2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案.doc

2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1設(shè)非零實數(shù)a，b，c，滿足則的值為（ ） （A） （B）0 （C） （D）12已知a，b，c是實常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個非零實根x1，x2，則下列關(guān)于x的一元二次方程中，以，為兩個實根的是（ ） （A）c2x2+(b22ac)x+a2=0 （B）c2x2(b22ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b22ac)xa2=0 （D）c2x2(b22ac)xa2=03如圖，在RtABC中，已知O是斜邊AB的中點，CDAB，垂足為D，DEOC，垂足為E，若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（ ） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC4如圖，已知ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且BC=4CF，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）85對于任意實數(shù)x，y，z，定義運算“*”為：=， 且，則的值為（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6設(shè)a=，b是a2的小數(shù)部分，則(b+2)3的值為_7如圖，點D，E分別是ABC的邊AC，AB上的點，直線BD與CE交于點F，已知CDF，BFE，BCF的面積分別為3，4，5，則四邊形AEFD的面積是_8已知正整數(shù)a，b，c滿足a+b22c2=0，3a28b+c=0，則abc的最大值為_9實數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程x2+cx+d=0的兩根為a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組（a，b，c，d）為_ABCED（第7題)ABCFDE（第4題)10小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然筆沒有賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元，則他至少賣出了_支圓珠筆ABCODE（第3題)三、解答題（共4題，每題20分，共80分）ADBCOyxE11如圖，拋物線y=ax2+bx3，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OB=OC=3OA，直線y=x2+1與軸交于點D，求DBCCBE12設(shè)ABC的外心，垂心分別為O，H，若B，C，H，O共圓，對于所有的ABC，求BAC所有可能的度數(shù)13設(shè)a，b，c是素數(shù)，記x=b+ca，y=c+ab，z=a+bc，當(dāng)z2=y，=2時，能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論14如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1，a2，an，滿足對任意一個正整數(shù)m，在a1，a2，an中都至少有一個為的魔術(shù)數(shù)2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題1【答案】A 【解答】由已知得，故于是，所以2【答案】B 【解答】由于是關(guān)于的一元二次方程，則因為，且，所以，且 ，于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以，為兩個實根的一元二次方程是，即（第3題）3【答案】D 【解答】（第3題答題）因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OAOBOC是有理數(shù)于是，ODOAAD是有理數(shù)由RtDOERtCOD，知，都是有理數(shù)，而AC不一定是有理數(shù)（第4題）4【答案】C 【解答】因為DCFE是平行四邊形，所以DE/CF，且EF/DC（第4題答題）連接CE，因為DE/CF，即DE/BF，所以SDEB = SDEC，因此原來陰影部分的面積等于ACE的面積連接AF，因為EF/CD，即EF/AC，所以SACE = SACF因為，所以SABC = 4SACF故陰影部分的面積為65【答案】C 【解答】設(shè)，則，于是二、填空題6【答案】 【解答】由于，故，因此7【答案】 【解答】如圖，連接AF，則有：（第7題答題），解得，所以，四邊形AEFD的面積是8【答案】 【解答】由已知，消去c，并整理得由a為正整數(shù)及66，可得1a3若，則，無正整數(shù)解；若，則，無正整數(shù)解；若，則，于是可解得，（i）若，則，從而可得；（ii）若，則，從而可得綜上知的最大值為9 【答案】，（為任意實數(shù)）【解答】由韋達定理得由上式，可知若，則，進而若，則，有（為任意實數(shù)）經(jīng)檢驗，數(shù)組與（為任意實數(shù)）滿足條件10【答案】207 【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則所以，于是是整數(shù)又，所以，故y的最小值為207，此時三、解答題（第11題）11如圖，拋物線，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OBOC3OA直線與軸交于點D求DBC-CBE【解答】將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)直線過點B（第11題答題）將點C(0，)的坐標代入，得拋物線的頂點為(1，)于是由勾股定理得BC，CE，BE因為BC2CE2BE2，所以，BCE為直角三角形，因此tan=又tanDBO=，則DBO所以，12設(shè)的外心，垂心分別為，若共圓，對于所有的，求所有可能的度數(shù)【解答】分三種情況討論（i）若為銳角三角形因為，所以由，可得，于是（第12題答題（ii）（第12題答題（i）（ii）若為鈍角三角形當(dāng)時，因為，所以由，可得，于是。 當(dāng)時，不妨假設(shè)，因為，所以由，可得，于是（iii）若為直角三角形當(dāng)時，因為為邊的中點，不可能共圓，所以不可能等于；當(dāng)時，不妨假設(shè)，此時點B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及13設(shè)，是素數(shù)，記，當(dāng)時，能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論【解答】不能依題意，得因為，所以又由于為整數(shù)，為素數(shù)，所以或，當(dāng)時，進而，與，是素數(shù)矛盾；當(dāng)時，所以，不能構(gòu)成三角形的三邊長14如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對任意一個正整數(shù)m，在中都至少有一個為m的魔術(shù)數(shù)【解答】若n6，取1，2，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中的一個正整數(shù)M是7