tǒng)。比方說 FIR smoothing(平滑) 濾波器、過抽樣和逆濾波設(shè)計(jì)中用到的 FIR 插值濾波器。h(n)hD=h(n-D)平滑濾波和插值濾波屬于一種僅包含有限時間長度反因果的雙邊系統(tǒng)，或者說其反因果部分的延 時時間長度有限，-Dn-1。這種濾波器如下圖所示。-D0n0n 有限反因果系統(tǒng)調(diào)整后的因果系統(tǒng)這種有限時長的反因果濾波器的 I/O 方程可以表達(dá)為：y(n）= h(m)x(n - m)m=- D(3.5.2)如果將這種系統(tǒng)的延時 D，就成為一種因果系統(tǒng)。此時其沖激響應(yīng)為：hD=h(n-D)用 hD 代替 h(n)，I/O 方程可以表達(dá)為：yD (n）= hD (m)x(n - m)m=0(3.5.3)這種濾波器是可以實(shí)時實(shí)現(xiàn)的。很容易看出，輸出被往右延時時間 D 而變?yōu)椋簓D(n)=y(n-D)例 3.5.1 設(shè)有一個五拍(5-tap)的平滑濾波器，濾波器的系數(shù)為 h(n)=1/5(-2n2)。I/O 卷積方程為：y(n）=21 h(m)x(n - m) =2 x(n - m)m=-25 m=-2= 1 x(n + 2) + x(n +1) + x(n) + x(n -1) + x(n - 2) 5因?yàn)槭怯卯?dāng)前抽樣值前后的幾個抽樣的平均值代替當(dāng)前時刻的抽樣，所以稱之為平滑器或平均器， 從一個抽樣到下一個抽樣之間的波動變得平緩些。其反因果部分為 2，通過延時兩個時間單位可以變?yōu)橐蚬到y(tǒng)：y (n）= 1 x(n) + x(n -1) + x(n - 2) + x(n - 3) + x(n - 4)25當(dāng)實(shí)時處理問題得到解決后（如分批處理方法-第四章），要處理的輸入數(shù)據(jù)早已收集并分批 存儲在存儲器或磁帶這類介質(zhì)上，我們就可以直接引用 3.5.2 式，這也是 DSP 比模擬信號處理優(yōu)越的 一點(diǎn)。這種處理方法的一個例子是靜態(tài)圖像的處理，圖像的像素信息早已匯聚在樣本當(dāng)中。LTI 系統(tǒng)除了依據(jù)其因果屬性來劃分以外，還可以根據(jù)其穩(wěn)定性來劃分。一個 LTI 系統(tǒng)，當(dāng) n時，h(n)趨近于零的速度足夠快，系統(tǒng)的輸出 y(n)不發(fā)散，我們就說該系統(tǒng)是穩(wěn)定的?；蛘哒f對于有 界輸入， x(n) A ，系統(tǒng)的輸出為有界， y(n) B 。簡而言之，如果有界輸入產(chǎn)生有界輸出，則系 統(tǒng)是穩(wěn)定的。可以證明，LTI 系統(tǒng)有界輸入產(chǎn)生有界輸出的充分必要條件是其沖激響應(yīng)可以絕對求和： h(n) n=-例 3.5.2 下列四個沖激響應(yīng)所表示的分別是：穩(wěn)定性條件(1)h(n) = (0.5) n u(n) 穩(wěn)定、因果系統(tǒng)(2)h(n) = -(0.5)nu(-n -1) 非穩(wěn)定、反因果系統(tǒng)(3)h(n) = -2nu(n) 非穩(wěn)定、因果系統(tǒng)(4)h(n) = -2nu(-n -1) 穩(wěn)定、反因果系統(tǒng)(1)、（3）情況,單位階躍序列 u(n)使得 h(n)只有 n0 時取非零值，(2)、(4) 情況，單位階躍序列 的翻褶 u(-n-1)(注釋：(音 zhe)衣服摺疊而形成的印痕：百裙。泛指摺皺重復(fù)的部分：子。皺) 使得 h(n)只有在 n-1 時不為零，其余各點(diǎn)全部為零。所以(1)、(3)為因果系統(tǒng)，(2)、(4)為反因果系統(tǒng)。n時，(1)趨近于零而收斂，是穩(wěn)定系統(tǒng)。 (2)發(fā)散，這是因?yàn)?n 只能取負(fù)值，所以零 n = - n ，則：h(n) = -(0.5)nu(-n -1) = -(0.5)- n u(-n -1) = -2 n u(-n -1)隨 n 的增加指數(shù)增加。