功和能2.ppt

作業(yè) 3 7 3 92 16 2 20 前一章從時間的角度分析了力的累積效果 導(dǎo)出了動量定理 如果從空間的角度討論運(yùn)動的起點與終點的運(yùn)動狀態(tài)間的聯(lián)系 或者說分析力的空間累積效果 是否有類似的定理 動能定理多個質(zhì)點組成的質(zhì)點系是否有類似定理成立 第四章功和能 4 1功 一 功功的計算 力在某一過程中對空間的累積效果 可以用功來表示 1直線運(yùn)動中恒力的功 力對質(zhì)點所作的功等于該力在位移方向上的分量與位移大小的乘積 說明功是標(biāo)量 沒有方向只有大小 但有正負(fù) 0 力對物體作正功 2 A 0 力對物體不作功 2 A 0 力對物體作負(fù)功 或物體克服該力作功 單位 焦耳 J 1J 1N m位移對慣性系 地面 的位移 2變力做功 從a到b的過程中 變化的力F所作的功可以從元功入手 具體地講 1 分析質(zhì)點受力情況 確定力隨位置變化的關(guān)系 2 寫出元功的表達(dá)式 選定積分變量 3 確定積分限進(jìn)行積分 求出總功 b a 總功 3功的幾何圖示 從幾何的角度來看 F x 曲線下方的面積正好等于所做的功 解析式 線積分 二 合力的功 合力對質(zhì)點所作的功 等于每個分力所作的功的代數(shù)和 注意 1 功是力的作用對空間的積累 是過程量 與路徑有關(guān) 2 功是標(biāo)量 但有正負(fù) 3 合力的功為各分力的功的代數(shù)和 幾個功率的數(shù)量級 睡眠70 80W閑談70 80W走路170 380W聽課70 140W跑步700 1000W踢足球630 840W 三 功率 定義單位時間內(nèi)完成的功 叫做功率 可以用功率來衡量做功的快慢 例1 一人從10m深的井中提水 開始時桶中裝有10kg的水 但是由于水桶漏水 每升高1m要漏出0 2kg的水 忽略水桶的質(zhì)量 問此人要將水桶從井底勻速拉升到井口 需要做多少功 注意 本題是變力做功的問題 但是力與x的關(guān)系要根據(jù)題意自己找出 然后再根據(jù)功的定義來積分 以井底為坐標(biāo)原點 建立豎直向上的x軸 因為水桶是勻速上升的 而質(zhì)量卻不斷減少 所以拉力應(yīng)當(dāng)是一個變力 利用變力做功的公式計算 解 當(dāng)水桶離井底距離為x時 拉力 變力做功 例2 一個質(zhì)點沿如圖所示的路徑運(yùn)行 設(shè)所受外力F 4 2y 方向始終指向x軸正向 求F沿著兩條路徑對該質(zhì)點所作的功 1 沿OBC 2 沿OAC 解 本先寫出力的表達(dá)式 1 OB段 y 0 dy 0 BC段 x 2 Fy 0 2 OB段 Fy 0 BC段 x 2 結(jié)論 力作功與路徑有關(guān) 即力沿不同的路徑所作的功是不同的 一對力特指兩個物體之間的作用力和反作用力 一對力的功指某一個過程中一對內(nèi)力的總功 即代數(shù)和 一對力做的總功就是上式的積分 一對力的功等于其中一個力對相對位移的積分 與參照系的選擇無關(guān) 四 一對力的功 一對力做的元功之和為 問題 一質(zhì)量為m的物體在合外力F的作用下 由A點運(yùn)動到B點 其速度的大小由v1變成v2 求合外力對物體所作的功與物體動能之間的關(guān)系 定義 動能 4 2動能定理 先求出元功表達(dá)式 我們可以把剛才的結(jié)果表達(dá)為 合外力在元位移中對質(zhì)點所做的元功正好等于質(zhì)點動能的增量 動能定理的微分形式 質(zhì)點的動能定理 合外力對質(zhì)點所作的功等于質(zhì)點動能的增量 我們考慮從起點A到終點B的過程 說明 A 0Ek增大A 0Ek不變A 0Ek變小質(zhì)點的動能定理只適用于慣性系 動能是狀態(tài)量 功是過程量 例1 t 0時質(zhì)點位于原點 且初始速度為零 力隨著質(zhì)點運(yùn)動的距離線性減小 