二階電路的零輸入響應(yīng).doc

第五章 動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析5.6 二階電路的零輸入響應(yīng)5.6.1 二階電路的初始條件初始條件在二階電路的分析進(jìn)程中起著決定性作用，確定初始條件時(shí)，必須注意以下幾個(gè)方面。第一，在分析電路時(shí)，要始終仔細(xì)考慮電容兩端電壓的極性和流過(guò)電感電流的方向；第二，電容上的電壓總是連續(xù)的，即 （5-31）流過(guò)電感的電流也總是連續(xù)的，即 （5-32）確定初始條件時(shí)，首先要用（5-31）和（5-32）式確定沒(méi)有突變的電路電流，電容電壓和電感電流的初始值。5.6.2 R L C串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)如圖5-37所示為RLC串聯(lián)電路。開(kāi)關(guān)S閉合前，電容已經(jīng)充電，且電容的電壓，電感中儲(chǔ)存有電場(chǎng)能，且初始電流為當(dāng)時(shí)，開(kāi)關(guān)S閉合，電容將通過(guò)放電，其中一部分被電阻消耗，另一部分被電感以磁場(chǎng)能的形式儲(chǔ)存，之后磁場(chǎng)能有通過(guò)R轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能，如此反復(fù)；同樣，也有可能先是由電感儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能，并如此反復(fù)，當(dāng)然也可能不存在能量的反復(fù)轉(zhuǎn)換。圖5-37 RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)由圖5-37所示參考方向，據(jù)KVL可得 且有，。將其代入上式得 式（5-33）是RLC串聯(lián)電路放電過(guò)程以為變量的微分方程，為一 個(gè)線(xiàn)性常系數(shù)二階微分方程。如果以電流作為變量，則RLC串聯(lián)電路的微分方程為 （5-34）在此，僅以為變量進(jìn)行分析，令，并代入（5-33），得到其對(duì)應(yīng)的特征方程 求解上式，得到特征根為 （5-35） 因此，電容電壓用兩特征根表示如下： （5-36）從式（5-35）可以看出，特征根、僅與電路的參數(shù)和結(jié)構(gòu)有關(guān)，而與激勵(lì)和初始儲(chǔ)能無(wú)關(guān)。、又稱(chēng)為固有頻率，單位為奈培 奈培是一個(gè)無(wú)量綱單位，以奈培（John Napier,英格蘭數(shù)學(xué)家）的名字命名。每秒，它與電路的自然響應(yīng)函數(shù)有關(guān)。根據(jù)換路定則，可以確定方程（5-33）的初始條件為，又因?yàn)?，所以有。將初始條件和式（5-36）聯(lián)立可得 （5-37）首先討論有已經(jīng)充電的電容向電阻電感放電的性質(zhì)，即且。有 （5-38）將、的表達(dá)式代入（5-36）式即可得到RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)，但特征根、與電路的參數(shù)R、L、C有關(guān)，根據(jù)二次方程根的判別式可知、只有三種可能情況，下面對(duì)這三種情況分別討論1.，過(guò)阻尼情況在此情況下，、為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，電容電壓可表示為 （5-39）根據(jù)電壓電流的關(guān)系，可以求出電路的其他響應(yīng)為 （5-40） （5-41）其中利用了的關(guān)系。由于，因此時(shí)，且。所以時(shí)一直為正。從（5-40）可以看出，當(dāng)時(shí)，也一直為正，但是進(jìn)一步分析可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這表明將出現(xiàn)極值，可以求一階導(dǎo)數(shù)得到，即 故 其中為電流達(dá)到最大的時(shí)刻。、的波形如圖5-38所示。圖5-38 過(guò)阻尼放電過(guò)程中、的波形從圖5-38可以看出，電容在整個(gè)過(guò)程中一直在釋放儲(chǔ)的電能，稱(chēng)之為非振蕩放電，有叫做過(guò)阻尼放電。當(dāng)時(shí)電感吸收能量，建立磁場(chǎng)；時(shí)，電感釋放能量，磁場(chǎng)衰減，趨向消失。當(dāng)時(shí)，電感電壓過(guò)零點(diǎn)。2. ，欠阻尼情況 當(dāng)時(shí)，特征根、是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，即 （5-42）其中：稱(chēng)之為振蕩電路的衰減系數(shù)；稱(chēng)之為振蕩電路的衰減角頻率。稱(chēng)之為無(wú)阻尼自由振蕩角頻率，或浮振角頻率。顯然有，令，則有，如圖5-39所示。圖5-39 之間的關(guān)系根據(jù)歐拉公式 （5-43）可得 ， 所以有 = = = （544）根據(jù)式（5-40），（5-41）可知 （5-45） （5-46）從上述情況分析可以看出，、的波形呈振蕩衰減狀態(tài)。