遼寧省凌海市七級數(shù)學(xué)下冊 課后補習(xí)班輔導(dǎo) 因式分解講學(xué)案 蘇科版.doc

因式分解【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容： 因式分解 因式分解是中學(xué)代數(shù)課程的一種重要的恒等變形，不僅在后面的分式通分、約分時有著直接的應(yīng)用，而且在解方程以及將三角函數(shù)式變形時，也經(jīng)常用到它，也正是因為因式分解以其廣泛的應(yīng)用性在初中數(shù)學(xué)中占有特殊重要地位，所以學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。二. 重、難點： 1. 理解因式分解的意義 2. 掌握因式分解的方法提公因式法、公式法。三. 知識要點： 1. 因式分解的意義 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫把這個多項式因式分解，也叫把這個多項式分解因式。 1）因式分解是一種恒等變形，其是否正確，可以用整式乘法檢驗，看乘得的結(jié)果是否等于原多項式。 2）因式分解強調(diào)的結(jié)果是整式的積的形式，是一種形式上的恒等變形。 3）因式分解的結(jié)果要求，是必須進行到每個因式都不能再分解為止，要注意要求在何種數(shù)集內(nèi)進行因式分解。 4）并不是所有多項式在任何數(shù)集內(nèi)都能因式分解。 2. 因式分解的基本方法 1）提公因式法。形如 2）運用公式法： 平方差公式： 完全平方公式： 3. 因式分解中的四大注意 1）首項有負常提負； 2）各項有“公”先提“公”； 如：把分解因式。 解：原式=這里的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正的。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如 的錯誤（錯在哪里？）； 這里的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式。 3）某項提出莫漏1， 4）括號里面分到“底”。 如：把分解因式。 解：原式= 這里的“1”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，括號內(nèi)切勿漏掉“1”。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如： 的錯誤（錯在哪里？）。 這里的“底”，指分解因式，必須指定數(shù)域范圍內(nèi)進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”，不留“尾巴”，并使每一個括號內(nèi)的多項式都不能再分解。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如： 的錯誤（錯在哪里？）。 4. 因式分解中的六項錯誤 1）概念不明確，沒有把一個多項式從整體上都化成整式相乘。 如：分解因式 誤解：原式= b(b 2) 3 正解：原式=(b+1)(b 3) 2）解不徹底，沒有在給定的范圍內(nèi)，分解到不能再分解不止。 如：分解因式x+x2 x 誤解：原式=x(x2+x ) 正解：原式= x(x2+x )= x(x+3)(x 1) 3）步驟混亂，有公因式而不先提。 如：分解因式4 36x2 誤解：原式=(2+6x)(2 6x) 正解：原式=4(1 9x2)=4(1+3x)(1 3x) 4）方法錯誤，有公因式而沒提盡 如：分解因式a(x y)2 a2(y x) 誤解：原式=a(x y)2 a(y x)= a(x2 2xy+y2 ay+ax) 正解：原式= a(x y)2+a2(x y)a(x y) (x y)+a= a(x y)(x y+a) 5）當(dāng)公因式即為某一項時，提后漏項而沒補位。 如：分解因式3x2 6xy+x 誤解：原式=x(3x 6y) 正解：原式=x(3x 6y+1) 6）不能正確運用公式，分組沒有明確的目標(biāo)即盲目分組。 如：分解因式1 x2 y2+2xy 誤解：原式=(1+x)(1x) y(y 2x) 正解：原式=1 (x2 2xy+y2)=1 (x y)2=(1+x y)(1 x+y) 當(dāng)然“搞錯符號”也是初學(xué)者常見的錯誤之一，在這就不一一列舉。要減少這些錯誤，我們應(yīng)進一步明確因式分解的的概念，深刻認識因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，熟練掌握因式分解的基本方法及掌握基本方法的靈活運用，這樣才能盡可能避免這些錯誤?！镜湫屠}】一. 提公因式法 例1. 因式分解下列各式 分析：找公因式的方法是：系數(shù)取各項系數(shù)的最大公約數(shù)，字母取相同字母的最低次冪；中（ab）與（ba）只有符號之差的應(yīng)先調(diào)整后再提；首項為“”應(yīng)轉(zhuǎn)化為“+”，且注意 解：原式 原式 原式 原式二. 