x 0時 F F0 x L時 F 0 試求質(zhì)點在x L 3處的速率 例1 t 0時質(zhì)點位于原點 且初始速度為零 力隨著質(zhì)點運(yùn)動的距離線性減小 x 0時 F F0 x L時 F 0 試求質(zhì)點在x L 3處的速率 解 已知受力 求運(yùn)動狀態(tài) 選擇坐標(biāo)系 選運(yùn)動為正方向 寫出力的表達(dá)式 題目要求L 3處的速度大小 設(shè)一系統(tǒng)有n個質(zhì)點 作用于各個質(zhì)點的力所作的功分別為 A1 A2 An 使各個質(zhì)點由初動能Ek10 Ek20 Ekn0 變成末動能 Ek1 Ek2 Ekn 作用于質(zhì)點系的內(nèi)力和外力所作的功等于系統(tǒng)動能增量 質(zhì)點系的動能定理 二 質(zhì)點系的動能定理 全部相加 每一個質(zhì)點的動能定理 例4 3在圖中 一質(zhì)量為m 長為l的柔繩放在水平桌面上 繩與桌面間的摩擦系數(shù) 試求 1 繩下垂的長度a至少要多長才能開始滑動 2 從下垂長度a開始滑動到繩子全部離開桌子時的速度 解 分析系統(tǒng)所受外力為懸掛的鏈條部分的重力 且屬于變力做功 選擇豎直向下為x軸正方向 寫出力的表達(dá)式 元功表達(dá)式 元位移 從開始滑動到鏈條全部離開桌面 總功 根據(jù)質(zhì)點系動能定理 末速度為 能用牛頓第二定律算嗎 例1 木板B靜止置在光滑水平臺面上 小木塊A放在B板的一端上 如圖所示 設(shè)A與B之間的摩擦系數(shù)為u mA mB 現(xiàn)在給小木塊A一向右的水平初速度v0 如果A滑到B另一端時A B恰好具有相同的速度 求B板的長度L以及B板滑動的距離s 水平方向AB系統(tǒng)動量守恒 可解出B板長度 再列出AB系統(tǒng)的動能定理 為求滑動距離 單獨(dú)對B使用動能定理 解得 解得 例1 t 0時質(zhì)點位于原點 且初始速度為零 力隨著質(zhì)點運(yùn)動的距離線性減小 x 0時 F F0 x L時 F 0 試求質(zhì)點在x L 3處的速率 解 已知受力 求運(yùn)動狀態(tài) 選擇坐標(biāo)系 選運(yùn)動為正方向 寫出力的表達(dá)式 題目要求L 3處的速度大小 設(shè)作用在質(zhì)量為2kg的物體上的力F 6tN 如果物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動 在頭2s內(nèi)這力做了多少功 解 兩邊積分 根據(jù)做功是否與路徑有關(guān) 我們可以把力分為兩類 即保守力與非保守力 力學(xué)中最重要的保守力有三個 重力 萬有引力和彈性力 我們來看看它們做功的特點 4 3勢能 一 保守力和非保守力 1 重力作功的特點 重力作功只與質(zhì)點的起始和終了位置有關(guān) 而與質(zhì)點所經(jīng)過的路徑無關(guān) 2 彈性力作功 彈性力作功只與質(zhì)點的起始和終了位置有關(guān) 而與質(zhì)點所經(jīng)過的路徑無關(guān) 3 萬有引力作功的特點 萬有引力作功只與質(zhì)點的起始和終了位置有關(guān) 而與質(zhì)點所經(jīng)過的路徑無關(guān) 保守力 作功只與初始和終了位置有關(guān)而與路徑無關(guān)的力 萬有引力 重力 彈性力 保守力作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式 保守力沿任意閉合路徑運(yùn)行一周作功為零 保守力的判據(jù) 非保守力 作功與路徑有關(guān)的力 摩擦力 1 勢能的概念在具有保守力相互作用的系統(tǒng)內(nèi) 只由質(zhì)點間的相對位置決定的能量稱為勢能 PotentialEnergy 保守力作功等于勢能增量的負(fù)值 勢能的減少 重力勢能 引力勢能 彈性勢能 二 勢能 2 