清北學(xué)堂 2014年寒假物理競賽提高班導(dǎo)學(xué)3-光學(xué)與近代物理部分

2014 年寒假 物理 競賽提高班 導(dǎo)學(xué) （第 三 次） 資料 說明 本 導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實(shí)際授課 之 前 ，了解授課方向及重難點(diǎn)。 同時(shí) 還 附上部分知識點(diǎn) 的詳細(xì)解讀。每個(gè)班型導(dǎo)學(xué)共由 4 次書面資料構(gòu)成。此次發(fā)布的為第 三 次導(dǎo)學(xué)，后面的第 四次導(dǎo)學(xué) ， 將于 2013 年 12 月 25 日發(fā)布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 還 會(huì)發(fā)布 相應(yīng)班型的詳細(xì)授課大綱，敬請關(guān)注。 自主招生郵箱： 數(shù)學(xué)競賽郵箱： 物理競賽郵箱： 化學(xué)競賽郵箱： 生物競賽郵箱： 理科精英郵箱： 清北學(xué)堂集中 培訓(xùn)課程 導(dǎo)學(xué)資料 （ 2014 年寒假集中培訓(xùn) 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-3-6 2013-12-15 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 1 頁 2014 年寒假物理競賽提高班導(dǎo)學(xué) (光學(xué)與近代物理 部分 ) 目錄 知識框架 . 2 重點(diǎn)難點(diǎn) . 3 知識梳理 . 4 一、 幾何光學(xué) . 4 1. 幾何光學(xué)理論基礎(chǔ) . 4 2. 成像基本公式 . 4 二、 物理光學(xué) . 8 1. 光的波動(dòng)性 . 8 2. 光的量子性 . 15 3. 不確定關(guān)系 . 15 三、 原子和原子核 . 16 1. 原子結(jié)構(gòu) . 16 2. 原子核 . 17 四、 狹義相對論 . 18 1. 時(shí)間膨脹與長度收縮 . 18 2. 洛倫茲變換 . 18 3. 同時(shí)的相對性 . 19 4. 相對論力學(xué) . 19 例題選講 . 21 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁 知識框架 幾何光學(xué) 幾何光學(xué)理論基礎(chǔ) 成像基本公式 物理 光學(xué) 光的波動(dòng)性 光的量子性 不確定關(guān)系 原子和原子核 原子結(jié)構(gòu) 原子核 狹義相對論 時(shí)間膨脹與長度收縮 洛倫茲變換 同時(shí)的相對性 相對論力學(xué) 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁 重點(diǎn)難點(diǎn) 光學(xué)與近代物理是競賽大綱與高考大綱要求相差較多的部分。競賽對光學(xué)與近代物理知識的要求基本可以達(dá)到大學(xué)物理的要求，因而對高中生而言這兩部分內(nèi)容從知識層面講較難。 幾何光學(xué)部分，需要掌握大量的 成像公式 ，從基本成像公式出發(fā)可解決絕大部分幾何光學(xué)題目。此外掌握一定的 光路作圖 技巧在解決幾何光學(xué)問題時(shí)也十分有益。 波動(dòng)光學(xué)部分，需要理解與 光的波動(dòng)性 相關(guān)的 干涉 、 衍射 現(xiàn)象及相關(guān)公式，波動(dòng)光學(xué)題目在競賽中所占比例不高，理解現(xiàn)象并掌握公式即可解決絕大部分問題。 原子和原子核部分，需要掌握原子結(jié)構(gòu)及 核反應(yīng) 相關(guān)知識。光譜規(guī)律要掌握 氫原子光譜波長公式。 狹義相對論部分，需要掌握 洛倫茲變換 、 時(shí)間膨脹 和 長度收縮 變換公式，理解 “固有 ”概念并在解題中正確使用變換公式。由于狹義相對論理論性較強(qiáng)，理解頗有難度。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁 知識梳理 一、 幾何光學(xué) 1. 幾何光學(xué)理論基礎(chǔ) （ 1） 光線與幾何光學(xué) 表示光傳播方向的幾何線稱為光線。光線是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念，不是從實(shí)際光束中借助有孔光闌分出的一個(gè)狹窄部分。因?yàn)樵诳仔〉揭欢ǔ潭葧r(shí)將會(huì)發(fā)生衍射現(xiàn)象，不可能分出無限窄的一條光束。 在光學(xué)成像問題中，借助光線概念和基本實(shí)驗(yàn)定律及集合定律，可以進(jìn)行一切必要的計(jì)算而不涉及光的本性問題，這部 分以實(shí)驗(yàn)定律和集合定律為基礎(chǔ)的光學(xué)稱為幾何光學(xué)。 （ 2） 基本實(shí)驗(yàn)定律 光的直線傳播定律 ：光在均勻介質(zhì)中是沿直線傳播的，即在均勻介質(zhì)中，光線為一直線。 光的獨(dú)立傳播定律 ：自不同方向或不同物體發(fā)出的光線相交時(shí)，對每一光線的獨(dú)立傳播不發(fā)生影響。 光的反射定律 ：入射光線、入射點(diǎn)出反射面的法線和反射光線在同一平面內(nèi)，且入射光線與法線的夾角 i1 等于反射光線與法線的夾角 i2。 光的折射定律 ：入射光線、折射光線和入射點(diǎn)處分界面的法線在同一平面內(nèi)，且入射光線和折射光線分別位于法線兩側(cè)，入射角 i1 和折射角 i2 滿足 1 1 2 2sin sinn i n i 。其中， n1 和 n2分別是介質(zhì) 1 和介質(zhì) 2 的折射率。 全反射現(xiàn)象：光由光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)時(shí)，由折射定律知折射角大于入射角。對應(yīng)折射角為 90時(shí)的入射角稱為臨界角 ic，有 arcsinc ni n 疏密。當(dāng)入射角大于臨界角 ic時(shí)，折射光線不再存在，入射光全部反射，這種現(xiàn)象叫全反射現(xiàn)象。 （ 3） 費(fèi)馬原理 均勻介質(zhì)中，光線行徑的 幾何路徑長度 s 與 介質(zhì)折射率 n 的乘積稱為光在該介質(zhì)中所走的 光程 ，用 表示，即 ns 。又 cns s ctv，即光程可認(rèn)為是相同時(shí)間內(nèi)光在真空中通過的路程。 費(fèi)馬原理指出：光在指定的兩點(diǎn)間傳播，實(shí)際的光程總是一個(gè) 極值 。也就是說，光沿光程值為最小、最大或恒定的路徑傳播。費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中一個(gè)最普遍的基本原理，在折射率連續(xù)變化的介質(zhì)中費(fèi)馬原理的應(yīng)用十分重要。 2. 成像基本公式 （ 1） 物方空間和像方空間 對某一光學(xué)系統(tǒng)，未經(jīng)它變換前的實(shí)際入射單心光束所在的空間稱為 物方空間 ，經(jīng)系統(tǒng)變換后的實(shí)際出射單心光束所在的空間稱為 像方空間 。所有的物方量，如物距 S、物方焦距f 都永遠(yuǎn)屬于物 方空間，所有的像方量都永遠(yuǎn)屬于像方空間。 （ 2） 正負(fù)號法則 在成像公式中涉及物距 s、像距 s、球面曲率半徑 r、物方焦距 f 和像方焦距 f等，均可正可負(fù)，需用一種標(biāo)準(zhǔn)來指定其正負(fù)號的取法。這里需要說明的是正負(fù)號法則 不止一種 ，選取任一種法則都可得到正確的結(jié)論， 使用何種法則由個(gè)人習(xí)慣決定 。這里給出一種可行的正清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁 S S1 S2 S3 S4 S5 O 負(fù)號法則： i. 軸向線段：從球面頂點(diǎn)算起，沿光軸向左的線段為負(fù)值，向右的線段為正值。 ii. 橫向線段：從光軸算起，向上的橫向線段為正，向下的為負(fù)。 iii. 示意圖中線段長度均已絕對值標(biāo)記，如物距 s 為負(fù)，則示意圖中標(biāo)記為（ -s）。 若使用這種正負(fù)號法則，則 s0，物為虛物； s0，像為實(shí)像； s0，像為虛像。 （ 3） 平面反射成像 平面鏡成像物與像關(guān)于平面鏡對稱。平面鏡是最簡單的、不改變光束單心性的、能完善成像的光學(xué)系統(tǒng)。單平面鏡反射成像很簡單，像與物關(guān)于平面鏡對稱。 由兩個(gè)以上的平面鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)叫做組合平面鏡，射向組合平面鏡的光線往往要在平面鏡之間發(fā)生多次反射，因而會(huì)出現(xiàn)生成復(fù)像的現(xiàn)象。 成像時(shí)遵循依次成像原則，即某一平面鏡成的像是其他平面鏡的物，直至所有像與物都確定。 兩面平面鏡 AO 和 BO 成 60角放置，用，很容易確定像的位置： 以 O 為圓心、 OS 為半徑作圓； 過 S做 AO 和 BO 的垂線與圓交于 S1和 S2； 過 S1和 S2作BO 和 AO 的垂線與圓交于 S3和 S4； 過 S3和 S4作 AO 和 BO 的垂線與圓交于 S5， S1S5便是 S 在兩平面鏡中的 5 個(gè)像。 （ 4） 平面折射成像 i. 單平面折射成像 平面折射成像時(shí)，入射角 i0 時(shí)，折射光束幾乎仍保持為單心，入射角越大，折射光束的像散越顯著。當(dāng)入射角 i0時(shí)，像的深度 y與實(shí)際深度 y 的關(guān)系為 21nyyn 。 ii. 棱鏡折射與色散 入射光線經(jīng)棱鏡折射后改變了方向，出射光線與入射光線之間的夾角稱為偏向角，由圖的幾何關(guān)系知 1 2 1 2 1 1( ) ( )i i i i i i 其中 12sin sini n i ， 21sin sini n i 。 當(dāng) 1i ， 很小時(shí)， 12i ni ， 21ni i 即 =(n-1) 厚度不計(jì)頂角 很小的三棱鏡稱之為光楔，對近軸光線而言， 與入射角大小無關(guān)，各成像光線經(jīng)光楔后都偏折同樣的角度 ，所以作光楔折射成像光路圖時(shí)可畫成一使光線產(chǎn)生偏折角的薄平板， 如右圖 。設(shè)物點(diǎn) S離光楔 L， 則像點(diǎn) S在 S 的正上方 ()h l n l 。 A B C E F i1 i2 i2 i1 D G 折射率 h L S S 陽光 紅 紫 圖 1-3-6 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁 當(dāng)棱鏡中折射光線相對于頂角 對稱成等腰三角形時(shí)， 11ii ， 22ii 。 11sin sin sin 2i i n 2 a rc s in ( s in )2n 或 sin sin22n 這為棱鏡的最小偏向角 ，此式可用來測棱鏡的折射率。 