遼寧省凌海市七級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 課后補(bǔ)習(xí)班輔導(dǎo) 因式分解講學(xué)案 蘇科版.doc

因式分解【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 因式分解 因式分解是中學(xué)代數(shù)課程的一種重要的恒等變形，不僅在后面的分式通分、約分時(shí)有著直接的應(yīng)用，而且在解方程以及將三角函數(shù)式變形時(shí)，也經(jīng)常用到它，也正是因?yàn)橐蚴椒纸庖云鋸V泛的應(yīng)用性在初中數(shù)學(xué)中占有特殊重要地位，所以學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力。二. 重、難點(diǎn)： 1. 理解因式分解的意義 2. 掌握因式分解的方法提公因式法、公式法。三. 知識(shí)要點(diǎn)： 1. 因式分解的意義 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。 1）因式分解是一種恒等變形，其是否正確，可以用整式乘法檢驗(yàn)，看乘得的結(jié)果是否等于原多項(xiàng)式。 2）因式分解強(qiáng)調(diào)的結(jié)果是整式的積的形式，是一種形式上的恒等變形。 3）因式分解的結(jié)果要求，是必須進(jìn)行到每個(gè)因式都不能再分解為止，要注意要求在何種數(shù)集內(nèi)進(jìn)行因式分解。 4）并不是所有多項(xiàng)式在任何數(shù)集內(nèi)都能因式分解。 2. 因式分解的基本方法 1）提公因式法。形如 2）運(yùn)用公式法： 平方差公式： 完全平方公式： 3. 因式分解中的四大注意 1）首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)； 2）各項(xiàng)有“公”先提“公”； 如：把分解因式。 解：原式=這里的“負(fù)”，指“負(fù)號(hào)”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如 的錯(cuò)誤（錯(cuò)在哪里？）； 這里的“公”指“公因式”。如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式。 3）某項(xiàng)提出莫漏1， 4）括號(hào)里面分到“底”。 如：把分解因式。 解：原式= 這里的“1”，是指多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號(hào)內(nèi)切勿漏掉“1”。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如： 的錯(cuò)誤（錯(cuò)在哪里？）。 這里的“底”，指分解因式，必須指定數(shù)域范圍內(nèi)進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”，不留“尾巴”，并使每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如： 的錯(cuò)誤（錯(cuò)在哪里？）。 4. 因式分解中的六項(xiàng)錯(cuò)誤 1）概念不明確，沒(méi)有把一個(gè)多項(xiàng)式從整體上都化成整式相乘。 如：分解因式 誤解：原式= b(b 2) 3 正解：原式=(b+1)(b 3) 2）解不徹底，沒(méi)有在給定的范圍內(nèi)，分解到不能再分解不止。 如：分解因式x+x2 x 誤解：原式=x(x2+x ) 正解：原式= x(x2+x )= x(x+3)(x 1) 3）步驟混亂，有公因式而不先提。 如：分解因式4 36x2 誤解：原式=(2+6x)(2 6x) 正解：原式=4(1 9x2)=4(1+3x)(1 3x) 4）方法錯(cuò)誤，有公因式而沒(méi)提盡 如：分解因式a(x y)2 a2(y x) 誤解：原式=a(x y)2 a(y x)= a(x2 2xy+y2 ay+ax) 正解：原式= a(x y)2+a2(x y)a(x y) (x y)+a= a(x y)(x y+a) 5）當(dāng)公因式即為某一項(xiàng)時(shí)，提后漏項(xiàng)而沒(méi)補(bǔ)位。 如：分解因式3x2 6xy+x 誤解：原式=x(3x 6y) 正解：原式=x(3x 6y+1) 6）不能正確運(yùn)用公式，分組沒(méi)有明確的目標(biāo)即盲目分組。 如：分解因式1 x2 y2+2xy 誤解：原式=(1+x)(1x) y(y 2x) 正解：原式=1 (x2 2xy+y2)=1 (x y)2=(1+x y)(1 x+y) 當(dāng)然“搞錯(cuò)符號(hào)”也是初學(xué)者常見(jiàn)的錯(cuò)誤之一，在這就不一一列舉。要減少這些錯(cuò)誤，我們應(yīng)進(jìn)一步明確因式分解的的概念，深刻認(rèn)識(shí)因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，熟練掌握因式分解的基本方法及掌握基本方法的靈活運(yùn)用，這樣才能盡可能避免這些錯(cuò)誤?！镜湫屠}】一. 提公因式法 例1. 因式分解下列各式 分析：找公因式的方法是：系數(shù)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，字母取相同字母的最低次冪；中（ab）與（ba）只有符號(hào)之差的應(yīng)先調(diào)整后再提；首項(xiàng)為“”應(yīng)轉(zhuǎn)化為“+”，且注意 解：原式 原式 原式 原式二. 運(yùn)用公式法 例2. 把下列各因式分解 分析：前后兩項(xiàng)交換位置后可直接運(yùn)用平方差公式；連續(xù)兩次運(yùn)用平方差公式，直到每個(gè)因式都不能再分解為止。先用完全平方公式后再用平方差公式； 解：原式 原式 原式三. 變形后分解因式： 因式分解，題型多樣，方法多種，技巧性強(qiáng)。