關(guān)于勢能的說明 只有對保守力 才能引入勢能的概念勢能是物體狀態(tài)的函數(shù)勢能具有相對性 勢能的值與勢能的零點有關(guān)重力勢能 零點可以任意選擇 一般選地面 引力勢能 零點選在無窮遠(yuǎn)點 彈性勢能 零點選在彈簧的平衡位置 勢能屬于系統(tǒng) 勢能是由于系統(tǒng)內(nèi)各物體間具有保守力作用而產(chǎn)生的 重力勢能 物體和地球組成的系統(tǒng)引力勢能 兩個物體組成的系統(tǒng)彈性勢能 物體和彈簧組成的系統(tǒng)各種勢能可以相加 變?yōu)榭倓菽?1 重力勢能 重力勢能曲線 令處勢能為零 則重力勢能表示為 2 彈性勢能 彈性勢能曲線 令處勢能為零 則彈性勢能表示為 3 引力勢能 彈性勢能曲線 令處勢能為零 則彈性勢能表示為 保守力功與勢能的積分關(guān)系 保守力功與勢能的微分關(guān)系 因為 所以 保守力的矢量式 保守力沿各坐標(biāo)方向的分量 在數(shù)值上等于系統(tǒng)的勢能沿相應(yīng)方向的空間變化率的負(fù)值 其方向指向勢能降低的方向 結(jié)論 4 4機(jī)械能守恒定律 質(zhì)點系動能定理 質(zhì)點系的功能原理由外力與非保守內(nèi)力所做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量 把質(zhì)點系動能定理和保守力做功的特點結(jié)合起來 總結(jié)做功與能量的關(guān)系 機(jī)械能定義 一 質(zhì)點系的功能原理 保守力做功 對于只有保守內(nèi)力做功的系統(tǒng) 系統(tǒng)的機(jī)械能保持守恒 成立條件系統(tǒng)外力為零或者不做功 同時系統(tǒng)內(nèi)力沒有摩擦力等非保守力或者只有不做功的向心力等 機(jī)械能守恒是如何實現(xiàn)的 系統(tǒng)動能和勢能通過內(nèi)部保守力做功實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化 但機(jī)械能保持不變 二 機(jī)械能守恒定律 三 能量守恒定律 孤立系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)換的 但不論任何轉(zhuǎn)換 能量既不能產(chǎn)生也不能消滅 總和不變 這就是能量守恒定律 物理學(xué)特別注意守恒量和守恒定律的研究 這是因為 第一 從方法論上看 利用守恒定律可避開過程細(xì)節(jié)而對系統(tǒng)始 末態(tài)下結(jié)論 第二 從適用性來看 守恒定律適用范圍廣 宏觀 微觀 高速 低速均適用 牛頓定律只適用于宏觀 低速 但由它導(dǎo)出的動量守恒定律的適用范圍遠(yuǎn)它廣泛 迄今為止沒發(fā)現(xiàn)它不對過 第三 從認(rèn)識世界來看 守恒定律是認(rèn)識世界的有力武器 在新現(xiàn)象研究中 當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個守恒定律不成立時 往往作以下考慮 1 尋找被忽略的因素 從而恢復(fù)守恒定律的應(yīng)用 2 引入新概念 使守恒定律更普遍化 3 無法 補(bǔ)救 時 宣布該守恒定律失效 例題1 兩塊質(zhì)量各為m1和m2的木板 用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連在一起 放置在地面上 如圖所示 問至少要多大的力F壓縮上面的木板 才能在該力撤去后因上面的木板升高而將下面的木板提起 解 加外力F后 彈簧被壓縮 m1在重力G1 彈性力N1及壓力F的共同作用下處于平衡狀態(tài) 如圖a所示 一旦撤去F m1就會因彈力N1大于重力G1而向上運(yùn)動 只要F足夠大以至于彈力F1也足夠大 m1就會上升至彈簧由壓縮轉(zhuǎn)為拉伸狀態(tài) 以致將m2提高地面 