(3)也是隨 n 增加指數(shù)增加，所以也是不穩(wěn)定系統(tǒng)。(4)當(dāng) n-時有：h(n) = -2nu(-n -1) = -2- n u(-n -1) = -(0.5) n u(-n -1)收斂，故此為穩(wěn)定系統(tǒng)。也可以用(3.5.4)來判斷是否收斂。利用幾何級數(shù)公式： xmm=0= 1 1- x和 xm m= x1- xx 1我們有：1（1） h(n) = (0.5) n = n=-n=0-1- 0.5（2） h(n) = (0.5)n = 2m = n=-n=-1m=1（3） h(n) = 2n = n=-n=0-0.5（4） h(n) = 2n = (0.5)m = n=-n=-1m=11- 0.5第五章中我們將看到，(1)、(2) 的傳遞函數(shù)相同， H (z) =11- 0.5z -1。(2)、(4) 有相同的傳遞函數(shù) H (z) =11- 2z -1。僅憑傳遞函數(shù)無法判斷是哪一個系統(tǒng)。在硬件實(shí)現(xiàn)和軟件實(shí)現(xiàn)一個 LTI 系統(tǒng)時，穩(wěn)定性時絕對必要的。因?yàn)榉€(wěn)定性可以保證計(jì)算 I/O 方 程的卷積求和運(yùn)算，或者是計(jì)算等效差分方程不會越過某個限定的界限。硬件實(shí)現(xiàn)上，不穩(wěn)定則會很快 使得寄存器飽和溢出。軟件實(shí)現(xiàn)上，不穩(wěn)定性會超越大多數(shù)計(jì)算機(jī)的數(shù)值范圍，使得計(jì)算得到的數(shù)據(jù)毫 無意義。邏輯上說，穩(wěn)定性于因果性是相互獨(dú)立的，但并非總是相互兼容的。也就是說，不可能同時滿足 穩(wěn)定性和因果性，但是在大多數(shù)情況下，我們寧可舍棄因果性而保證穩(wěn)定性。如果一個穩(wěn)定系統(tǒng)的反因果部分只有有限時間長度，如上所述，我們可以通過延時使其成為因果 系統(tǒng)。若反因果系統(tǒng)的反因果部分時無限延時的，那么，h(n)只能采用下述方法來近似。因?yàn)?h(n)是穩(wěn) 定的，對于很大的負(fù)數(shù) n，h(n)趨近與零。因此，我們可以選擇一個足夠大的負(fù)數(shù)，n=-D，對 n-D 剪去 h(n)的尾部。也就是說：用剪去尾部的 h (n) 來近似代替 h(n)。h(n)n -Dh (n) = 0n -D剪去尾部以后的沖激響應(yīng)其反因果部分是有限時間長度的，延時 D 后使其變成為因果系統(tǒng)。此時 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：hhD (n) = (n - D)y (n)選擇適當(dāng)?shù)?D 可以時近似誤差足夠小。為了證明這一點(diǎn)，設(shè)為近似系統(tǒng)(剪尾后的系統(tǒng))(n)h對于有界輸入 x(n) A 的輸出。而 y(n)為真實(shí)系統(tǒng)對于相同有界輸入的輸出，可以證明，對任意n，二者的誤差：- D-1y(n) - y (n) A h(m)m=-由于上式的求和僅僅為 3.5.4 的一部分，肯定是有限的，且隨 D 的增加而趨于零。例 3.5.2 中，- D-1m=-h(m) =m= D+1(0.5)D = (0.5)D+1 1= (0.5)D1- 0.5當(dāng) D 足夠大時，可以使其足夠小。這種穩(wěn)定但又是反因果的系統(tǒng)在濾波器的設(shè)計(jì)中常常遇到。傳輸函數(shù)為 H(z)的濾波器，其逆濾波 器的傳輸函數(shù)為：Hinv=1H (z)這種逆濾波應(yīng)用于許多不同的場所，如數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)傳輸重的通道均衡，其傳輸函數(shù)可能是某個通道 的傳輸函數(shù)或均衡濾波器的傳輸函數(shù)。逆濾波器相應(yīng)的沖激響應(yīng)應(yīng)該選擇使其穩(wěn)定。