張英瑞統(tǒng)計學第三章.ppt

第 3 章 概率、概率分布與抽樣分布,3.1 事件及其概率 3.2 隨機變量及其概率分布 3.3 常用的抽樣方法 3.4 抽樣分布 3.5 中心極限定理的應用,學習目標,了解隨機事件的概念 了解概率運算的法則 理解隨機變量及其概率分布的概念 了解二項分布、泊松分布 掌握正態(tài)分布的主要特征和應用 理解大數(shù)定律和中心極限定理的重要意義,3.1 事件及其概率,3.1.1 試驗、事件和樣本空間 3.1.2 事件的概率 3.1.3 概率的性質(zhì)和運算法則 3.1.4 條件概率與事件的獨立性 3.1.5 全概公式與逆概公式,一、必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象,必然現(xiàn)象（確定性現(xiàn)象） 變化結(jié)果是事先可以確定的，一定的條件必然導致某一結(jié)果 這種關系通?？梢杂霉交蚨蓙肀硎?隨機現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象、不確定現(xiàn)象） 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象 個別觀察的結(jié)果完全是偶然的、隨機會而定 大量觀察的結(jié)果會呈現(xiàn)出某種規(guī)律性 （隨機性中寓含著規(guī)律性） 統(tǒng)計規(guī)律性,十五的夜晚能看見月亮？,十五的月亮比初十圓！,二、試 驗(experiment),對試驗對象進行一次觀察或測量的過程 擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù) 從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的數(shù)字或花色) 試驗的特點 可以在相同的條件下重復進行 每次試驗的可能結(jié)果可能不止一個，但試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前是確切知道的 在試驗結(jié)束之前，不能確定該次試驗的確切結(jié)果,樣本空間與樣本點,樣本空間 一個試驗中所有結(jié)果的集合，用表示 例如：在擲一顆骰子的試驗中，樣本空間表示為：1,2,3,4,5,6 在投擲硬幣的試驗中，正面，反面 樣本點 樣本空間中每一個特定的試驗結(jié)果 用符號表示,事件(event),事件：試驗的每一個可能結(jié)果(任何樣本點)組成的集合 擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)為3 用大寫字母A，B，C，表示 隨機事件：每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件 擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點數(shù),事件(event),簡單事件：不能被分解成其他事件組合的基本事件 拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面” 必然事件：每次試驗一定出現(xiàn)的事件，用表示 擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于7 不可能事件：每次試驗一定不出現(xiàn)的事件，用表示 擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)大于6,二、隨機事件的概率,概率 用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值 必然事件的概率為1，表示為P ( )=1 不可能事件發(fā)生的可能性是零，P( )=0 隨機事件A的概率介于0和1之間，0P(A)1 概率的三種定義，給出了確定隨機事件概率的三條途經(jīng)。,1、概率的古典定義,古典概型（等可能概型） 具有以下兩特點 每次試驗的可能結(jié)果有限（即樣本空間中基本事件總數(shù)有限） 每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同 它是概率論的發(fā)展過程中人們最早研究的對象,概率的古典定義,概率的古典定義 前提：古典概型 定義（公式）,計算古典概率常用到排列組合知識,三、排列與組合公式,1.乘法原理 若完成一件事情需要k個步驟，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，,做第k步有mk種方法，則完成這件事共有m1m2mk種方法。 2.加法原理 若完成一件事情共有k類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法， ,在第k類途徑中有mk種方法，則完成這件事共有m1+m2+mk種方法。,排列與組合的定義及其計算公式,1.排列 從n個不同元素中任取 r(rn)個元素排成一列(考慮元素先后出現(xiàn)次序)，稱此為一個排列，此種排列的總數(shù)記為 2.組合 從n個不同元素中任取 r(rn)個元素并成一組(不考慮元素間的先后次序)，稱此為一個組合，此種組合的總數(shù)記為,例1：設有50件產(chǎn)品，其中有5件次品，現(xiàn)從這50件中任取2件，求抽到的兩件產(chǎn)品均為合格品的概率是多少？抽到的兩件產(chǎn)品均為次品的概率又是多少？,2、概率的統(tǒng)計定義,當試驗次數(shù) n 很大時，事件A發(fā)生頻率m/n 穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 上下波動，而且這種波動的幅度一般會隨著試驗次數(shù)增加而縮小，則定義 p 為事件A發(fā)生的概率,當n相當大時，可用事件發(fā)生的頻率m/n作為其概率的一個近似值計算概率的統(tǒng)計方法（頻率方法）,3、 主觀概率,有些隨機事件發(fā)生的可能性，既不能通過等可能事件個數(shù)來計算，也不能根據(jù)大量重復試驗的頻率來近似 主觀概率依據(jù)人們的主觀判斷而估計的隨機事件發(fā)生的可能性大小 例如某經(jīng)理認為新產(chǎn)品暢銷的可能性是80 人們的經(jīng)驗、專業(yè)知識、對事件發(fā)生的眾多條件或影響因素的分析等等，都是確定主觀概率的依據(jù),4. 概率的基本性質(zhì),非負性：對任意事件A，有 P(A) 0. 規(guī)范性： 必然事件的概率為1，即： P()=1 不可能事件的概率為0 ，即：P()=0。 