等腰三角形(基礎(chǔ))知識講解.doc

等腰三角形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直2. 掌握等腰三角形，等邊三角形的判定定理3. 熟練運用等腰三角形，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計算【要點梳理】要點一、等腰三角形1.等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中，ABAC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B、C是底角要點詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.A1802B，BC .2.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）3.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等4.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸5.等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）. 要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.要點二、等邊三角形1.等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形也就是說等腰三角形包括等邊三角形2.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60.3.等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)度數(shù)的計算題1、（2015春張家港）如圖，已知ABC中，AB=BD=DC，ABC=105，求A，C度數(shù)【答案與解析】解：AB=BD，BDA=A，BD=DC，C=CBD，設(shè)C=CBD=x，則BDA=A=2x，ABD=1804x，ABC=ABD+CDB=1804x+x=105，解得：x=25，所以2x=50，即A=50，C=25【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解題中運用了等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問題舉一反三：【變式】已知：如圖，D、E分別為AB、AC上的點，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度數(shù)【答案】解：ACBCBD，ADAE，DECE，設(shè)ECDEDC，BCDBDC，則AEDADE2，AB1804在ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和得A、D、B在同一直線上，2180由 ，解得36B180418014436.類型二、等腰三角形中的分類討論2、在等腰三角形中，有一個角為40，求其余各角【思路點撥】唯獨等腰三角形的角有專用名詞“頂角”“底角”，別的三角形沒有，然而此題沒有指明40的角是頂角還是底角，所以要分類討論.【答案與解析】解：(1)當(dāng)40的角為頂角時，由三角形內(nèi)角和定理可知：兩個底角的度數(shù)之和18040140，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個底角的度數(shù)；(2)當(dāng)40的角為底角時，另一個底角也為40，則頂角的度數(shù)1804040100其余各角為70，70或40，100 【總結(jié)升華】條件指代不明，做此類題應(yīng)分類討論，把可能出現(xiàn)的情況都討論到，別遺漏.3、已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊【答案與解析】解：(1)3為腰長時，則另一腰長也為3，底邊長13337； (2)3為底邊長時，則兩個腰長的和13310，則一腰長 這樣得兩組：3，3，7 5，5，3 而由構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：337，故不能組成三角形，應(yīng)舍去 等腰三角形的周長為13，一邊長為3，其余各邊長為5，5【總結(jié)升華】唯獨等腰三角形的邊有專用名詞“腰”“底”，別的三角形沒有，此題沒有說明邊長為3的邊是腰還是底，所以做此題應(yīng)分類討論同時結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，來驗證討論哪些情況符合，哪些情況不符合，從而決定取舍，最后得到正確答案舉一反三：【變式】（2015威海模擬）如圖，ABC中BD、CD平分ABC、ACB，過D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，AEF的周長為（）A13B12C15D20【答案】選B解：EFBC，EDB=DBC，BD平分ABC，EBD=CBD，EDB=EBD，BE=ED，同理DF=CF，AEF的周長是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12類型三、等腰三角形性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用4、已知：如圖，中，ADBC于D，CF交AD于點F，連接BF并延長交AC于點E，求證：（1）ABDCFD；（2）BEAC【思路點撥】此題由等腰三角形的判定知ADDC，易證ABDCFD，要證BEAC，只需證BEC90即可，DFBD，可知FBD45，由已知ACD45，可知BEC90.【答案與解析】證明：(1) ADBC， ADCFDB90. ， ADCD ， ABDCFD (2)ABDCFD BDFD. FDB90， . ， . BEAC 【總結(jié)升華】本題主要考查全等三角形判定定理及性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵在于熟練的綜合運用相關(guān)的性質(zhì)定理，通過求證ABDCFD，推出BD=FD，求出FBD=BFD=45類型四、等邊三角形5、如圖在等邊ABC中，ABC與ACB的平分線相交于點O，且ODAB，OEAC（1）試判定ODE的形狀，并說明你的理由；（2）線段BD、DE、EC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過程【答案與解析】解：（1）ODE是等邊三角形，其理由是：ABC是等邊三角形，ABCACB60， ODAB，OEAC，ODEABC60，OEDACB60ODE是等邊三角形；（2）答：BDDEEC，其理由是：OB平分ABC，且ABC60，ABOOBD30，ODAB，BODABO30，DBODOB，DBDO，同理，ECEO，DEODOE，BDDEEC【總結(jié)升華】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得到ODE是等邊三角形；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得到DBODOB，根據(jù)等角對等邊可得到DBDO，同理可證明ECEO，因為DEODOE，所以BDDEEC舉一反三：【變式】等邊ABC，P為BC上一點，含30、60的直角三角板60