但穩(wěn)定不一定保證其因果特性，因此我們可以采取 近似的漸近/延時方法：hinv,D(n) =hinv(n - D)23Introduction to Signal ftrocessing第四章FIR 濾波與卷積實(shí)際的 DSP 方法可以分為兩類： 分批處理方法樣值處理方法。在分批處理方法當(dāng)中，數(shù)據(jù)是分批收集并處理的。分批處理的典型應(yīng)用包括：有限延時的信號 FIR卷積濾波、長延時信號分段快速卷積、DFT/FFT 頻譜計(jì)算、語音分析與合成、圖像處理。樣值處理方法中，每一次只處理一個抽樣。每一個輸入的樣本，依據(jù) DSP 算法將輸入抽樣信號轉(zhuǎn) 換為輸出信號。抽樣處理算法主要應(yīng)用于實(shí)時處理中，如長信號實(shí)時濾波、數(shù)字化音效、數(shù)字控制系 統(tǒng)、自適應(yīng)信號處理。樣值處理算法本質(zhì)上說就是 LTI 系統(tǒng)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。本章中，我們將探討 FIR 濾波的分批處理算法和樣值處理算法。我們將討論卷積方程 (3.3.2) 式 和(3.3.3)式應(yīng)用于 FIR 濾波和有限延時算法方面的問題，同時給出卷積的不同形式等效描述，包括：Direct Form Convolution Table LTI FormMatrix FormFlip-and-Slip FormOverlap-and Block Convolution Form每一種方法都有其各自的優(yōu)點(diǎn)。比方說，LTI form 是最基本的一種算法，因?yàn)樗Y(jié)合了系統(tǒng)的線 性性質(zhì)和時不變性質(zhì)；Direct form 直接導(dǎo)出濾波器的分批框圖實(shí)現(xiàn)方法以及相應(yīng)的樣值抽樣處理算 法；卷積表適合于快速的手工計(jì)算；Flip-and-slide form 可以清楚的表明濾波器輸入通、斷過渡和穩(wěn) 態(tài)行為；Matrix form 給出了濾波運(yùn)算方程式的緊湊形式矢量表示形式，并廣泛應(yīng)用于象圖像處理這 類應(yīng)用當(dāng)中；Overlap-add form 適用于輸入信號時延非常長或無限的這類應(yīng)用當(dāng)中。然后，我們將討論 FIR 濾波的樣值處理方法及其框圖實(shí)現(xiàn)，這種框圖提供了樣值處理算法機(jī)器化 方法。我們將討論 FIR 濾波器的 direct form 實(shí)現(xiàn)方法和 DSP 芯片硬件方面的問題，以及循環(huán)尋址的 概念，這種尋址方法使實(shí)現(xiàn)延時、FIR 濾波、IIR 濾波的硬、軟件方面都時最新流行的。4.1 分批處理算法4.1.1 卷積許多實(shí)際的應(yīng)用中，我們將模擬信號（根據(jù)抽樣定理）抽樣并且把有限個抽樣（L 個樣本）收集 來表示輸入信號在該一段時限內(nèi)的記錄。抽樣記錄的時間用秒表示就是：TL = LT(4.1.1)其中，T 為抽樣周期，抽樣率與處樣周期的關(guān)系是：fs=1/T。反過來，我們可以根據(jù)抽樣的時間間隔 來計(jì)算抽樣數(shù)。L = TL f s(4.1.2)x(n)0123L-1nTLL 個信號樣本 x(n)，n=0，1，2，L-1 可以看作是一個塊：x = x0，x1，x2，L，xL-1(4.1.3)可以進(jìn)一步由濾波器來處理。直接形式和 LTI 形式由下式給出：y(n) = h(m)x(n - m) = x(m)h(n - m)mmy(n) = h(i)x( j)i, ji+ j =n卷積表達(dá)式中 x(m)和 h(n-m)的系數(shù)是 m+(n-m)=n，因此上述方程可以寫成：(4.1.5)(4.1.4)也就是說，將滿足 i+j=n 的所有項(xiàng) h(i)與 x(j)相乘，然后再求和。和的大小取決于 4.1.4 式中的 m， 或者說與 4.1.5 式中 i、j 有關(guān)。4.1.2Direct F