由于同一種介質(zhì)對不同色光有不同的折射率，各種色光的偏折角不同，所以白光經(jīng)過棱鏡折射后產(chǎn)生色散現(xiàn)象。虹和霓是太陽被大氣中的小水滴折射和反射形成的色散現(xiàn)象。陽光在水滴上經(jīng)兩次折射和一次反射如圖1-3-6。形成內(nèi)紫外紅的虹；陽光經(jīng)小滴兩次折射和兩次反射如圖 1-3-7，形成內(nèi)紅外紫的霓。由于霓經(jīng)過一次反射，因此光線較弱，不容易看到。 （ 5） 單球面折射成像 i. 單球面對 近軸光線 的 折射成像公式 為 n n n ns s r ，式中 s 是物距， s是像距，r 是球面曲率半徑， n 和 n分別為單折射球面的物方折射率和像方折射率。定義 成像公式中僅與折射率和球面曲率半徑有關(guān)的量 nnr 為 光焦度 ，單位是 米 -1或 屈光度 ，數(shù)值乘以 100 就是眼鏡片的度數(shù)。 ii. 物距 s時(shí)的像距稱為像方焦距， 單球面折射像方焦距 nfrnn ；像距 s時(shí)的物距稱為物方焦距， 單球面折射物方焦距 nfrnn 。 iii. 高斯成像公式 ： 1ffss 。 iv. 垂直于光軸的線段 y 經(jīng)系統(tǒng)變換后仍是垂直于光軸的線段 y，且 y可正可負(fù)，這時(shí)像長 y與物長 y 的比值為垂軸放大率 。 單球面折射垂軸放大率 y nsy n s 。且有 ，實(shí)物成實(shí)像，虛物成虛像，正物成倒像； ，實(shí)物成虛像，虛物成實(shí)像，正物成正像； |，得放大像； |0 為虛像 ，s0 為實(shí)像 。 （ 7） 薄透鏡成像 透鏡由兩個(gè) 共軸球面 構(gòu)成，若透鏡的厚度與球面的曲率半徑相比不能忽略，則成為 厚透鏡 ；若可略去不計(jì)，則稱為 薄透鏡 。 i. 設(shè)薄透鏡由兩個(gè)曲率半徑分別為 r1和 r2 的折射球面組成，透鏡的折射率為 n，左右兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別為 n1 和 n2，則 近軸條件 下 薄透鏡的成像公式為2 1 1 212n n n n n ns s r r ii. 薄透鏡的 光焦度 ： 1 2 112n n n nrr iii. 焦距 ： 11212nfn n n nrr ， 21212nfn n n nrr iv. 高斯成像公式 ： 1ffss ，對置于空氣中的薄透鏡，由 n1=n2=1，成像公式變?yōu)? 1 1s s f v. 垂軸放大率 ： 12nsyy n s vi. 焦平面與副光軸 薄透鏡中， 過焦點(diǎn)且垂直于主光軸 的平面為 焦平面 ， 過光心與焦平面相交 的直線都可作為透鏡的 副光軸 。 作透鏡光學(xué)系統(tǒng)的光路時(shí)，任意一條光線均可使用焦平面與副光軸作出其折射光線。方法如下： 先取入射光線與焦平面的交點(diǎn) B，過光心 O 和該交點(diǎn) B 作直線 OB，則 OB 為透鏡對該入射光線的副光軸， B 稱為透鏡對該入射光線的副焦點(diǎn)。類似過焦點(diǎn)光線的折射規(guī)律， 折射光線平行于 OB。 （ 8） 共軸光具組成像 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁 多個(gè)光學(xué)元件組成的共軸光學(xué)系統(tǒng)稱為共軸光具組。在近軸條件下，共軸光具組成像問題可采用 逐次成像法 ，即把前一個(gè)元件所成的像視作后一個(gè)元件的物，依次套用成像公式進(jìn)行求解。 （ 9） 視角、視角放大 物體的兩端對 人眼光心所張的角度 叫做 視角 ，視角的大小跟物體的 尺寸及物體到人眼的距離有關(guān)。當(dāng)兩物點(diǎn)（或同一物體上的兩點(diǎn)）對人眼視角大小 I（約 2.910-4md）時(shí)，才能被人眼區(qū)分。 在看小物體時(shí)，為了增大視角就要縮短物眼間距離，但當(dāng)其小于人眼近點(diǎn)距離時(shí)，視網(wǎng)膜上所成的像反而模糊不清。為此，必須使用光學(xué)儀器來增大視角。 右 圖是人眼（ E）通過放大鏡觀察物體 AB 的像 BA ，當(dāng)人眼靠近光心時(shí)視角。 BOABOB BABOA 若物體很靠近焦點(diǎn)，且成像于明視距離，則： 25B O cm ， BO f A B ABB O f 若不用放大鏡將物體置于明視距離，如圖， BE=25cm，則視角： 25ABAEB cm 把用光學(xué)儀器觀察虛像所得視角 與將物體放在虛像位置上直接觀察的視角 的比值叫做光學(xué)儀器的視角放大率。用 表示 視角放大率 ，即有 二、 物理 光學(xué) 1. 光的波動(dòng)性 （ 1） 光的速度、波長、頻率和折射率 光波就是 電磁波 。 真空中的光速 c=3.0108m/s，在折射率為 n 的介質(zhì)中光速 v=c/n。 光波的頻率 、光波在真空中的波長 與光速 c 的關(guān)系為 =c。 可見光的波長在 0.40m到 0.76m之間。波長 長于 0.76m的光波稱為 紅外線 ，波長短于 0.40m光波稱為 紫外線 。 （ 2） 光的干涉 i. 光的相干迭加 兩列波的迭加問題可以歸結(jié)為討論空間任一點(diǎn)電磁振動(dòng)的 矢量 迭加，所以， 合振AB E清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁 動(dòng)平均強(qiáng)度 為 221 2 1 2 2 12 c o s ( )I A A A A 其中 1A 、 2A 為振幅， 1 、 2 為振動(dòng)初相位。 21222 1 1 222 21122 , 0 , 1 , 2 , ( )( 2 1 ) , 0 , 1 , 2 , ( )4 c os2j j I A Aj j I A AA A I A 其 他 且 ii. 雙縫干涉 如圖所示，在單色光平行光前放一狹縫 S， S 前又放有兩條平行狹縫 S1、 S2，它們與 S平行并等距，這時(shí) S1、 S2 構(gòu)成一對相干光源。從 S 發(fā)出的光波波陣面到達(dá) S1 和 S2 處時(shí)，再從 S1、 S2 傳出的光是從同一波陣面分出的兩相干光。它們在相遇點(diǎn)將形成相干現(xiàn)象?？芍?，相干光是來自同一列波面的兩部分，這種方法產(chǎn)生的干涉稱為分 波陣面法 。 干涉條紋的位置 ： 如圖所示， S1、 S2 為兩縫，相距 d， E 為屏，距縫為 D， O 為 S1、 S2連線與 E 交點(diǎn)， P為 E 上的一點(diǎn)，距 O 為 x，距 S1、 S2為 r1、 r2，由 S1、 S2 傳出的光在 P 點(diǎn)相遇時(shí)，產(chǎn)生的波程差為： 21rr，位相差為： 2 ，作 12SB S P ，可知 2 1 2 s i n xr r S B d d t g d D （ 很小 dn2n3 時(shí)，反射線 a1、 b1 都是 從光密介質(zhì)到光疏介質(zhì)，沒有 “ 半波損失 ” ，對于 a1、 a2，不需增加 ；但反射線 b2 是 從光疏介質(zhì)到光密介質(zhì)，有 “ 半波損失 ” ，因此對于 c1、 c2，需要增加 。當(dāng) n1n2n2n3 或 n1n2h，所以 h22Rh，得 22rh R Q M N a b 1a 1b C 圖 2-1-9 A B O C R r h 圖 2-1-10 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 13 頁 上式說明 h 與 r 的平方成正比，所以離開中心愈遠(yuǎn)，光程差增加愈快，所看到的牛頓環(huán)也變得愈來愈密。由以上兩式，可求得在反射光中的明環(huán)和暗環(huán)的半徑分別為： ( 2 1 ) , 1 , 2 , 32kRrk，為明環(huán) , 0 ,1, 2r k R k 為暗環(huán) 隨著級數(shù) k 的增大。干涉條紋變密。對于第 k 級和第 k+m 級的暗環(huán) 2kr kR 2 ()kmr k m R 22kmr r mR 由此得透鏡的且率半徑 2211( ) ( ) ( )r m k k m k k m kR r r r r r rmm 牛頓環(huán)中心處相應(yīng)的空氣層厚度 h=0，而實(shí)驗(yàn)觀察到是一暗斑，這是因?yàn)楣馐杞橘|(zhì)到光密介質(zhì)界面反射時(shí)有相位突變的緣故。 （ 3） 光的衍射 光 繞過障礙物偏離直線傳播 而進(jìn)入幾何陰影，并在屏幕上出現(xiàn)光強(qiáng)不均勻分布的現(xiàn)象，叫做光的 衍射 。 i. 惠更斯 菲涅耳原理 惠更斯原理 惠更斯指出，由光源發(fā)出的光波，在同一時(shí)刻 t 時(shí)它所達(dá)到的各點(diǎn)的集合所構(gòu)成的面，叫做此時(shí)刻的波陣面（又稱為波前），在同一波陣面上各點(diǎn)的相位都相同，且波陣面上的各點(diǎn)又都作為新的波源向外發(fā)射子波，子波相遇時(shí)可以互相疊加，歷時(shí) t 后，這些子波的包絡(luò)面就是 t+t 時(shí)刻的新的波陣面。波的傳播方向與波陣面垂直，波陣面是一個(gè)平面的波叫做平面波，其傳播方向與此平面垂直，波陣面是一個(gè)球面（或球面的一部分）的波叫做球面波，其傳播方向?yàn)檠厍蛎娴陌霃椒较?， 如圖 2-1-33。 菲涅耳對惠更斯原理的改進(jìn)（惠 菲原理） 波面 S 上每個(gè)面積單元 ds 都可看作 新的波源 ，它們均發(fā)出 次波 ，波面前方空間某一點(diǎn) P 的振動(dòng)可以由 S 面上所有面積所發(fā)出的次波在該點(diǎn)迭加后的 合振幅 來表示。 面積元 ds 所發(fā)出各次波的振幅和位相符合下列四個(gè)假設(shè)：在波動(dòng)理論中，波面是一個(gè)等位相面，因而可以認(rèn)為 ds 面上名點(diǎn)所發(fā)出的所有次波都有相同的初位相（可令 0=0）。次波在 P 點(diǎn)處的振幅與 r 成反比。從面積元 ds 所發(fā)出的次波的振幅正比于 ds 的面積，且與傾角 有關(guān)，其中 為 ds 的法線 N 與 ds 到 P 點(diǎn)的連線r 之間的夾角，即從 ds 發(fā)出的次波到達(dá) P 點(diǎn)時(shí)的振幅隨 的增大而減?。▋A斜因數(shù)）。圖 2-1-33 S P N r ds 圖 2-1-34 sin D22.1 D22.1 O I 1I 圖 2-1-37 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 14 頁 次波在 P 點(diǎn)處的位相，由光程 nr 決定 2 。 泊松亮斑 當(dāng)時(shí)法國著名的數(shù)學(xué)家泊松在閱讀了菲涅耳的報(bào)告后指出：按照菲涅耳的理論，如果讓平行光垂直照射不透光的圓盤，那么在圓盤后面的光屏上所留下的黑影中央將會(huì)出現(xiàn)一個(gè)亮斑。因?yàn)榇怪庇趫A盤的平行光照到時(shí)，圓盤邊緣將位于同一波陣面上，各點(diǎn)的相位相同，它們所發(fā)生的子波到達(dá)黑影中央的光程差為零，應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)增強(qiáng)干涉。