2019-2020年數(shù)陣圖講解（一）教學(xué)資料.doc

2019-2020年數(shù)陣圖講解（一）教學(xué)資料我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過輻射型和封閉型數(shù)陣，其解題的關(guān)鍵在于“重疊數(shù)”。本講和下一講，我們學(xué)習(xí)三階方陣，就是將九個(gè)數(shù)按照某種要求排列成三行三列的數(shù)陣圖，解題的關(guān)鍵仍然是“重疊數(shù)”。我們先從一道典型的例題開始。例1把19這九個(gè)數(shù)字填寫在右圖正方形的九個(gè)方格中，使得每一橫行、每一豎列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。分析與解：我們首先要弄清每行、每列以及每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字之和是幾。我們可以這樣去想：因?yàn)?9這九個(gè)數(shù)字之和是45，正好是三個(gè)橫行數(shù)字之和，所以每一橫行的數(shù)字之和等于453=15。也就是說，每一橫行、每一豎列以及每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字之和都等于15。在19這九個(gè)數(shù)字中，三個(gè)不同的數(shù)相加等于15的有：951，942，861，852，843，762，753，654。因此每行、每列以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字可以是其中任一個(gè)算式中的三個(gè)數(shù)字。因?yàn)橹行姆礁裰械臄?shù)既在一個(gè)橫行中，又在一個(gè)豎列中，還在兩對(duì)角線上，所以它應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)在上述的四個(gè)算式中，只有5符合條件，因此應(yīng)將5填在中心方格中。同理，四個(gè)角上的數(shù)既在一個(gè)橫行中，又在一個(gè)豎列中，還在一條對(duì)角線上，所以它應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)在上述的三個(gè)算式中，符合條件的有2，4，6，8，因此應(yīng)將2，4，6，8填在四個(gè)角的方格中，同時(shí)應(yīng)保證對(duì)角線兩數(shù)的和相等。經(jīng)試驗(yàn)，有下面八種不同填法：上面的八個(gè)圖，都可以通過一個(gè)圖的旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)得到。例如，第一行的后三個(gè)圖，依次由第一個(gè)圖順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，180，270得到。又如，第二行的各圖，都是由它上面的圖沿豎軸翻轉(zhuǎn)得到。所以，這八個(gè)圖本質(zhì)上是相同的，可以看作是一種填法。例1中的數(shù)陣圖，我國古代稱為“縱橫圖”、“九宮算”。一般地，將九個(gè)不同的數(shù)填在33（三行三列）的方格中，如果滿足每個(gè)橫行、每個(gè)豎列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么這樣的圖稱為三階幻方。在例1中如果只要求任一橫行及任一豎列的三數(shù)之和相等，而不要求兩條對(duì)角線上的三數(shù)之和也相等，則解不唯一，這是因?yàn)樵诶?的解中，任意交換兩行或兩列的位置，不影響每行或每列的三數(shù)之和，故仍然是解。例2用11，13，15，17，19，21，23，25，27編制成一個(gè)三階幻方。分析與解：給出的九個(gè)數(shù)形成一個(gè)等差數(shù)列，對(duì)照例1，19也是一個(gè)等差數(shù)列。不難發(fā)現(xiàn)：中間方格里的數(shù)字應(yīng)填等差數(shù)列的第五個(gè)數(shù)，即應(yīng)填19；填在四個(gè)角上方格中的數(shù)是位于偶數(shù)項(xiàng)的數(shù)，即13，17，21，25，而且對(duì)角兩數(shù)的和相等，即1325=1721；余下各數(shù)就不難填寫了（見右圖）。與幻方相反的問題是反幻方。將九個(gè)數(shù)填入33（三行三列）的九個(gè)方格中，使得任一行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和互不相同，這樣填好后的圖稱為三階反幻方。例3將前9個(gè)自然數(shù)填入右圖的9個(gè)方格中，使得任一行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和互不相同，并且相鄰的兩個(gè)自然數(shù)在圖中的位置也相鄰。分析與解：題目要求相鄰的兩個(gè)自然數(shù)在圖中的位置也相鄰，所以這9個(gè)自然數(shù)按照大小順序在圖中應(yīng)能連成一條不相交的折線。經(jīng)試驗(yàn)有下圖所示的三種情況：按照從1到9和從9到1逐一對(duì)這三種情況進(jìn)行驗(yàn)算，只有第二種情況得到下圖的兩個(gè)解。