可加性： 若A與B互斥，則P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 對于多個兩兩互斥事件A1，A2，An，則有： P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 上述三條基本性質(zhì)，也稱為概率的三條公理。,(補充）關于概率的公理化定義,概率的以上三種定義，各有其特定的應用范圍，也存在局限性，都缺乏嚴密性。 古典定義要求試驗的基本事件有限且具有等可能性 統(tǒng)計定義要求試驗次數(shù)充分大，但試驗次數(shù)究竟應該取多大、頻率與概率有多么接近都沒有確切說明 主觀概率的確定又具有主觀隨意性 蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定義 通過規(guī)定應具備的基本性質(zhì)來定義概率 公理化定義為概率論嚴謹?shù)倪壿嬐评泶蛳铝藞詫嵉幕A。,互斥事件及其概率 (mutually exclusive events),在試驗中，兩個事件有一個發(fā)生時，另一個就 不能發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥事件(沒有 公共樣本點)或稱互不相容事件。,互斥事件的文氏圖(Venn diagram),互斥事件及其概率 (例題分析),例2.在一所城市中隨機抽取600個家庭，用以確 定擁有個人電腦的家庭所占的比例。定義如下 事件： A：600個家庭中恰好有265個家庭擁有電腦 B：恰好有100個家庭擁有電腦 C：特定戶張三家擁有電腦 說明下列各對事件是否為互斥事件，并說明你 的理由 (1) A與B (2) A與C (3) B與C,互斥事件及其概率 (例題分析),例：同時拋擲兩枚硬幣，并考察其結(jié)果。恰好有一枚 正面朝上的概率是多少？,解：用H表示正面，T表示反面， 該項試驗會有4個互斥事件之一發(fā)生 (1) 兩枚硬幣都正面朝上，記為H H (2) 1號硬幣正面朝上而2號硬幣反面朝上，記為H T (3) 1號硬幣反面朝上而2號硬幣正面朝上，記為T H (4) 兩枚硬幣都是反面朝上，記為T T,互斥事件的加法規(guī)則 (addition law),1.若兩個事件A與B互斥，則事件A發(fā)生或事 件B發(fā)生的概率等于這兩個事件各自發(fā)生的 概率之和，即 P(AB) =P(A)+P(B) 2.事件A1，A2，An兩兩互斥，則有 P(A1A2 An) =P(A1)+P(A2) +P(An),互斥事件的加法規(guī)則 (例題分析),解：擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)(1，2，3，4，5，6)共有6個互斥事件，而且每個事件出現(xiàn)的概率都為1/6，根據(jù)互斥事件的加法規(guī)則，得,例：拋擲一顆骰子，并考察其結(jié)果。求出其點 數(shù)為1點或2點或3點或4點或5點或6點的概率,概率的性質(zhì) (小結(jié)),非負性 對任意事件A，有 P(A) 0. 規(guī)范性 一個事件的概率是一個介于0與1之間的值，即對于任意事件 A，有0 P (A) 1 必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P ( )=1； P( )=0 可加性 若A與B互斥，則P(AB) =P(A)+P(B) 推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，An，有 P( A1A2 An) = P(A1)+P(A2)+P(An),事件的補及其概率,事件的補：事件A不發(fā)生的事件，稱為事件A的補事件(或稱逆事件)，記為A 。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點的集合,A, A,P(A)=1- P(A),廣義加法公式,對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即 P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB),廣義加法公式 (事件的并或和), 事件A或事件B發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點的集合，記為AB或A+B,廣義加法公式 (事件的交或積), 事件A與事件B同時發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點所組成的集合，記為BA 或AB,廣義加法公式 (例題分析),例：一家計算機軟件開發(fā)公司的人事部門最近做了一項調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在最近兩年內(nèi)離職的公司員工中有40%是因為對工資不滿意，有30%是因為對工作不滿意，有15%是因為他們對工資和工作都不滿意。求兩年內(nèi)離職的員工中，離職原因是因為對工資不滿意、或者對工作不滿意、或者二者皆有的概率。,概率的運算法則小結(jié) 1. 加法公式,用于求P(AB)“A發(fā)生或B發(fā)生”的概率 互斥事件（互不相容事件） 不可能同時發(fā)生的事件 沒有公共樣本點,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ),互斥事件的加法公式,P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),互補事件,互補事件 不可能同時發(fā)生而又必然有一個會發(fā)生的兩個事件 互補事件的概率之和等于1,A,A,例如：擲一個骰子，“出現(xiàn)2點”的概率是1/6，則“不出現(xiàn)2點”的概率就是5/6 。,相容事件的加法公式,相容事件 兩個事件有可能同時發(fā)生 沒有公共樣本點 相容事件的加法公式 （廣義加法公式 ）,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),事件的積（交）AB,事件的和（并）,條件概率 (conditional probability),在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已 知事件B時事件A的條件概率，記為P(A|B),（1）條件概率,條件概率在某些附加條件下計算的概率 在已知事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下A發(fā)生的條件概率P(A|B) 條件概率的一般公式：,其中 P(B) 0,條件概率(例題分析),例：一家超市所作的一項調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購買食品，60%的人是來購買其他商品，35%