泊松原想不能觀察到這一亮斑來否定波動(dòng)說，但菲涅耳勇敢地面對挑戰(zhàn)，用實(shí)驗(yàn)得到了這個(gè)亮斑。 ii. 圓孔與圓屏的菲涅耳衍射 圓孔衍射 將一束光（如激光）投射在一個(gè)小圓孔上，并在距孔 1 2 米處放置一玻璃屏，則在屏上可看到小圓孔的衍射 花樣。 其中波帶為 2011()k R其中由圓孔半徑 P，光的波長 ，圓孔位置（ 0 與 R）確定。 圓屏衍射 不問圓屏大小和位置怎樣，圓屏幾何影子的中心永遠(yuǎn)有光，泊松亮斑即典型。 iii. 單縫和圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射 夫瑯和費(fèi)衍射又稱遠(yuǎn)場衍射，使用的是平行光線，即可認(rèn)為光源距離為無限遠(yuǎn)。它不同于光源距離有限的菲涅耳衍射。在實(shí)驗(yàn)裝置中更有價(jià)值。 夫瑯和費(fèi)衍射指用平行光照射障礙物時(shí)在無窮遠(yuǎn)處的衍射圖像。由于無窮遠(yuǎn)與透鏡的焦平面上是一對共扼面，所以可以用透鏡將無窮遠(yuǎn)處的衍射花樣成像于焦平面上 單縫的夫瑯和費(fèi)衍射裝置如圖 2-1-35 所示， S 為與狹縫平行的線光源，置于 L1 的前半焦平面上，由惠更斯 菲涅耳原理可計(jì)算出屏上任一點(diǎn) P 的光強(qiáng)為 20 sin( ) ( )II ， 式中， sinb ， 為波長， b 為狹縫寬度， 為 P 點(diǎn)對 L2 中心軸線所張的角， I0 為中心點(diǎn)光強(qiáng)。 單縫的夫瑯和費(fèi)衍射圖像和光強(qiáng)分布如圖 2-1-36，在衍射光強(qiáng)分布中，可知 s in , 1, 2 ,m mb 時(shí)， I=0。其中心條紋對應(yīng)的夾角為 2b ，屏上的寬度則為 2 fb （ f 為 L2 的焦距 ） 。它表明，當(dāng)狹縫官寬 b 變小時(shí)，中心衍射條紋變寬。 若用點(diǎn)光源和圓孔分別代替圖 2-1-35中的線光源 S和狹縫 ,在屏便可得到小圓孔的S L1 L2 f 線光源 狹縫 圖 2-1-35 I 1I sin b b2 b 圖 2-1-36 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 15 頁 衍射花樣 ， 其光強(qiáng)分布如圖 2-1-37， D 為小圓孔的直徑，中央亮圓斑稱為愛里斑，愛里斑邊緣對 L2 中心光軸的夾角為 1.22 D。 圓孔衍射是非常重要的，在光學(xué)儀強(qiáng)中，光學(xué)元件的邊緣一般就是圓孔，對于一物點(diǎn)，由于這元件邊緣的衍射，所成的像不再是點(diǎn)，而是一個(gè)愛里斑，這將影響光學(xué)儀器的分辯相鄰物點(diǎn)的能力。根據(jù)瑞利判據(jù)，當(dāng)兩個(gè)愛里斑中心角距離為 1.22 D 時(shí)，這兩個(gè)像點(diǎn)剛好可以分辯，小于 1.22 D 就不可分辨了。 iv. 衍射光柵 由大量等寬度等間距的平行狹縫所組成的光學(xué)元件稱為衍射光柵，將衍射光柵放置在圖 2-1-35 的狹縫位置上，在衍射屏上便可觀察到瑞利的亮條紋，這些亮條紋所對應(yīng)的角度 應(yīng)滿足 s in , 0 , 1, 2 ,d m m ， d 為兩狹縫之間的間距， m 稱為衍射級數(shù)。上式稱為光柵方程。從方程中可以看出。不同的波長 ，其亮條紋所對應(yīng)的 不同，所以光柵可以用來作光譜儀器的色散元件。 2. 光的量子性 （ 1） 光電效應(yīng) 電子在光的作用下從金屬表面發(fā)射出來的現(xiàn)象稱為 光電效應(yīng) 。逃逸出的電子稱為光電子。光電效應(yīng)是光的量子性的直接反映。 為解釋光電效應(yīng)，愛因斯坦提出光量子（簡稱光子）概念， 單個(gè)光子的能量 E 與頻率的 關(guān)系 為 Eh ，式中 h 為 普朗克常數(shù) 。 光電效應(yīng)方程 為 212mh mv W ，即入射光子的能量等于剛從材料打出的光電子的初始動(dòng)能加光電子逃逸所需的 逃逸功 。 光電效應(yīng)方程說明，光電效應(yīng)的產(chǎn)生 只與光子能量有關(guān) ，而 與光線強(qiáng)弱無關(guān) ，即單個(gè)光子能量達(dá)到一定值后，即使光線很弱也能產(chǎn)生光電子；而單個(gè)光子的能量未達(dá)到臨界值時(shí)，即使光線很強(qiáng)也不能產(chǎn)生光電子。 （ 2） 光子的質(zhì)量和動(dòng)量 光子的質(zhì)量22Ehm cc，但 光子的靜止質(zhì)量為零 。光子的動(dòng)量 E h hp cc 。 （ 3） 康普頓效應(yīng) 當(dāng) X 射線或 射線被碳、石蠟等輕原子物質(zhì)散射后，其波長會(huì)變長，這一現(xiàn)象稱為康普頓效應(yīng)。 用 表示入射射線方向與散射射線方向的夾角，則波長變化量 與角 的關(guān)系為 (1 cos )k 式中 k=0.0241 ，是一個(gè)通過實(shí)驗(yàn)測出的常數(shù)，等于散射角為 90時(shí)的波長變化。 （ 4） 光壓 從光子具有動(dòng)量這一假設(shè)出發(fā)還可直接說明光壓的作用。光壓指光子流產(chǎn)生的壓強(qiáng)，計(jì)算公式為 (1 )P c 式中 為入射光強(qiáng)， 為壁的反射系數(shù)。 3. 不確定關(guān)系 （ 1） 波粒二象性與物質(zhì)波 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 16 頁 理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所有實(shí)物粒子都同時(shí)具有波動(dòng)性和粒子性，也就是物質(zhì)的波粒二象性。描述粒子特征的物理量（能量 E 和動(dòng)量 p）與描述波動(dòng)特征的物理量（頻率 與波長 ）的關(guān)系為 Eh ， hp 由此所有實(shí)物粒子都可看作物質(zhì)波，其波長為 hp ，稱為 德布羅意波長 。 （ 2） 不確定關(guān)系 海森伯從量子理論推得，測量一個(gè)微粒的 位置 時(shí)，如果 不確定范圍是 x，那么同時(shí)測量其 動(dòng)量 也有一個(gè) 不確定范圍 p，它們之間的關(guān)系為 p x h ，式中 h 為普朗克常數(shù)。 能量與時(shí)間之間也存在不確定關(guān)系。一個(gè)體系（如原子體系）處于某一狀態(tài)，如果時(shí)間有一段 t 不確定，那么它的能量也有一個(gè)范圍 E 不確定，兩個(gè)不確定范圍的關(guān)系為 E t h 三、 原子和原子核 1. 原子結(jié)構(gòu) （ 1） 原子的核式結(jié)構(gòu) 1911 年盧瑟福提出了原子的 核式結(jié)構(gòu) 模型：原子中的正電荷與幾乎全部質(zhì)量都集中在原子中心的一個(gè)很小的核里，這帶正電的原子核對每個(gè)電子施以庫倫吸引力，使分布在核外的電子繞核旋轉(zhuǎn)。由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)出 原子核的大小約為 10-15m， 原子的大小約為 10-10m。 （ 2） 氫原子光譜規(guī)律 1889 年里德伯發(fā)現(xiàn)氫原子光譜的所有波長有一個(gè)普遍的經(jīng)驗(yàn)公式，為 1 2 1 1 122121 1 1( ) 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 ,R n n n n nnn 式中， R=1.096776107m-1，稱為里德伯常數(shù)。上式稱為里德伯方程。對每一個(gè) n1，里德伯方程構(gòu)成一個(gè)譜線系： n1=1 n2=2,3,4賴曼系（紫外區(qū)） n1=2 n2=3,4,5巴耳末系（可見光區(qū)） n1=3 n2=4,5,6帕邢系（紅外區(qū)） n1=4 n2=5,6,7布喇開系（遠(yuǎn)紅外區(qū)） n1=5 n2=6,7,8普豐特系（遠(yuǎn)紅外區(qū)） （ 3） 波爾模型理論 i. 定態(tài)假設(shè) 原子中的電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)，并不向外輻射能量，其軌道半徑只能取一系列 不連續(xù) 值，對應(yīng)的原子處于穩(wěn)定的能量狀態(tài)。 ii. 躍遷假設(shè) 電子從一個(gè)定態(tài)軌道（設(shè)對應(yīng)的原子定態(tài)能量為 En2）躍遷到另一定態(tài)軌道（設(shè)定態(tài)能量為 En1）上時(shí)，會(huì)輻射或吸收一定頻率的光子，能量由這兩種定態(tài)的能量差決定，即 12nnh E E iii. 角動(dòng)量量子化假設(shè) 電子繞核運(yùn)動(dòng)，其 軌道半徑不是任意 的，只有電子的軌道角動(dòng)量滿足下列條件的軌道才是允許的。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 17 頁 1, 2 , 3 ,2hm v r n n 式中正整數(shù) n 稱為量子數(shù)。 波爾模型只適用于氫原子或類氫原子。 2. 原子核 （ 1） 原子核的電荷、質(zhì)量和大小 原子核帶 正電 ，其電量 Q 等于基本電荷 e 的 整數(shù) 倍，即 Q=Ze。正整數(shù) Z 稱為原子核的電荷數(shù)，也成為該元素的原子序數(shù)。原子核的質(zhì)量幾乎是原子質(zhì)量單位的整數(shù)倍，即 M 核 =Au。A 為原子核的質(zhì)量數(shù)，一個(gè)原子質(zhì)量單位定義為 1u=1.66056610-27kg。 原子核 接近球形 ，其半徑為 130R RA 。實(shí)驗(yàn)測得 R0=1.210-15m。 所有原子核的質(zhì)量密度幾乎相同，約為 21017kg/m3。 （ 2） 原子核衰變 i. 天然放射現(xiàn)象 天然放射現(xiàn)象指放射性元素自發(fā)的放出射線的現(xiàn)象。 1896 年貝克勒爾第一次在實(shí)驗(yàn)室中觀察到這種現(xiàn)象。 天然放射現(xiàn)象有三種射線： 射線 、 射線 和 射線 。 射線是氦核（ 42He ）組成的粒子流， 射線是高速電子流， 射線是波長很短的電磁波。 ii. 放射性衰變規(guī)律 設(shè) t=0 時(shí)原子核的數(shù)目為 N0，則 t 時(shí)刻尚未發(fā)生衰變的原子核數(shù)為 0 tN N e 。式中 稱為 衰變常數(shù) ，是反映衰變快慢的物理量。 放射性原子核衰變掉原有核的一半所需的時(shí)間稱為 半衰期 T，因此 ln 2 0.693T 。T 與 是放射性原子核的 特征常數(shù) ，與原子所處的物理或化學(xué)狀態(tài)無關(guān)。 （ 3） 原子核的組成 原子核由質(zhì)子和中子組成，質(zhì)子和和中子統(tǒng)稱為核子。