運用公式法 例2. 把下列各因式分解 分析：前后兩項交換位置后可直接運用平方差公式；連續(xù)兩次運用平方差公式，直到每個因式都不能再分解為止。先用完全平方公式后再用平方差公式； 解：原式 原式 原式三. 變形后分解因式： 因式分解，題型多樣，方法多種，技巧性強。對于一些不能直接運用基本方法進行分解的多項式，就需要經(jīng)過適當(dāng)變形，創(chuàng)造條件進行分解，常用的基本變形方法有以下四種： 1. 改變符號 常用的變換關(guān)系有： （1）； （2）當(dāng)n為奇數(shù)時，； （3）當(dāng)n為偶數(shù)時，； 例3. 分解因式2(xy)2(ab)(yx)3(yx)(ba)2 解：原式=2(xy)2(ab)+(xy)3+(xy)(ab)2 =(xy)2(xy)(ab)+(xy)2+(ab)2 =(xy)(xy)+(ab)2 =(xy)(xy+ab)2 2. 去括號再組合 例4. 分解因式(ax+by)2+(bx ay)2 解：原式=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2 2abxy+a2y2 =a2x2+b2y2+b2x2+a2y2 =(a2x2+b2x2)+(a2y2+b2y2) =x2(a2+b2)+y2(a2+b2) =(a2+b2)(x2+y2) 3. 加減變形 分解某些多項式，有時需要加上一個適當(dāng)?shù)捻?，同時又要減去這個項，這種既加又減，使其形變而質(zhì)不變，起到變難為易，便于分妥的作用。 例5. 分解因式x4+4 解：(加上并減去4x2項，得) 原式=x4+4x2+4 4x2 =(x2+2)2 4x2 =(x2+2x+2)(x2 2x+2) 4. 折項變形 采用拆項的方法，將要分解的多項式進行適當(dāng)組合 例6. 分解因式x3+3x24 解法一：將3x2拆成2x2+x2 原式=x3+2x2+x24 =(x3+2x2)+(x24) =x2(x+2)+(x+2)(x2)=(x+2)(x2+x2)=(x+2)(x+2)(x1)=(x+2)2(x1) 解法二：將4拆成13 原式=x3+3x213=(x31)+(3x23)=(x1)(x2+x+1)+3(x21)=(x1)(x2+x+1)+3(x+1)(x1)=(x1)(x2+4x+4) =(x1)(x+2)2四. 因式分解應(yīng)用： 例7. abc的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：c2a22ab2bc0，求證：這個三角形是等腰三角形。 分析：此題實質(zhì)上是對關(guān)系式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：c2a22ab2bc0， （ac）（ac）2b（ac）0 （ac）（a2bc）0. 又a、b、c是abc的三條邊，a2bc0， ac0，即ac，abc為等腰三角形。 例8. 求證：多項式的值一定是非負數(shù)。 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。 證明： 設(shè)，則 即。 例9. 分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè)a+b=a，b+c=b，a+2b+c=a+b =3（a+b）（b+c）（a+2b+c） 說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要的。 例10. 將 解： 說明：利用因式分解簡化有理數(shù)的計算?！灸M試題】（答題時間：30分鐘） 1. 把下列各式因式分解 (yx)(cba)(xy)(2a+bc)(xy)(b2a) 2. 寫出一個三項式，再分解因式（要求三項式只含有字母a、b系數(shù)，次數(shù)不限，且能先提公因式再用完全平方公式）。 3. 計算： 4. 在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶。原理是：如對于多項式，因式分解的結(jié)果是，若取x=9，y=9時，則各個因式的值是：(xy)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼。對于多項式，取x=10，y=10時，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：_(寫出一個即可)。 5. 丁丁和冬冬分別用橡皮泥做了一個長方體和圓柱體，放在一起，恰好一樣高。丁丁和冬冬想知道哪一個體積較大，但身邊又沒有尺子，只找到一根短繩，他們量得長方體底面的長正好是3個繩長，寬是2個繩長，圓柱體的底面周長是10個繩長。你知道哪一個體積較大嗎？大多少？（提示：可設(shè)繩長為a厘米，長方體和圓柱體的高均為h厘米）如果給你一架天平，你有辦法知道哪一個體積較大嗎？【試題答案