直線與方程知識點與經(jīng)典例題.doc

直線與方程知識點與經(jīng)典例題一、知識點（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180性質(zhì)：直線的傾斜角=90時，斜率不存在，即直線與y軸平行或者重合. 當=0時，斜率k=0；當時，斜率，隨著的增大，斜率k也增大；當時，斜率，隨著的增大，斜率k也增大.（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當時，； 當時，； 當時，不存在。過兩點的直線的斜率公式： 注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程點斜式：直線斜率k，且過點注意：當直線的斜率為0時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點式：（）直線兩點，截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； （5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）垂直直線系垂直于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（三）過定點的直線系（）斜率為k的直線系：，直線過定點；（）過兩條直線，的交點的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（6）兩直線平行與垂直當，時，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點 相交交點坐標即方程組的一組解。方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解與重合（8）兩點間距離公式：設(shè)是平面直角坐標系中的兩個點，則 （9）點到直線距離公式：一點到直線的距離（10）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進行求解。填空或選擇可以用： 二、經(jīng)典例題【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(2)已知三點A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一條直線上，求實數(shù)a的值【例2】已知兩點A (-2,- 3) , B (3, 0) ,過點P (-1, 2)的直線與線段AB始終有公共點，求直線的斜率的取值范圍. 【例3】（1）已知直線經(jīng)過點M（-3，0），N（-15，-6），經(jīng)過點R（-2，），S（0，），試判斷與是否平行？（2）的傾斜角為45，經(jīng)過點P（-2，-1），Q（3，-6），問與是否垂直？【例4】已知直線經(jīng)過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5，求直線的方程【例5】經(jīng)過點并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條？請求出這些直線的方程 【例6】寫出過兩點A(5,0)，B(0,-3) 的直線方程的兩點式、點斜式、斜截式、截距式和一般式方程【例7】已知直線l的方程為3x+4y12=0，求與直線l平行且過點（1，3）的直線的方程【例8】 已知為實數(shù)，兩直線：，：相交于一點，求證：交點不可能在第一象限及軸上.【例9】若直線l：ykx與直線2x3y60的交點位于第一象限，求直線l的斜率的取值范圍.【例10】直線2xy4=0上有一點P，求它與兩定點A(4，1)，B(3，4)的距離之差的最大值.【例11】已知點到直線的距離為，求的值；【例12】求與直線及都平行且到它們的距離都相等的直線方程.經(jīng)典例題【例1】(1)已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(2)已知三點A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一條直線上，求實數(shù)a的值解：(1) 直線AB的斜率0, 所以它的傾斜角是銳角; 直線BC的斜率0, 所以它的傾斜角是銳角.(2)， . A、B、C三點在一條直線上， ， 即， 解得或.【例2】已知兩點A (-2,- 3) , B (3, 0) ,過點P (-1, 2)的直線與線段AB始終有公共點，求直線的斜率的取值范圍. 解：如圖所示, 直線PA的斜率是, 直線PB的斜率是.當直線由PA變化到y(tǒng)軸平行位置PC, 它的傾斜角由銳角增至90，斜率的變化范圍是5,；當直線由PC變化到PB位置，它的傾斜角由90增至，斜率的變化范圍是.所以斜率的變化范圍是.【例3】（1）已知直線經(jīng)過點M（-3，0），N（-15，-6），經(jīng)過點R（-2，），S（0，），試判斷與是否平行？（2）的傾斜角為45，經(jīng)過點P（-2，-1），Q（3，-6），問與是否垂直？解：（1） =，. /（2） ， ， 【例4】已知直線經(jīng)過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5，求直線的方程解：由已知得與兩坐標軸不垂直直線經(jīng)過點， 可設(shè)直線的方程為，即.則直線在軸上的截距為，在軸上的截距為.根據(jù)題意得，即.當時，原方程可化為，解得；當時，原方程可化為，此方程無實數(shù)解.故直線的方程為，或.即或.【例5】經(jīng)過點并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條？請求出這些直線的方程 解：當截距為時，設(shè)，過點，則得，即；當截距不為時，設(shè)或過點，則得，或，即，或這樣的直線有條：，或 【例6】寫出過兩點A(5,0)，B(0,-3) 的直線方程的兩點式、點斜式、斜截式、截距式和一般式方程解：兩點式方程：；點斜式方程：，即；斜截式方程：，即；截距式方程：；一般式方程：【例7】已知直線l的方程為3x+4y12=0，求與直線l平行且過點（1，3）的直線的方程解：直線l:3x+4y12=0的斜率為， 所求直線與已知直線平行， 所求直線的斜率為，又由于所求直線過點（1，3），所以，所求直線的方程為：，即.【例8】 已知為實數(shù)，兩直線：，：相交于一點，求證：交點不可能在第一象限及軸上.解：解方程組得交點().若0，則1.當1時，0，此時交點在第二象限內(nèi).又因為為任意實數(shù)時，都有10，故0.因為1（否則兩直線平行，無交點） ，所以，交點不可能在軸上【例9】若直線l：ykx與直線2x3y60的交點位于第一象限，求直線l的斜率的取值范圍.解：如圖，直線2x+3y6=0過點A（3，0），B（0，2），直線l：ykx必過點（0，）.當直線l過A點時，兩直線的交點在x軸；當直線l繞C點逆時針（由位置AC到位置BC）旋轉(zhuǎn)時，交點在第一象限. 根據(jù)，得到直線l的斜率k. 傾斜角范圍為.【例10】直線2xy4=0上有一點P，求它與兩定點A(4，1)，B