G1 F N1 a b 將m1 m2 彈簧和地球視為一個系統(tǒng) 該系統(tǒng)在壓力F撤離后 只有保守內(nèi)力做功 該系統(tǒng)機(jī)械能守恒 設(shè)壓力F撤離時刻為初態(tài) m2恰好提高地面時為末態(tài) 設(shè)彈簧原長時為坐標(biāo)原點和勢能零點 如圖b所示 則機(jī)械能守恒應(yīng)該表示為 式中x0為壓力作用時彈簧的壓縮量 由圖a可得 式中x為m2恰好能提高地面時彈簧的伸長量 由圖c可知 此時要求 G2 N2 c 聯(lián)立求解則可得 故能使m2提離地面的最小壓力 碰撞 動量守恒 完全彈性碰撞 碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能沒有損失 非彈性碰撞 碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失 完全非彈性碰撞 碰撞后物體系統(tǒng)的機(jī)械能有損失 且碰撞后碰撞物體結(jié)合成一體 以同一速度運(yùn)動 1 完全彈性碰撞 1 如果m1 m2 則v1 v20 v2 v10 即兩物體在碰撞時速度發(fā)生了交換 2 如果v20 0 且m2 m1 則v1 v10 v2 0 2 完全非彈性碰撞 由動量守恒定律 完全非彈性碰撞中動能的損失 牛頓的碰撞定律 在一維對心碰撞中 碰撞后兩物體的分離速度v2 v1與碰撞前兩物體的接近速度v10 v20成正比 比值由兩物體的材料性質(zhì)決定 3 非彈性碰撞 e為恢復(fù)系數(shù) e 0 則v2 v1 為完全非彈性碰撞 e 1 則分離速度等于接近速度 為完全彈性碰撞 一般非彈性碰撞 0 e 1 例題2 把質(zhì)量為m1的木板連接在勁度系數(shù)為k的彈簧上 處于靜止 另一質(zhì)量為m2的小物體從離木板為h的高處下落 作完全非彈性碰撞 求彈簧給地面的最大壓力 木板和小球一起向下運(yùn)動過程中 選擇他們和彈簧組成系統(tǒng) 機(jī)械能守恒 以彈簧原長處為勢能零點 且有 m2由h高度處自由下落 到達(dá)m1處時速度為 m2和m1發(fā)生完全非彈性碰撞 動量守恒 解 彈簧對地面的最大作用力 聯(lián)立求解 如圖所示 用質(zhì)量為m0的鐵錘把質(zhì)量為m的釘子敲入木板 設(shè)木板對釘子的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比 在鐵錘敲打第一次時 能夠把釘子敲入1cm深 若鐵錘第二次敲釘子的速度情況與第一次完全相同 問第二次能把釘子敲入多深 解 設(shè)鐵錘敲打釘子前的速度為v0 敲打后兩者的共同速度為v 鐵錘第一次敲打時 克服阻力做功 設(shè)釘子所受阻力大小為 由動能定理 有 設(shè)鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為 S 則有 化簡后 第二次能敲入的深度為 例題3 在光滑水平面上 有一勁度系數(shù)為k的輕彈簧 一端固定于O點 另一端連接一質(zhì)量為M的木塊 處于靜止?fàn)顟B(tài) 一質(zhì)量為m的子彈 以速度v0沿與彈簧垂直的方向射入木塊 與之一起運(yùn)動 如圖所示 設(shè)木塊由最初的A點運(yùn)動到B點時 彈簧的長度由原長l0變?yōu)閘1 求B點處的木塊速度 解 子彈射入木塊 水平方向動量守恒 子彈木塊彈簧組成的系統(tǒng) 在木塊上升過程中 機(jī)械能守恒 彈簧拉力通過O點 木塊子彈對于O點角動量守恒 將第一式子整理 得 然后代入第二式子 可求出速度v 最后代入第三式 有 例題4 把地球看成半徑R 6 4 106m的球體 人造衛(wèi)星正在地面上空h 8 0 105m的圓軌道上 以v 7 5 103m s速度繞地球勻速率轉(zhuǎn)動 如果衛(wèi)星通過其上火箭的反沖 額外獲得一個指向地心的分速度v1 200m