原子核的質(zhì)量數(shù) A 等于其核子數(shù)（質(zhì)子數(shù) Z+中子數(shù) N），質(zhì)子數(shù) Z 即為原子序數(shù)。 質(zhì)子數(shù) Z 相同，中子數(shù) N 不同的原子稱為 同位素 ；質(zhì)量數(shù) A 相同質(zhì)子數(shù) Z 不同的原子稱為 同量異位素 。 （ 4） 核反應(yīng) 核反應(yīng)是原子核受一個(gè)粒子撞擊而放出一個(gè)或幾個(gè)粒子的過程。核反應(yīng)過程遵守 電荷守恒 、 核子數(shù)守恒 、 動(dòng)量守恒 及 總質(zhì)量和聯(lián)系的總能量守恒 。利用這些規(guī)律可列寫核反應(yīng)方程。 核反應(yīng)能 Q 定義為 反應(yīng)后粒子的動(dòng)能 超出 反應(yīng)前粒子動(dòng)能 的差值。根據(jù) 總質(zhì)量和聯(lián)系的總能量守恒 ，由 反應(yīng)前后核和粒子的靜質(zhì)量 可得出反應(yīng)能 Q 的計(jì)算公式。根據(jù) 動(dòng)量守恒 ，也可由 入射粒子和出射粒子的動(dòng)能及 這兩種粒子運(yùn)動(dòng)方向角的夾角 得出反應(yīng)能 Q。 21 2 1 2 ( ) ( ) Q M M M M c （ 5） 質(zhì)能方程 i. 質(zhì)能方程 愛因斯坦由相對論得出質(zhì)能方程為 2E mc 。 ii. 質(zhì)量虧損 在原子核的質(zhì)量小于核內(nèi)核子質(zhì)量之和，原子核的質(zhì)量 M 與組成它的核子的質(zhì)量總和的差值稱為 質(zhì)量虧損 。 ( ) ( )p n k H n am Z m N m M Z M N m M 式中， mp 為質(zhì)子質(zhì)量， mn 為中子質(zhì)量， Mk為核質(zhì)量， MH為氫原子質(zhì)量， Ma 為原子質(zhì)清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 18 頁 量。 自由核子在結(jié)合成原子核時(shí)能量減少了 2E m c ，即有能量釋放出來，這能量即為該核的 結(jié)合能 。如果要將核子分解成自由核子，必須提供與結(jié)合能相同數(shù)值的能量?？梢?，核子間有引力相互作用，稱為 核力 ，核力只在 很短的距離內(nèi)發(fā)生作用 。 原子核中平均 每個(gè)核子 的結(jié)合能稱為 平均結(jié)合能 ，用 表示， EA 。 四、 狹義相對論 狹義相對論基于兩個(gè)基本假設(shè)： i. 相對性原理 ：物理定律在一切慣性系中都是相同的，因此在一慣性系中所做的任何物理實(shí)驗(yàn)都不能確定這個(gè)慣性系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 ii. 光速不變原理 ：在任一慣性系中測得的光在真空中的速度都是 c，與光源的運(yùn)動(dòng)無關(guān)。 1. 時(shí)間膨脹與長度收縮 假定列車（ K系）以勻速 V 相對地面行駛，車廂高度為 b。車廂底部有一光源，正對面頂部放一反光鏡，光在車廂內(nèi)一個(gè)往返車廂內(nèi)觀測者測得時(shí)間 2bt c 。 路基（ K 系）的觀測者看到光是鋸齒路徑，所用時(shí)間 2222 ()2l V ttbcc 。兩式消去 b 得 22211ttttVc 式中， =V/c，211 。 上式說明在一個(gè)慣性系中，運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘比靜止的時(shí)鐘走得慢，這就是 時(shí)間膨脹效應(yīng) 。t是在相對時(shí)鐘靜止的參考系中測得的時(shí)間，稱為 固有時(shí)間 。 類似的，在兩個(gè)慣性系中用激光測量長度時(shí)， K系中長度 L與 K 系中長度 L 的關(guān)系為 2 2211VLL L Lc 上式說明在相對于物體靜止的慣性系中測得的物體長度最長，在相對物體運(yùn)動(dòng)的慣性系中測得的長度沿運(yùn)動(dòng)方向會(huì)縮短，這就是 長度收縮效應(yīng) 。 L是在與物體相對靜止的 K系中測得的長度，又稱為 固有長度 。 2. 洛倫茲變換 設(shè)兩坐標(biāo)原點(diǎn) O、 O在 t=t=0 時(shí)重合， K系以勻速 V 沿重合的 x 和 x軸正方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)在 x 軸上 A 點(diǎn)發(fā)生一事件，對 K 系 x Vt x ，解得 221x Vtx Vc K 系和 K系的運(yùn)動(dòng)是相對的，因此有 221x Vtx Vc 消去 x可解得 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 19 頁 2221t Vx ct Vc 消去 x 可解得 2221t Vx ct Vc 由于速度沿 x 方向，因而有 ,y y z z ,y y z z 以上公式稱為 洛倫茲變換和逆變換公式 。從洛倫茲變換出發(fā)可得到 速度變換公式 21 xx xvVv Vv c 22211yy xv V cv Vv c 22211zzxv V cv Vv c 3. 同時(shí)的相對性 設(shè) K 系觀察到的 A、 B 兩事件分別在 a、 b 兩點(diǎn)處同時(shí)發(fā)生 tA=tB， a、 b 相距 x=xb-xa，那 K系觀察到 A、 B 兩事件發(fā)生的時(shí)間間隔為 2 2 2( ) ( ) ( ) 0B A B b A a a bV V Vt t t t x t x x xc c c 上式說明在一慣性系 同時(shí)但不同地 發(fā)生的兩件事，在另一慣性系觀察 不同時(shí) 發(fā)生。但有因果關(guān)系的兩事件的先后次序不會(huì)顛倒 ，這是因?yàn)楠M義相對論理論要求所有運(yùn)動(dòng)速度、信號傳播速度及作用傳遞的速度都不能超過光速 c。 4. 相對論力學(xué) 相對論中， 質(zhì)量隨物體運(yùn)動(dòng)速度的變化規(guī)律 為 220 1m m V c， m0 是物體靜止時(shí)的質(zhì)量。 于是， 相對論中動(dòng)量 的形式為 220 1P m V m V V c 這樣得到的動(dòng)量守恒定律是滿足洛倫茲變換的。 相對論中運(yùn)動(dòng)物體的總能量 的形式為 2 2 2 20 1E m c m c V c 物體靜止時(shí)的能量稱為物體的 靜能 ，有 E0=m0c2。 物體的 動(dòng)能為總能與靜能之差 ，有 EK=mc2-m0c2。 相對論中 能量和動(dòng)量之間一個(gè)重要的關(guān)系式 為 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 20 頁 2 2 2 20E E P c 對應(yīng)相對論中的質(zhì)量和動(dòng)量， 相對論動(dòng)力學(xué) 的基本方程是 ()mVF t 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 21 頁 例題選講 例 1.如圖 1-2-6 所示， AB 表示一平直的平面鏡， P1P2 是水平放置的米尺（有刻度的一面朝著平面鏡）， MN 是屏，三者相互平行，屏 MN 上的 ab 表示一條豎直的縫（即 ab 之間是透光的）。某人眼睛緊貼米尺上的小孔 S（其位置如圖所示），可通過平面鏡看到米尺的一部分刻度。試在本題圖上用三角板作圖求出可看到的部位，并在 P1P2 上把這部分涂以標(biāo)志。 解： 方法一： 相對于平面鏡 AB 作出人眼 S 的像 S。連接 Sa 并延長交平面鏡于點(diǎn) C，連接 S點(diǎn) C 并延長交米尺 P1P2 于點(diǎn) E，點(diǎn) E 就是人眼看到的米尺刻度的最左端；連接 Sb 長交米尺 P1P2于點(diǎn) F，且 Sb 與平面鏡交于 D，連接 S 與點(diǎn) D，則點(diǎn) F 就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E與 F之間的米尺刻度就是人眼可看到部分，如圖 1-2-7 所示。 方法二 ： 根據(jù)平面鏡成像的對稱性，作米尺 P1P2 及屏 MN 的像，分別是 P1P2及 MN， a、 b 的像分別為 a、 b，如圖1-2-8 所示。連接 Sa 交 AB 于點(diǎn) C，延長并交 P1P2 于點(diǎn) E，過點(diǎn) E作 P1P2（ AB） 的垂線，交于點(diǎn) E，此點(diǎn)就是人眼看到的米尺刻度的最左端；連接 Sb交 AB 于點(diǎn) D，延長并交 P1P2于點(diǎn) F，過點(diǎn) F作 P1P2（ AB）的垂線 P1P2 交于點(diǎn) F，點(diǎn) F 就是人眼看到的米尺刻度的最右端。 EF 部分就是人眼通過平面鏡可看見的米尺部分。 簡析 ： 本題考查平面鏡成像規(guī)律及成像作圖。人眼通過小孔看見的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必須經(jīng)過平面鏡反射后，反射光線進(jìn)入人的眼睛，人才會(huì)看到米尺刻度的像?？梢酝ㄟ^兩種方法來解這個(gè)問題。平面鏡成像的特點(diǎn)是物與像具有對稱性。在涉及到平面鏡的問題中，利用這一特點(diǎn)常能使問題得以簡潔明晰的解決。 例 2 給定一厚度為 d 的平行平板，其折射率按下式變化 0()1nnx xr 一束光在 O 點(diǎn)由空氣垂直入射平板，并在 A 點(diǎn)以角 出射（圖1-3-14）。求 A 點(diǎn)的折射率 nA，并確定 A 點(diǎn)的位置及平板厚度。（設(shè)0 1.2n ， 13cmr ， 30）。 解 ： 首先考慮光的路線（圖 1-3-15）。對于經(jīng)過一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以應(yīng)用斯涅耳定律 A BC DE FM N2PSS1Pa b圖 1-2-7 A BC DE FM N2PS1Pa bM N2P1Pa b圖 1-2-8 AOKr d 圖 1-3-14 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 22 頁 1221sinsin nn ， 3232sinsin nn ， 1 1 2 2 3 3s i n s i n s i nn n n 這個(gè)公式對任意薄層都是成立的。在我們的情形里，折射率只沿 x 軸變化，即 sinxxnC 在本題中，垂直光束從折射率為 n0 的點(diǎn)入射，即 0xnn ， 90x 為常數(shù)，于是在平板內(nèi)任一點(diǎn)有 0sinxxnn nx與 x 的關(guān)系已知，因此沿平板中的光束為 0s in 1xxn x r xn r r 圖（ 1-3-16）表明光束的路徑是一個(gè)半徑為 XC=r 的圓，從而有 sin xOC xXC 現(xiàn)在我們已知道光的路徑，就有可能找到問題的解 。