對(duì)于一些不能直接運(yùn)用基本方法進(jìn)行分解的多項(xiàng)式，就需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形，創(chuàng)造條件進(jìn)行分解，常用的基本變形方法有以下四種： 1. 改變符號(hào) 常用的變換關(guān)系有： （1）； （2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，； （3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，； 例3. 分解因式2(xy)2(ab)(yx)3(yx)(ba)2 解：原式=2(xy)2(ab)+(xy)3+(xy)(ab)2 =(xy)2(xy)(ab)+(xy)2+(ab)2 =(xy)(xy)+(ab)2 =(xy)(xy+ab)2 2. 去括號(hào)再組合 例4. 分解因式(ax+by)2+(bx ay)2 解：原式=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2 2abxy+a2y2 =a2x2+b2y2+b2x2+a2y2 =(a2x2+b2x2)+(a2y2+b2y2) =x2(a2+b2)+y2(a2+b2) =(a2+b2)(x2+y2) 3. 加減變形 分解某些多項(xiàng)式，有時(shí)需要加上一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，同時(shí)又要減去這個(gè)項(xiàng)，這種既加又減，使其形變而質(zhì)不變，起到變難為易，便于分妥的作用。 例5. 分解因式x4+4 解：(加上并減去4x2項(xiàng)，得) 原式=x4+4x2+4 4x2 =(x2+2)2 4x2 =(x2+2x+2)(x2 2x+2) 4. 折項(xiàng)變形 采用拆項(xiàng)的方法，將要分解的多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)組合 例6. 分解因式x3+3x24 解法一：將3x2拆成2x2+x2 原式=x3+2x2+x24 =(x3+2x2)+(x24) =x2(x+2)+(x+2)(x2)=(x+2)(x2+x2)=(x+2)(x+2)(x1)=(x+2)2(x1) 解法二：將4拆成13 原式=x3+3x213=(x31)+(3x23)=(x1)(x2+x+1)+3(x21)=(x1)(x2+x+1)+3(x+1)(x1)=(x1)(x2+4x+4) =(x1)(x+2)2四. 因式分解應(yīng)用： 例7. abc的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：c2a22ab2bc0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。 分析：此題實(shí)質(zhì)上是對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。 證明：c2a22ab2bc0， （ac）（ac）2b（ac）0 （ac）（a2bc）0. 又a、b、c是abc的三條邊，a2bc0， ac0，即ac，abc為等腰三角形。 例8. 求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)。 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 設(shè)，則 即。 例9. 分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過(guò)程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè)a+b=a，b+c=b，a+2b+c=a+b =3（a+b）（b+c）（a+2b+c） 說(shuō)明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對(duì)原式進(jìn)行“代換”是很重要的。 例10. 將 解： 說(shuō)明：利用因式分解簡(jiǎn)化有理數(shù)的計(jì)算?！灸M試題】（答題時(shí)間：30分鐘） 1. 把下列各式因式分解 (yx)(cba)(xy)(2a+bc)(xy)(b2a) 2. 寫(xiě)出一個(gè)三項(xiàng)式，再分解因式（要求三項(xiàng)式只含有字母a、b系數(shù)，次數(shù)不限，且能先提公因式再用完全平方公式）。 3. 計(jì)算： 4. 在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶。原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取x=9，y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：(xy)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼。對(duì)于多項(xiàng)式，取x=10，y=10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：_(寫(xiě)出一個(gè)即可)。 5. 丁丁和冬冬分別用橡皮泥做了一個(gè)長(zhǎng)方體和圓柱體，放在一起，恰好一樣高。丁丁和冬冬想知道哪一個(gè)體積較大，但身邊又沒(méi)有尺子，只找到一根短繩，他們量得長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)正好是3個(gè)繩長(zhǎng)，寬是2個(gè)繩長(zhǎng)，圓柱體的底面周長(zhǎng)是10個(gè)繩長(zhǎng)。你知道哪一個(gè)體積較大嗎？大多少？（提示：可設(shè)繩長(zhǎng)為a厘米，長(zhǎng)方體和圓柱體的高均為h厘米）如果給你一架天平，你有辦法知道哪一個(gè)體積較大嗎？【試題答案