因?yàn)榈诙N情況是螺旋形，故本題的解稱為螺旋反幻方。例4將九個(gè)數(shù)填入左下圖的九個(gè)空格中，使得任一行、任一列以及兩條證明：因?yàn)槊啃械娜龜?shù)之和都等于k，共有三行，所以九個(gè)數(shù)之和等于3k。如右上圖所示，經(jīng)過中心方格的有四條虛線，每條虛線上的三個(gè)數(shù)之和都等于k，四條虛線上的所有數(shù)之和等于4k，其中只有中心方格中的數(shù)是“重疊數(shù)”，九個(gè)數(shù)各被計(jì)算一次后，它又被重復(fù)計(jì)算了三次。所以有九數(shù)之和+中心方格中的數(shù)3=4k，3k+中心方格中的數(shù)3=4k，注意：例4中對(duì)九個(gè)數(shù)及定數(shù)k都沒有特殊要求。這個(gè)結(jié)論對(duì)求解33方格中的數(shù)陣問題很實(shí)用。在33的方格中，如果要求填入九個(gè)互不相同的質(zhì)數(shù)，要求任一行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么這樣填好的圖稱為三階質(zhì)數(shù)幻方。例5求任一列、任一行以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于267的三階質(zhì)數(shù)幻方。分析與解：由例4知中間方格中的數(shù)為267389。由于在兩條對(duì)角線、中間一行及中間一列這四組數(shù)中，每組的三個(gè)數(shù)中都有89，所以每組的其余兩數(shù)之和必為267-89178。兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和為178的共有六組：5+17311167291494113747+13171+107。經(jīng)試驗(yàn)，可得右圖所示的三階質(zhì)數(shù)幻方。附送：2019-2020年數(shù)陣圖（三）講解教學(xué)資料數(shù)陣問題是多種多樣的，解題方法也是多種多樣的，這就需要我們根據(jù)題目條件靈活解題。例1把20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)分別填入下圖的一個(gè)中，使得圖中用箭頭連接起來的四個(gè)數(shù)之和都相等。分析與解：由上圖看出，三組數(shù)都包括左、右兩端的數(shù)，所以每組數(shù)的中間兩數(shù)之和必然相等。20以內(nèi)共有2，3，5，7，11，13，17，19八個(gè)質(zhì)數(shù)，兩兩之和相等的有5197171113，于是得到下圖的填法。例2在右圖的每個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，使得每行、每列以及每條對(duì)角線上的方格中的四個(gè)數(shù)字都是1，2，3，4。分析與解：如左下圖所示，受列及對(duì)角線的限制，a處只能填1，從而b處填3；進(jìn)而推知c處填4，d處填3，e處填4，右下圖為填好后的數(shù)陣圖。例3將18填入左下圖的內(nèi)，要求按照自然數(shù)順序相鄰的兩個(gè)數(shù)不能填入有直線連接的相鄰的兩個(gè)內(nèi)。分析與解：因?yàn)橹虚g的兩個(gè)各自只與一個(gè)不相鄰，而27中的任何一個(gè)數(shù)都與兩個(gè)數(shù)相鄰，所以這兩個(gè)內(nèi)只能填1和8。2只能填在與1不相鄰的內(nèi)，7只能填在與8不相鄰的內(nèi)。其余數(shù)的填法見右上圖。例4在右圖的六個(gè)內(nèi)各填入一個(gè)質(zhì)數(shù)（可取相同的質(zhì)數(shù)），使它們的和等于20，而且每個(gè)三角形（共5個(gè)）頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都相等。分析與解：因?yàn)榇笕切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)與中間倒三角形的三個(gè)頂點(diǎn)正好是圖中的六個(gè)，又因?yàn)槊總€(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)字之和相等，所以每個(gè)三角形頂點(diǎn)上的數(shù)字之和為20210。10分為三個(gè)質(zhì)數(shù)之和只能是235，由此得到右圖的填法。例5在右圖所示立方體的八個(gè)頂點(diǎn)上標(biāo)出19中的八個(gè)，使得每個(gè)面上四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)數(shù)字之和都等于k，并且k不能被未標(biāo)出的數(shù)整除。分析與解：設(shè)未被標(biāo)出的數(shù)為a，則被標(biāo)出的八個(gè)數(shù)之和為129-a45-a。由于每個(gè)頂點(diǎn)都屬于三個(gè)面，所以六個(gè)面的所有頂點(diǎn)數(shù)字之和為6k3（45-a），2k45-a。2k是偶數(shù)，45a也應(yīng)是偶數(shù)，所以a必為奇數(shù)。若a1，則k22；若a3，則k21；若a5，則k20；若a7，則k19；若a9，則k18。因?yàn)閗不能被a整除，所以只有a7，k19符合條