按折射定律，當(dāng)光在 A 點(diǎn)射出時(shí)，有 AAAn c o ss in)90s in ( s in 因?yàn)?0sinABnn ，故有 AA nn0sin 1n 2n 3n 4n12 3圖 1-3-15 CO xx2圖 1-3-16 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 23 頁 201c o s AA nn 于是 20 )1(sinAAnnn 因此 220 sinAnn 在本題情形 1.3An 根據(jù) 1.21.31 13An x得出 A 點(diǎn)的 x 坐標(biāo)為 x=1cm。 光線的軌跡方程為 222 )1( rxy 代入 x=1cm，得到平板厚度為 y=d=5cm 例 3.玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線照射下會(huì)發(fā)出綠色熒光的液體，即液體中的每一點(diǎn)都可以成為綠色光源。已知玻璃對綠光的折射率為 n1，液體對綠光的折射率為 n2。當(dāng)容器壁的內(nèi)、外半徑之比 r： R 為多少時(shí)，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零？ 解 ： （ 1）當(dāng) 12nn 時(shí)，因?yàn)槭且?r： R 的最小值，所以當(dāng) 12nn 時(shí)，應(yīng)考慮的是圖 1-3-23中 ABCD 這樣一種臨界情況，其中 BC 光線與容器內(nèi)壁相切， CD 光線和容器外壁相切，即兩次都是臨界折射，此時(shí)應(yīng)該有 12 190sinsin ni 設(shè)此時(shí)容器內(nèi)壁半徑為 r0，在直角三角形 BCO 中， 20sini r R 。當(dāng) 0rr 時(shí)， C 處不O1i2iBACD1n2n圖 1-3-23 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 24 頁 可能發(fā)生臨界折射，即不可能看到壁厚為零；當(dāng) 0rr 時(shí)，熒光液體中很多點(diǎn)發(fā)出的光都能在 C 處發(fā)生臨界折射，所以只要滿足 1/1/ nRr 即可看到壁厚為零。 （ 2）當(dāng) 12nn 時(shí) 此時(shí)熒光液體發(fā)出的光線將直接穿過容器內(nèi)壁，只要在 CD 及其延長線上有發(fā)光體，即可看到壁厚為零，因此此時(shí)應(yīng)滿足條件仍然是 11r R n 。 （ 3）當(dāng) 12nn 時(shí) 因?yàn)?12nn ，所以熒光液體發(fā)出的光在容器內(nèi)壁上不可能發(fā)生折射角為 90的臨界折射，因此當(dāng) 0rr 時(shí)，所看到的壁厚不可能為零了。當(dāng)0rr時(shí)，應(yīng)考慮的是圖 1-3-24 中 ABCD這樣一種臨界情況，其中 AB 光線的入射角為 90， BC 光線的折射角為 1r ，此時(shí)應(yīng)該有 211sin90sin nnr 在直角三角形 OBE 中有 OBOEr /sin 1 因?yàn)閳D 1-3-23 和圖 1-3-24 中的 2i 角是相同的，所以 0OE r ，即 210/90sin nnrr 將0 1Rr n代入，可得當(dāng) 2/1/ nRr ABCDO2i0r 1rE圖 1-3-24 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 25 頁 時(shí)，可看到容器壁厚度為零。 上面的討論，圖 1-3-23 和圖 1-3-24 中 B 點(diǎn)和 C 點(diǎn)的位置都是任意的，故所得條件對眼的所有位置均能成立（本段說明不可少）。 簡析 ： 所謂 “ 從容器側(cè)面能看到容器壁厚為零 ” ，是指眼在容器截面位置看到綠光從 C點(diǎn)處沿容器外壁的切線方向射出，即本題所描述為折射角為 90的臨界折射。因?yàn)轭}中未給出 n1、 n2 小關(guān)系，故需要分別討論。 例 4 如圖 1-5-16。 AB 為一線狀物體，A1B1 為此物經(jīng)透鏡所成的像。試用作圖法確定此鏡的位置和焦距，寫出作圖步驟。 解 ： 作 AA1和 BB1 的連線，兩條連線的交點(diǎn) O 就是凸透鏡光心的位置。作 AB 和A1B1 的延長線交于 C 點(diǎn)， C 點(diǎn)必定落在透鏡上。由 C、 O 兩點(diǎn)可畫出透鏡的位置，過 O點(diǎn)且與 CO 垂直的連線 MN 就是透鏡的主光軸，如圖 1-5-17 所示。過 A 點(diǎn)作平行于主光軸的直線交透鏡于 D 點(diǎn)，連接 DA1，該連線與主光軸的交點(diǎn) F 就是透鏡的右焦點(diǎn)位置。過 A1 作平行于主光軸的直線交透鏡于 E 點(diǎn)，連線 EA 與主光軸的交點(diǎn) F就是透鏡左焦點(diǎn)的位置所在。 簡析： 熟練掌握凸透鏡、凹透鏡的成像特點(diǎn)和規(guī)律，并能靈活運(yùn)用特殊光線來作圖是解決這一類作圖題的關(guān)鍵。像 A1B1 是倒像，所以透鏡應(yīng)是凸透鏡。物 AB 和像 A1B1不平行，所以物相對于透鏡的主軸是斜放的，沿物體 AB 和其像 A1B1 所引出的延長線的交點(diǎn)必在過光心且垂直于主軸的平面上，這條特殊光線是解答本題的關(guān)鍵光線。 例 5 焦距均為 f 的二凸透鏡1L、2L與兩個(gè)圓形平面反射鏡1M、2M放置如圖 1-5-22。二透鏡共軸，透鏡的主軸與二平面鏡垂AB 1A1B圖 1-5-16 CDEFOMNFAB 1A1B圖 1-5-16 AO1F1L1M 2M2L1F 2F 2F2ff f f f f f2f圖 1-5-22 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 26 頁 直，并通過二平面鏡的中心，四鏡的直徑相同，在主軸上有一點(diǎn)光源 O。 1、畫出由光源向右的一條光線 OA（如圖 1-5-22 所示）在此光學(xué)系統(tǒng)中的光路。 2、分別說出由光源向右發(fā)出的光線和向左發(fā)出的光線各在哪些位置（ O 點(diǎn)除外）形成光源O 的能看到的像，哪些是實(shí)像？哪些是虛像。 3、現(xiàn)在用不透明板把1L和2L的下半部（包括透鏡中心）都遮住，說出這些像有什么變化。 解 ： 1、光線 OA 的第一次往返光路如圖 1-5-23 所示。當(dāng)光線由圖中左方返回經(jīng) O 點(diǎn)后，將繼續(xù)向右下方進(jìn)行，作第二次往返。第二次往返的光路在圖中未畫出，可按圖中光路對稱于主軸畫出。以后，光線重復(fù)以上兩種往返光路。 2、向右發(fā)出的光線：2F處成實(shí)像，右方無限遠(yuǎn)處成虛像；1F處成實(shí)像； P 處（1M左方2f處主軸上）成虛像。 向左發(fā)出的光線：1F處成實(shí)像；左方無限遠(yuǎn)處成虛像；2F處成實(shí)像； Q 處（2M右方2f處主軸上）成虛像。 3、向右發(fā)出的光線只在2F處成實(shí)像。向左發(fā)出的光線只在1F處成實(shí)像。兩像均比未遮住時(shí)暗。 例 6 在斯涅耳的檔案中有一張光學(xué)圖（見 1-5-20），由于墨水褪色只留下三個(gè)點(diǎn)；一個(gè)薄透鏡的焦點(diǎn) F，光源 S 和透鏡上的一點(diǎn) L。此外還留下一部分從光源 S 畫到其像 S 的直線 a。從正文中知道 S 點(diǎn)比 S 點(diǎn)更靠近透鏡， 有可能恢復(fù)這張圖嗎？如果可能，把它畫出來，并確定圖中透鏡的焦距。 AO1F1L1M 2M2L1F 2F 2F2f 2f圖 1-5-23 P Q aSFL圖 1-5-20 SF2F2F Ca 2n2O1O1nL圖 1-5-21 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 27 頁 解 ： 1、令 O 為透鏡的光學(xué)中心； 2、 F 和 O 點(diǎn)應(yīng)位于垂直于透鏡的光軸上，因此 FOL 是直角； 3、連接光源及其像的直線總是通過透鏡的光學(xué)中心； 4、連接 F， L 點(diǎn)并以線段 FL 的中點(diǎn) C 為圓心，畫一通過 F 及 L 點(diǎn)的圓； 5、由于一個(gè)圓的直徑所對著的圓周角總是直角，可以判定 O 點(diǎn)位于圓和直線 a 的交點(diǎn)上； 6、從圓中找到 O 點(diǎn)的兩個(gè)可能的位置（1O和2O）； 7、恢復(fù)出兩種可能的示意圖，如圖 1-5-21 所示； 8、由于光源 S 比其像 S 更靠近透鏡，可以斷定只有透鏡1n符合題意。實(shí)際上，對透鏡1n可以看到 S 到1n的距離大于二倍焦距，因此 S 到1n的距離小于二倍焦距。 遮住時(shí)暗。 例 7 一平凸透鏡焦距為 f，其平面上鍍了銀 ,現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它 2f 處，垂直于主軸放置一高為 H 的物，其下端在透鏡的主軸上（圖 1-5-24）。 （ 1）用作圖法畫出物經(jīng)鍍銀透鏡所成的像，并標(biāo)明該像是虛、是實(shí)。 （ 2）用計(jì)算法求出此像的位置和大小。 解 ： （ 1）用作圖法求得物 AP 的像 PA 及所用各條光線的光路如圖 1-5-25 所示。 說明： 平凸透鏡平面上鍍銀后構(gòu)成一個(gè)由會(huì)聚透鏡 L 和與它密接的平面鏡 M 組合 LM，如圖1-5-25 所示。圖中 O 為 L 的光心，F(xiàn)AO 為主軸， F 和 F 為 L 的兩H 2f F F/ 圖 1-5-24 H P A F S T A/ P/ L M Q O S/ F/ 圖 1-5-25 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 28 頁 個(gè)焦點(diǎn)， AP 為物。作圖時(shí)利用了下列三條特征光線： 由 P 射向 O 的入射光線，它通過 O 后方向不變，沿原方向射向平面鏡 M，然后被M 反射，反射光線與主光軸的夾角等于入射角，均為 。反射線射入透鏡時(shí)通過光心 O，故由透鏡射出時(shí)方向與上述反射線相同，即圖中的 PO 。 由 P 發(fā)出且通過 L 左方焦點(diǎn) F 的入射光線 PFR，它經(jīng)過 L 折射后的出射線與主軸平行，垂直射向平面鏡 M，然后被 M 反射，反射光線平行于 L 的主軸，并向左射入 L，經(jīng) L折射后的出射線通過焦點(diǎn) F，即為圖個(gè)中 RFP。 由 P發(fā)出的平行于主軸的入射光線 PQ，它經(jīng)過 L折射后的出射線將射向 L的焦點(diǎn) F ，即沿圖中的 FQ 方向射向平面鏡，然后被 M 反射，反射線指向與 F 對稱的 F 點(diǎn)，即沿 QF方向。此反射線經(jīng) L折射后的出射線可用下法畫出：通過 O作平行于 QF輔助線 OSS ， OSS通過光心，其方向保持不變，與焦面相交于 T 點(diǎn)。由于入射平行光線經(jīng)透鏡后相交于焦面上的同一點(diǎn)，故 QF 經(jīng) L 折射后的出射線也通過 T 點(diǎn)，圖中的 QT 即為 QF 經(jīng) L 折射后的出射光線。 