在衰減過(guò)程中，兩種儲(chǔ)能元件相互交換能量，如表5-2所示。、的波形如圖5-40所示。圖5-40 欠阻尼情況下、的波形表5-2電容釋放釋放吸收電感吸收釋放釋放電阻消耗消耗消耗從欠阻尼情況下 、的表達(dá)式還能得到以下結(jié)論：（1） ， 為電流的過(guò)零點(diǎn)，即的極值點(diǎn)。（2） ，為電感電壓的過(guò)零點(diǎn)，即電流的極值點(diǎn)。（3） ，為電容電壓的過(guò)零點(diǎn)。在上述阻尼的情況中，有一種特殊情況，,此時(shí)、為一對(duì)共軛虛數(shù)， 代入到（5-44），（5-45），（5-46）式可得 （5-47） （5-48） （5-49）由此可見(jiàn)，、各量都是正弦函數(shù)，隨時(shí)推移其振幅并不衰減。其波形如圖5-41所示圖5-41 LC零輸入電路無(wú)阻尼時(shí)、波形3. ，臨界阻尼情況在此條件下，特征方程具有重根，即 全微分方程（5-33）的通解為 根據(jù)初始條件可得 所以，很容易得到 （5-50） （5-51） （5-52）顯然，、不作振蕩變化，隨著時(shí)間的推移逐漸衰減，其衰減過(guò)程的波形與圖5-38類(lèi)似。此種狀態(tài)是振蕩過(guò)程與非振蕩過(guò)程的分界線(xiàn)，所以將的過(guò)程稱(chēng)為臨界非振蕩過(guò)程，其電阻也被稱(chēng)之為臨界電阻。5.7 二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)如果二階電路中動(dòng)態(tài)元件的儲(chǔ)能（電容儲(chǔ)存電場(chǎng)能與電感儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能）均為零時(shí)，其響應(yīng)僅由外施激勵(lì)產(chǎn)生，稱(chēng)為二階電路的零輸入響應(yīng)。5.7.1 R L C串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)電路如圖5-47所示，開(kāi)關(guān)S閉合前，電容和電感電流均為零。時(shí)，開(kāi)關(guān)S閉合。圖5-47 RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)以為電路的變量，根據(jù)VCR和KVL，有 （5-63）方程（5-64）為二階常系數(shù)非齊次微分方程，其解由兩部分組成，一部分為非齊次方程的特解，另一部分為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，即。方程（5-63）對(duì)應(yīng)的齊次微分方程 （5-64）方程（5-64）與方程（5-33）完全相同，其對(duì)應(yīng)的特征方程的根也有三種情況。將結(jié)論分別表示如下 1.，非振蕩充電過(guò)程 電路響應(yīng)表示為 其中、為特征根，表達(dá)式與（5-35）式相同。、和的波形如圖5-48所示，圖5-48 、和的波形圖其中 ，是電感電壓過(guò)零點(diǎn)，也是電流達(dá)到最大值的時(shí)刻。2.，振蕩充電過(guò)程 電路響應(yīng)表示為 其中，此情況下的充電過(guò)程也為非振蕩充電。5.7.2 RLC并聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)二階RLC并聯(lián)電路如圖5-49所示， ，。時(shí)，開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)。根據(jù)KCL有 圖5-49 RLC并聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)如果以為待求變量，則有 （5-65）方程以（5-65）是二階線(xiàn)性非齊次常微分方程，與（5-63）式的求解過(guò)程相同，其通解由特解和對(duì)應(yīng)齊次微分方程通解兩部分組成。如果為直流激勵(lì)或正弦激勵(lì)，則取穩(wěn)態(tài)解為特解而通解與零輸入響應(yīng)形式相同，其積分常數(shù)有初始條件來(lái)確定。 5.8 二階電路的全響應(yīng)在前兩節(jié)中所討論的二階電路中，要么只有初始儲(chǔ)能，要么只有外施激勵(lì)。分別得到二階微分方程求解的方法非常相似。如果二階電路既有初始儲(chǔ)能又接入了外施激勵(lì)，則電路的響應(yīng)稱(chēng)為二階電路的全響應(yīng)。分析一階電路的全響應(yīng)的方法在二階電路中同樣適用，一般用零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)疊加來(lái)計(jì)算全響應(yīng)。例 電路如圖5-51所示，已知，時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合，求開(kāi)關(guān)閉合后電感中的電流。圖5-51 例5-12圖解：開(kāi)關(guān)S閉合前，電感中的電流，具有初始儲(chǔ)能；開(kāi)關(guān)S閉合后，直流激勵(lì)源作用于電路，故為二階電路的全響應(yīng)。（1）列出開(kāi)關(guān)閉合后的電路微