上列三條出射光線的交點(diǎn) P 即為 LM 組合所成的 P 點(diǎn)的像，對應(yīng)的 A 即 A 的像點(diǎn)。由圖可判明，像 PA 是倒立實(shí)像，只要采取此三條光線中任意兩條即可得 PA ，即為正確的答案。 （ 2）按陸續(xù)成像計(jì)算物 AP 經(jīng) LM 組合所成像的位置、大小。 物 AP 經(jīng)透鏡 L 成的像為第一像，取 fu 21，由成像公式可得像距 f21，即像在平面鏡后距離 2f 處，像的大小 H 與原物相同， HH 。 第一像作為物經(jīng)反射鏡 M 成的像為第二像。第一像在反射鏡 M 后 2f 處，對 M 來說是虛物，成實(shí)像于 M 前 2f 處。像的大小 H 也與原物相同， HHH 。 第二像作為物，再經(jīng)透鏡 L 而成的像為第三像。這是因?yàn)楣饩€由 L 右方入射。且物（第二像）位于 L 左方，故為虛物，取物距 fu 23 ，由透鏡公式fu 111 33 可得像距 0333 fu fu 上述結(jié)果表明，第三像，即本題所求的像的位置在透鏡左方距離 f32處，像的大小 H清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 29 頁 可由3133 uHH 求得，即 HHH 3131 像高為物高的 31。 簡析： 這道題實(shí)質(zhì)是一個(gè)凸透鏡與一緊密接合的平面鏡的組合成像問題。雖然我們畫不出光線經(jīng)透鏡折射后射向平面鏡的光路，但光路仍然遵守凸透鏡與平面鏡成像規(guī)律，這是我們在具體分析光路時(shí)必須牢牢抓住的一點(diǎn)。成像的計(jì)算也是遵守凸透鏡與平面鏡的成像計(jì)算方法的。 例 8.如圖 1-5-26 所示，凸透鏡焦距 f=15cm， OC=25cm，以 C 為圓心、 r=5cm 為半徑的發(fā)光圓環(huán)與主軸共面。試求出該圓環(huán)通過透鏡折射后所成的像。 分析 : 先考慮發(fā)光圓環(huán)上任意一點(diǎn) P經(jīng)透鏡所成之像，當(dāng) P 點(diǎn)繞圓環(huán)一周時(shí)，對應(yīng)的像點(diǎn)的集合就構(gòu)成整個(gè)發(fā)光圓環(huán)通過透鏡所成的像。因此可用解析幾何的方法討論本題。 解 ： 如圖 1-5-27 所示，以 O 點(diǎn)為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)建立坐標(biāo)系 xOy 和 yOx ?？紤]發(fā)光圓環(huán)上任一點(diǎn) P（ x， y），則有 222 5)25( yx 發(fā)光點(diǎn) P（ x， y）的像為 ),( yxP ，根據(jù)透鏡成像公式及放大率關(guān)系可有 fxx 111 xxyy 聯(lián)立 、 式解得 C F O F 圖 1-5-26 C F O F x P P x y,y 圖 1-5-27 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 30 頁 1515 x xx 1515 x yy 將 、 式代入 式中并整理得 1)35(15 )45( 222 2 yx 式即為所需求的圓環(huán)之像。這是一個(gè)對稱中心位于光心 45cm 處，以主光軸為長軸的橢圓。 如果把發(fā)光圓環(huán)用一球殼取代，則根據(jù)對稱性，球殼的像是以圓環(huán)的像繞主軸旋轉(zhuǎn)一周行成的一橢圓。 簡析： 曲線形線狀物通過透鏡所成的像也是一定曲線狀，至于是什么樣的曲線，要視具體情況而定。例如本題中的發(fā)光圓環(huán)所成的像變?yōu)橐粰E圓環(huán)就是一例。本題的關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)奈锓胶拖穹阶鴺?biāo)系來球解問題。 例 9.求厚透鏡對兩個(gè)不同波長有同一焦距的條件。并且不同類型的透鏡，討論可行性。 解 ： 我們必須知道厚透鏡的性質(zhì)。厚透鏡由下述數(shù)據(jù)表征；球形表面的半徑1r和2r，厚度 d 和折射 n（圖 1-5-28），焦距 f=BF 由下式給出 2121 1111)1(1 rrnndrrnf 焦距是從主點(diǎn) B 算起的。 B 離表面的距離為 )1()( 21 2 ndrrn drhBA 上述公式對任意厚度的厚透鏡都成立，但只對近軸光線才給滿意結(jié)果，因?yàn)槭窃谝欢ǖ慕葡碌玫降摹?光被透鏡色散。透鏡對波長0的折射率是an，對波長b的折射率是bn。 按折射率 n 的冪次整理焦距公式，得 0)(2)( 2121221 fdnrrrrffdndrrf r1 r2 f d F A B 圖 1-5-28 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 31 頁 這是一個(gè)二次方程。給定一個(gè) f 值，應(yīng)有兩個(gè) n 值，因此，我們的問題可以解決。 先后以an和bn代入方程，并令其相等 2121 111)1( rrnndrrn aaa 2121 111)1( rrnndrrn bbb 整理后得到 ba nndrr 1121 如果半徑21,rr與厚度 d 滿足這一條件，則對兩個(gè)不同的波長，即對兩不同的折射率來說，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘積bann在起作用，而不是色散（ab nn）。因折射率大于 1，于是括號內(nèi)的數(shù)值小于 1，說明半徑之和小于鏡厚。這意味著透鏡將是相當(dāng)厚的。 結(jié)果討論： 首先，透鏡不可以是平凸或平凹的，因?yàn)檫@種透鏡有無限大的半徑。其次，1r和2r之一為負(fù)的發(fā)散透鏡是許可的，但不能是雙凹透鏡。如果要求的不是 f 而是（ f-h）對兩個(gè)折射率有相同的值。實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)也是可能的，但卻是一個(gè)復(fù)雜得多的問題。 例 10.以單色光照射到相距為 0.2mm 的雙縫上，縫距為 1m。 （ 1）從第一級明紋到同側(cè)第四級的明紋為 7.5mm 時(shí)，求入射光波長； （ 2）若入射光波長為 6000 ，求相鄰明紋間距離。 解： （ 1）明紋坐標(biāo)為 dDkx ， 由題意有： AmxxDddDdDdDxx5 0 0 0105105.713102.0)(3347331414。 （ 2）當(dāng) A6000 時(shí)，相鄰明紋間距為 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 32 頁 mmmdDx 3103102.0 106 0 0 01 33 10 例 11.白光垂直射到空氣中一厚度為 A3800 的肥皂水膜上。試問： （ 1） 水正面呈何顏色？ （ 2）背面呈何顏色？（肥皂水的折射率為 1.33） 解： 依題意，對正面 22 ne （ 0i ，光有半波損失） （ 1）因反射加強(qiáng)， 有 ),2,1(22 kkne 211 0 1 0 821 3 8 0 033.12212 kkk ne=)4(2888)3(4043)2(6739)1(20216kAkAkAkA 因?yàn)榭梢姽夥秶鸀?A76004000 ，所以，反射光中 A67392 和 A40433 的光得到加強(qiáng)，前者為紅光，后者為紫光，即膜正面呈紅色和紫色。 （ 2）因?yàn)橥干渥顝?qiáng)時(shí)，反射最弱，所以有 knekkne 2),2,1(2)12(22 （此式即為透射光加強(qiáng)條件） 有： )3(3369)2(5054)1(1 0 1 0 81 0 1 0 82kAkAkAkkne 可知，透射光中 A50542 的光得到加強(qiáng)，此光為綠光，即膜背面呈綠色。 例 12.借助于玻璃表面上涂 2MgF 透明膜可減少玻璃表面的反射。已知， 2MgF 的折射率為 1.38 ，玻璃折射率為 1.60。若波長為 A5000 的光從空氣中垂直入射到 2MgF 膜上，為了實(shí)現(xiàn)反射最小，求： ?mine 解： 依題意知 ne2 （膜上下表面均有半波損失） 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 33 頁 反射最小時(shí)： ),2,1,0(2)12(21 kken Ankenke90638.14 5000404)12(m i n 例 13.在空氣牛頓環(huán)中，用波長為 A6328 的單色光垂直入射，測得第 k 個(gè)暗環(huán)半徑為 5.63mm，第 k+5 個(gè)暗環(huán)半徑為 7.96mm。求曲率半徑 R。 解： 空氣牛頓環(huán)第 k 個(gè)暗環(huán)半徑為 kRrk 第 k+5 個(gè)暗環(huán)半徑為 Rkrk )5(5 mrrR kk 10106 3 2 85 10)63.596.7(5 10 62222 5 例 13.菲涅耳雙面鏡。如圖 2-1-12 所示，平面鏡 1M和2M之間的夾角 很小，兩鏡面的交線 O 與紙面垂直，S 為光闌上的細(xì)縫（也垂直于圖面），用強(qiáng)烈的單色光源來照明，使 S 成為線狀的單色光源， S 與 O 相距為 r。 A為一擋光板，防止光源所發(fā)的光沒有經(jīng)過反射而直接照射光屏 P (1)若圖中 1SOM，為在 P 上觀察干涉條紋，光屏 P 與平面鏡2M的夾角最好為多少？ (2)設(shè) P 與2M的夾角取 (1)中所得的最佳值時(shí)，光屏 P 與 O 相距為 L，此時(shí)在 P 上觀察到間距均勻的干涉條紋，求條紋間距 x。 (3)如果以激光器作為光源， (2)的結(jié)果又如何？ 解： (1)如圖 2-1-13， S 通過1M、2M兩平面鏡分別成像1S和2S，在光屏 P 上看來，1S和2S則相當(dāng)于兩個(gè)相干光源，故在光屏 P 上會(huì)出現(xiàn)干涉現(xiàn)象。為在 P 上觀察干涉條紋，光屏 P 的最好取向是使1S和2S與它等距離，即 P 與1S 2S的連線平行。 圖 2-1-13 圖中1S和 S 關(guān)于平面鏡1M對稱，2S和 S 關(guān)于平面鏡2M對稱，所以，A S P O M1 M2 r 圖 2-1-12 L 0r M2 M1 O d S1 S2 S P 2 r A 圖 2-1-13 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 34 頁 O1S 2S為頂角為 2腰長為 r 的等腰三角形，故光屏 P 的最佳取向是 P 的法線（通過O 點(diǎn)）與平面鏡2M的夾角等于 ，或光屏 P 與平面鏡2M的夾角為 90 。 (2)由圖可看出，1S和2S之間的距離為 sin2rd ，1S和2S到光屏 P 的距離為 LrLrr c o s0 ，由此，屏上的干涉條紋間距為 sin2 )(r lrx (3)如果以徼光器作為光源，由于激光近于平行，即相當(dāng) S 位于無窮遠(yuǎn)處。上式簡化為 sin2x 若用兩相干光束的夾角 2a 表示，上式可寫成 )2sin(2 ax 例 14.如圖 2-1-14 所示的洛埃鏡鏡長 l=7.5cm，點(diǎn)光源 S 到鏡面的距離 d=0.15mm，到鏡面左端的距離 b=4.5cm，光屏 M 垂直于平面鏡且與點(diǎn)光源 S 相距 L=1.2m。如果光源發(fā)出長 m7106 的單色光，求： (1)在光屏上什么范圍內(nèi)有干涉的條紋？ (2)相鄰的明條紋之間距離多大？ (3)在該范圍內(nèi)第一條暗條紋位于何處？ 解： (1)如圖 2-1-14 所示， S 點(diǎn)光源發(fā)出的光一部分直接射到光屏上，另一部分經(jīng)平面鏡反射后再射到光屏，這部分的光線好像從像點(diǎn) S 發(fā)出，因?yàn)榈竭_(dá)光屏這兩部分都是由 S 點(diǎn)光源發(fā)出的，所以是相干光源。這兩部分光束在光屏中的相交范圍 AB 就是干涉條紋的范圍由圖中的幾何關(guān)系可以得到： ADLdb BDLd lb 由 、 兩式解得 )(4 cmbLdAD )(5.1 cmlbLdBD 由圖中可知 )(85.3 cmdADAC A B C D S d S b l M 圖 2-1-14 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 35 頁 )(35.1 cmdBDBC 由 、 兩式可知在距離光屏與平面鏡延長線交點(diǎn) C 相距 1.35 3.85cm 之間出現(xiàn)干涉條紋。 (2)相鄰干涉條紋的距離為 )(024.0)(104.22 4 cmmdLx (3)由于從平面鏡反射的光線出現(xiàn)半波損失，暗條紋所在位置 S 和 S 的光程差應(yīng)當(dāng)滿足 2 122 kldx 即 dklx 2 又因?yàn)闂l紋必須出現(xiàn)在干涉區(qū)，從 解可知，第一條暗紋還應(yīng)當(dāng)滿足 cmBCx 35.1 由 、 式解得 6k cmx 44.1 即在距離 C 點(diǎn) 1.44cm 處出現(xiàn)第一條暗條紋。 簡析： 這是一個(gè)光的干涉問題，它利用平面鏡成點(diǎn)光源的像 S，形成有兩個(gè)相干點(diǎn)光源 S 和 S ，在光屏上出現(xiàn)干涉條紋。但需要注意光線由光疏媒質(zhì)入射到光密媒質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生半波損失現(xiàn)象 。 洛埃鏡是一個(gè)類似雙縫干涉的裝置，分析它的干涉現(xiàn)象，主要是找出點(diǎn)光源 S 和它在平面鏡中的像 S ，這兩個(gè)就是相干光源，然后就可利用楊氏雙縫干涉的結(jié)論來求解，但注意在計(jì)算光程差時(shí)，應(yīng)考慮光線從光疏媒質(zhì)入射到光密媒質(zhì)時(shí)，反射光與入射光相位差 180。 ，即發(fā)生 “半波損失 ”。 例 15.將焦距 f=20cm 的凸透鏡從正中切去寬度為 a 的小部分，如圖 2-1-19（ a），再將剩下兩半粘接在一起，構(gòu)成一個(gè) “粘合透鏡 ”，見圖 2-1-19（ b）。圖中 D=2cm,在粘合透鏡一側(cè)的中心軸線上距鏡 20cm 處，置一波長 0500A 的單色點(diǎn)光源 S，另一側(cè)，垂直于中心軸線放置屏幕，見圖 2-1-19（ c）。屏幕上出現(xiàn)干涉條紋，條紋間距 x=0.2mm，試問 1切去部分的寬度 a 是多少？ 2為獲得最多的干涉條紋，屏幕應(yīng)離透鏡多遠(yuǎn)？ 解 ： 1、首先討論粘合透鏡的上半個(gè)透鏡的成像。在圖 2-1-20 中 OO 是 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 36 頁 粘合透鏡的中心軸線，在 OO 上方用實(shí)線畫出了上半個(gè)透鏡，在 OO 下方未畫下半個(gè)透鏡，而是補(bǔ)足了未切割前整個(gè)透鏡的其余部分，用虛線表示。整個(gè)透鏡的光軸為 OO 半個(gè)透鏡產(chǎn)成像規(guī)律應(yīng)與完整的透像相同。現(xiàn)在物點(diǎn)（即光源） S 在粘合透鏡的中心軸線上，即在圖中透鏡的光軸上方2a處，離透鏡光心的水平距離正好是透鏡的焦距。根據(jù)幾何光學(xué)，光源 S 發(fā)出的光線，經(jīng)透鏡光心的水平距離正好是透鏡的焦距。根據(jù)幾何光學(xué)，光源 S 發(fā)出的光線，經(jīng)透鏡折射后成為一束平行光束，其傳播方向稍偏向下方，與光軸 OO （對 OO 也是一樣） 成角為2 fa2。當(dāng)透鏡完整時(shí)光束的寬度為：透鏡直徑 2cos透鏡直徑。對于上半個(gè)透就，光事寬度為 D21。 同理， S 所發(fā)的光，經(jīng)下半個(gè)透鏡折射后，形成稍偏向上方的平行光束，與 OO軸成2角，寬度也是2D。 于是，在透鏡右側(cè)，成為夾角為 的兩束平行光束的干涉問題（見圖 2-1-21），圖中的兩平行光束的重疊區(qū)（用陰影表示）即為干涉區(qū)。為作圖清楚起見，圖 2-1-21，特別是圖 12-1-21 中的 角，均遠(yuǎn)較實(shí)際角度為大。 圖 2-1-22 表示的是兩束平行光的干涉情況，其O P d S 圖 2-1-21 谷 A B C D E 2 谷 峰 峰 圖 2-1-22 2a O O F 2 圖 2-1-20 a 屏 D (c) (a) (b) 圖 2-1-19 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 37 頁 中 是和圖 2-1-21 中的 相對應(yīng)的。圖 2-1-22 中實(shí)線和虛線分別表示某一時(shí)刻的波峰平面和波谷平面。在垂直于中心軸線屏幕上， A、 B、 C 表示相長干涉的亮紋位置，D、 E 表示相消干涉的暗紋位置，相鄰波峰平面之間的垂直距離是波長 。故干涉條紋間距 x 滿足 )2/sin(2 x 在 很小的情況下，上式成為 x 。 所以透鏡切去的寬度 xffa / = )102.0( )105.0()2.0( 3 6m mm mmm 5.0105.0 3 2005.0 fa 果然是一個(gè)很小的角度。 2、由以上的求解過程可知，干涉條紋間距 x 與屏幕離透鏡 L 的距離無關(guān)，這正是兩束平行光干涉的特點(diǎn)。但屏幕必須位于兩束光的相干疊加區(qū)才行。圖 2-1-22 中以陰影菱形部分表示這一相干疊加區(qū)。因?yàn)橛?(1)式知條紋是等距的，顯然當(dāng)屏幕位于PQ 處可獲得最多的干涉條紋，而 PQ 平面到透鏡 L 的距離 /2Dd mm 4)2 0 0/5.0/()10( 2 例 16.一個(gè)由暗盒組成的針孔照相機(jī)，其小孔直徑為 d，暗盒中像成在小孔后距離為 D 的感光膠片上如圖 2-1-37，物體位于小孔前 L 處，所用波長為 。 （ 1）估計(jì)成像清晰時(shí)小孔半徑的大小。 （ 2）若使用中算出的小孔，試問物體上兩點(diǎn)之間的最小距離是多少時(shí)？該兩點(diǎn)的像是否可分辨？ 解： （ 1）物體上一點(diǎn)在照像底片上成的像由兩個(gè)因素決定的，一是小孔的幾何投影，一是小孔的夫瑯禾費(fèi)衍射（ Dd）。幾何投影產(chǎn)生物點(diǎn)的像的直徑是 dL DLa A d A 圖 2-1-37 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 38 頁 衍射效應(yīng)擴(kuò)大了幾何投影區(qū)，所增加的直徑大小為 Dda 22.12 總的像直徑為 d DdL DLaaa 44.2 可見當(dāng)小孔 d 小時(shí)，則第一項(xiàng)小，第二項(xiàng)大。當(dāng) d 大時(shí)，第二項(xiàng)小，第一項(xiàng)大。 當(dāng)DL DLd 44.2時(shí)， a 最小，其值是 D DLDa )(44.22 (2)由（ 1）知，對小孔直徑為 d 的針孔照像機(jī)，物上一幾何點(diǎn)在底片上所成像的大小為 L DLDa )(44.22 物上相鄰兩點(diǎn) AB 在底片上要能分辨，根據(jù)瑞利判據(jù)，其像點(diǎn)中心距離aBA 21 ，由幾何關(guān)系得 D DLLBALDAB )(44.2 即物上兩點(diǎn)間的距離要大于D DLL )(44.2 時(shí)，該兩點(diǎn)的像是能分辨的。 例 17.圖 5-1 中縱坐標(biāo)為光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中所加電壓（ U），橫坐標(biāo)為光子的頻率（ v）。若某金屬的極限頻率為0v，普朗克恒量為 h，電子電量為 e，試在圖中畫出能產(chǎn)生光電流的區(qū)域（用斜線表示）。 解： 愛因斯坦的光電方程 U v O 圖 2-2-5 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 39 頁 Whvmv 2 2 根據(jù)極限頻率0v可知 0hvW 由于光電子具有最大初動(dòng)能為22mv，則它可克服反向電壓作功為 Ue，故有圖 5-1 Uemv 22 將 、 式代入 式可得 0hvhvUe )( 0vvhUe 0Uhv v e 此即為圖 2-2-5 中 BC 斜率的絕對值。據(jù)此可作出圖 2-2-6，圖中畫有斜線區(qū)域即為能產(chǎn)生光電流的區(qū)域。 簡析 ： 在 U-v 圖第一象限中能產(chǎn)生光電流的區(qū)域，可根據(jù)極限頻率0v很容易地作出。關(guān)鍵在于如何確定第四象限中能產(chǎn)生光電流的區(qū)域，但我們可以利用愛因斯坦的光電方程找出這一區(qū)域。 例 18.一波長為 i 的光子與一運(yùn)動(dòng)的自由電子碰撞。碰撞的結(jié)果使電子變?yōu)殪o止，并且波長為0的光子在與原先方向的夾角為 060 的方向上前進(jìn)。此光子員另一靜止的自由電子碰撞，然后以波長 mj 101025.1 的光子前進(jìn)，其方向在碰撞后改變了 060 。計(jì)算第一個(gè)電子在碰撞前的德布羅意波長。（普朗克常數(shù)O U v B A C v0 圖 2-2-6 i02-2-7 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 40 頁 sJh 34106.6 ，電子質(zhì)量 kgme 31101.9 ，光速 18100.3 smc ） 解： 對第一次碰撞，能量守恒定律為 ei Ehvhv 0 式中 v 是光子的頻率，eE是電子的能量。在波長為0的光子的出射方向，以及在與它垂直方向上寫出動(dòng)量守恒定律（見圖 2-2-7）分別為 si nsi n0,c o sc o s0 eiei phphh 式ep是電子的動(dòng)量。 從上述兩方程消去 ，并把 寫成 c/v，有 2202220 c o s2)()( cpvvhhvhv eii 利用相對論關(guān)系 )2( 222 cmEEpc eeee 以及方程 和 得 1)c o s1(20 cmhvvveii 變換后得 )c o s1(0 cmhei 對第二次碰撞可作同樣的計(jì)算，得如下結(jié)果 )c o s1(0 cmhef 兩式相減，得fi 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 41 頁 兩次碰撞是類似的，利用 式得 m100 10238.1 。 分別利用 和 式，可算出電子的能量和動(dòng)量為 smkgpJhvE eie /1084.2,1056.1)11( 48170 第一個(gè)電子的波長為 mphee 101024.1 。 簡析 ： 此題需運(yùn)用能量守恒與動(dòng)量守恒求解，但必須應(yīng)用相對論作必要的變換。 例 19.設(shè)質(zhì)子的半徑為 ，求質(zhì)子的密度。如果在宇宙間有一個(gè)恒定的密度等于質(zhì)子的密度。如不從相對論考慮，假定它表面的 “ 第一宇宙速度 ” 達(dá)到光速，試計(jì)算它的半徑是多少。它表面上的 “ 重力加速度 ” 等于多少？（ 1mol 氣體的分子數(shù)是 個(gè)；光速 ）；萬有引力常數(shù) G 取為 。只取一位數(shù)做近似計(jì)算。 解 ： 的摩爾質(zhì)量為 2g/mol， 分子的質(zhì)量為 質(zhì)子的質(zhì)量近似為 質(zhì)子的密度 = = 設(shè)該星體表面的第一宇宙速度為 v，由萬引力定律，得 ， 而 由于 “ 重力 加 速度 ” 【注】萬有引力恒量一般取 6.67 例 20.與氫原子相似，可以假設(shè)氦的一價(jià)正離子（ He ）與鋰的二價(jià)正離子（ L ）核外的那一個(gè)電子也是繞核作圓周運(yùn)動(dòng)。試估算 m151023106 sm/103 8 2211 /106 kgNm2H 2H kgg 2623 106 2106 2 kg26106 2 31526 1034/106 25 3194516 /10241101064 1 mkg 22rmMGrmv rGMv 2 334 rM 23434Grr rGv 2v Gp mGvr 419118 1031024110621032 yGyyGyGMg 4/34/ 232 21219114 /103102411061034 smg G 211 /10 kgmN 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 42 頁 （ 1） He 、 L 的第一軌道半徑； （ 2）電離能量、第一激發(fā)能量； （ 3）賴曼系第一條譜線波長分別與氫原子的上述物理量之比值。 解 ： 在估算時(shí)，不考慮原子核的運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響，原子核可視為不動(dòng)，其帶電量用 +Ze 表示，可列出下面的方程組： ， ， ， n=1， 2， 3， ， 由此解得 ， ，并可得出 的表達(dá)式： ， 其中 米，為氫原子中電子的第度軌道半徑，對于 He ，Z=2，對于 Li ， Z=3 ， 其中 13.6 電子伏特為氫原子的基態(tài)能 ， 2， 3， ， ， R 是里德伯常數(shù)。 （ 1）由半徑公式 ，可得到類氫離子與氫原子的第一軌道半徑之比： ， （ 2）由能量公式 ，可得到類氫離子與氫原子的電離能和第一激發(fā)能（即電子從第一軌道激發(fā)到第二軌道所需的能量）之比： 電離能： 第一激發(fā)能： 20224 nnnyZermv nnn rZemvE022 421 2hnrmv nn 12 EnEnhv nr nE 1ZnrZme nhrn 212 220 102201 10530 mehr 2212222028 nZEnZhmeE n 22041 8 hmeE 2221222212220 4 111181 nnRZnnZchme11n，112 nn 21n 31n21 HHHHe ZZrr 31 Li HHLi ZZrr41200 221111 HHeHHe ZE ZEEE91300 221111 HLiHLi ZE ZEEE清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 43 頁 （其中： 表示電子處在第二軌道上的能量， 表示電子處在第一軌道上的能量） （ 3）由光譜公式 ，氫原子賴曼系第一條譜線的波長有： 相應(yīng)地，對類氫離子有： ， 因此 ： ， 例 21.已知基態(tài) He 的電離能為 E=54.4Ev。 （ 1）為使處于基態(tài)的 He 進(jìn)人激發(fā)態(tài)，入射光子所需的最小能量應(yīng)為多少？ （ 2） He 從上述最底激發(fā)態(tài)躍遷返回基態(tài)時(shí)，如考慮到該離子的反沖，則與不考慮反沖相比，它所發(fā)射的光子波長的百分變化有多大？（離子 He 的能級 En 與 n的關(guān)系和氫原子能級公式類中，可采用合理的近似。） 解 ： （ 1）電離能表示 He 的核外電子脫離氦核的束縛所需要的能量。而題問最小能量對應(yīng)于核外電子由基態(tài)能級躍遷到第一激發(fā)態(tài)，所以 54.4 40.8eV （ 2）如果不考慮離子的反沖，由第一激發(fā)態(tài)遷回基態(tài)發(fā)阜的光子有關(guān)系式： 現(xiàn)在考慮離子的反沖，光子的頻率將不是 而是 ， 為反沖離子的動(dòng)能，則由能量守恒得 又由動(dòng)量守恒得 式中 是反沖離子動(dòng)量的大小，而 是發(fā)射光子的動(dòng)量的大小，于是，波長的相對變化 4433112112222212212212211212 EEEEEEEEHHHeHe9434271121 13232212212212211212 EEEEEEEEHHLiLi2E 1E 22 21111 RH 222 211121 RHe 222 211131 RLi41HHe 91Hli 22m i n 2111EE 4110min hvE 0v v 221Mv2min 21 MvhvE cvhMv Mv cvh清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 44 頁 = 由于 所以 代入數(shù)據(jù) 即百分變化為 0.00000054%。 簡析： 第（ 1）問應(yīng)正確理解電離能概念。第（ 2）問中若考慮核的反沖，應(yīng)用能量守恒和動(dòng)量守恒，即可求出波長變化。 例 22.已知某放射源在 t=0 時(shí)，包含 個(gè)原子，此種原子的半衰期為 30 天 （ 1）計(jì)算 時(shí)，已發(fā)生衰變的原子數(shù)； （ 2）確定這種原子只剩下 個(gè)的時(shí)刻 。 解 ： 衰變系數(shù) 與半衰期 T 的關(guān)系為 衰變規(guī)律可表述為： 。 （ 1） 時(shí)刻未衰變的原子數(shù)為： 已發(fā)生衰變的原子數(shù)便為： （ 2） 時(shí)刻未發(fā)生衰變的原子數(shù)為： 由此可解得： =399 天 例 23.在大氣和有生命的植物中，大約每 個(gè)碳原子中有一個(gè) 原子，其半衰期為 t=5700 年，其余的均為穩(wěn)定的 原子。在考古工作中，常常通過測定古物中的含量來推算這一古物年代。如果在實(shí)驗(yàn)中測出：有一古木碳樣品，在 m 克的碳原子中，在 t（年）時(shí)間內(nèi)有 n 個(gè) 原子發(fā)生衰變。設(shè)燒成木炭的樹是在 T 年前死亡的，試列出能求出 T 的有關(guān)方程式（不要求解方程）。 解 ： m 克碳中原有的 原子數(shù)為 ，式中 為阿伏加德羅常數(shù)。 經(jīng)過 T 年，現(xiàn)存 原子數(shù)為 （ 1） hv hvhvv vvo o 00 222 222 MchvMcM v cM cMv 02 vvhhvMc 220200 22)(2 MchvMc vvhMchv 92827 19 104.51031067.142 1060.18.40 o 1210st 11810 2tTT 693.02ln tTt eNeNN 693.01ttTeNN 693.01 tTeNNNN693.01 36002430 693.012 110 e 51067.22ttTeNN 693.02 81222 1010ln6 3 9.0 30ln6 9 3.0 NNTt 1210 14C12C14C14C14C 1210112 Nmn N14C/12/21101221TT mNnn 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 45 頁 在 T 內(nèi)衰變的 原子數(shù)為 （ 2） 在（ 1）、（ 2）二式中， m、 、 、 T 和 均為已知，只有 n 和 T 為未知的，聯(lián)立二式便可求出 T。 例 24.當(dāng)質(zhì)量為 m，速度為 的微粒與靜止的氫核碰撞，被氫核捕獲（完全非彈性碰撞）后，速度變?yōu)?；當(dāng)這個(gè)質(zhì)量為 m，速度為 的微粒與靜止的碳核做對心完全彈性碰撞時(shí)，碰撞后碳核速度為 ，今測出 ，已知 ，求此微粒質(zhì)量 m 與氫核質(zhì)量 之比為多少？ 解 ： 根據(jù)題意有 ，即有 （ 1） 又 （ 2） （ 3） 由（ 2）式得 （ 4） 由（ 3）式得 （ 5） 由（ 4）、（ 5）式得 （ 6） （ 6） m（ 4）得 所以 。此微粒的質(zhì)量等于氫核的質(zhì)量。 例 25.放射性物質(zhì)的原子放射出兩個(gè)沿相反方向運(yùn)動(dòng)的電子。在實(shí)驗(yàn)室中測出每個(gè)電子的速率為 0.6c， c 是光速。今以一個(gè)電子為參照物，另一個(gè)電子的速率是多大 ？ （ 1）用伽利略變換進(jìn)行計(jì)算； （ 2）用洛侖茲變換進(jìn)行計(jì)算。并指出哪個(gè)不合理。 解 ： （ 1）設(shè)向右運(yùn)動(dòng)的電子為 系，則按伽利略變換，在 系中看另一電子的速度是 v=0.6c+0.6c=1.2c，這與光速不變的實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾，所以是不合理的。 （ 2）設(shè)實(shí)驗(yàn)室為參照系 S，一個(gè)電子參照系為 ，則 相對于 S 系的速度是0.6c，另一個(gè)電子相對于 S 系的速度為 -0.6c，按洛侖茲變換，另一個(gè)電子相對于 系14C /21121TT nnnnN nvHv vcv 134Hvv 12Hcmm氫核質(zhì)量碳核質(zhì)量Hm HH vmmmv HH mmmvv cc vmmvmv 22120 212121 cc vmmvmv cc vmvvm 10 22120 cc vmvvm cvvv 10 cc vmmmv 2cc mmmvv 02 13412122 HHcHHcmmmmmmmmvv1HmmS SS SS清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 46 頁 的速度是 ，則 = = 這就是說，以一個(gè)電子為參照物看另一個(gè)電子的速度是 0.88c c，即小于光速，與實(shí)驗(yàn)相符合，是合理的。 例 26.有一條河寬為 l，其河水流速是 v，船相對河水的速度為 ，且 。今有船 A 和 B 分別沿圖 2-6-4（ a）中所示路徑往返一次，求各需要時(shí)間多少？哪條船需時(shí)長些？ 解 ： 本題是經(jīng)典力學(xué)問題，用力伽利略變換處和即可。設(shè)岸的坐標(biāo)系為 S，河水的坐標(biāo)系為 ，如圖 2-6-4（ b）所示，若船相對岸的