基于DFT相位的正弦波頻率和初相的估計方法.doc

研究生課程論文學年學期： 2011-2012年第二學期 課程名稱： 統(tǒng)計信號分析 授課教師： 論文題目：基于DFT相位的正弦波頻率和初相的估計方法 學生姓名： 學 號： 專 業(yè)： 通信與信息系統(tǒng) 2102年6月12日基于DFT相位的正弦波頻率和初相的估計方法摘要：利用分段DFT頻譜的相位差消除了初相對頻率估計的影響且避免了相位模糊問題。給出了頻率和初相估計的均方根誤差計算公式。理論分析和Monte Carlo模擬結果顯示頻率估計均方根誤差接近Cramer-Rao(CR)下限，初相估計均方根誤差略高于CR下限的2倍。閾值信噪比遠遠低于基于時域瞬時相位的頻率和初相估計方法。在信噪比為6dB，采樣點數(shù)為1024的情況下，頻率估計均方根誤差約為DFT頻率分辨率的1%，初相估計均方根誤差約為2度。該方法已用于FMCW液位測量雷達并取得1mm距離測量精度。關鍵詞：頻率估計；相位估計；雷達測距；DFTAbstract：Use block of phase DFT spectrum to eliminate the influence of relative frequency early estimates and avoid the phase fuzzy problem. Given the frequency and initial phase estimate of the RMS error calculation formula. The theory analysis and Monte Carlo simulation results indicate that the frequency estimation RMS error close to Cramer-Rao (CR) floor, the RMS error estimation is slightly higher than the lower limit CR 2 times. Threshold value signal-to-noise ratio is much lower than the instantaneous phase frequency based on the time domain and initial phase estimation. In the signal-to-noise ratio is 6 dB, sampling points for 1024, frequency estimation RMS error of about 1% of the DFT frequency resolution, early phase estimate RMS error of about 2 degrees. The method has been used to level measurement radar and obtain FMCW 1 mm distance measurement accuracy.Keywords：Frequency estimation、Phase estimates、Radar ranging、DFT1 引言正弦波信號頻率的估計是通信、雷達、聲納以及電子對抗等領域信號處理中的一個重要問題。基于參數(shù)模型的譜估計、最大熵譜估計等方法具有頻率分辨率高的優(yōu)點，但對于長序列，其運算量大，不利于實時處理。而基于DFT的譜分析方法，可采用快速算法，即FFT，因此運算速度快，特別適合于實時信號處理。但DFT的頻率分辨力和頻率估計精度取決于信號的測量時間長度，信號測量時間過長不但給實時處理帶來困難，而且在一些應用中信號的持續(xù)時間是有限的，不能任意延長，使得DFT的頻率分辨力和估計精度受到限制，因此一般只利用DFT實現(xiàn)頻率的粗測1,2，文獻3提出了利用數(shù)值搜索方法提高DFT頻率估計精度。由于柵欄效應DFT頻譜在主瓣之內(nèi)有2條譜線，利用這2條譜線的幅度可以實現(xiàn)頻率插值以及提高頻率測量精度4。文獻5提出了直接在時域采用最小二乘線性回歸的方法，利用瞬時相位估計信號頻率和初相。為了避免直接測量瞬時相位的整周模糊問題，文獻6提出了相位查分方法。在時域測量瞬時相位估計信號頻率和初相的缺點是需要較高的信噪比。文獻7提出了一種利用DFT頻譜的相位和頻率插值的綜合算法提高頻率測量精度的方法。本文提出一種利用信號DFT頻譜相位提高頻率測量精度的新方法，利用分段DFT消除了相位測量中的整周模糊問題。理論分析和計算機模擬結果表明，該方法的信噪比閾值比基于時域瞬時相位的頻率估計方法低很多，在很低信噪比情況下，仍能得到很高的頻率和初相估計精度，頻率估計均方根誤差接近CR下限。該方法還可以估計信號的初相，初相估計均方根誤差高于CR下限的2倍。2 FFT相位差法估計頻率和初相原理設觀測信號為單一頻率復正弦波信號 (1)其中，、分別為信號的幅度、頻率和初相。對上述信號進行采樣，設信號的記錄時間長度分為兩個長度相同的序列，對應前點，則采樣序列可記為 (2)對應后點，則 (3) (4)分別對和進行點DFT，得到離散頻譜 (5) (6)其中和分別為的幅度項與相位項 (7) (8)根據(jù)式(6)知，與的幅度項完全一樣。由式(7),幅度最大處值對應的離散頻率為 (x表示取最接近x的整數(shù))。利用DFT的最大譜線粗測頻率為，為DFT的頻率分辨率。從式(8)可見，DFT最大譜線的相位包含信號頻率與DFT最大譜線位置的偏差信息，但由于未知，不能直接利用DFT的相位來估計頻率。用和分別表示和在最大譜線處的相位，則兩者的差值為 (9)當在范圍內(nèi)變化時，由式(9)知，在到之間變化。因此可以利用可以對與DFT最大譜線對應的頻率的偏差進行估計 (10)也可以定義與T無關的相對頻率偏差，當在范圍內(nèi)變化時，在范圍內(nèi)變化，可以利用直接得到的估計值。然后按下式計算的估值 (11)由于首先利用DFT的最大譜線位置對頻率進行了粗測，DFT相位差只用來估計信號頻率在兩條譜線之間的位置，因而相位測量不會出現(xiàn)模糊。將式(9)代入式(8),得 (12)于是初相估計為 (13)當N較大時，上式可近似為 (14)3 噪聲對測量精度的影響 在加性白噪聲背景下，觀測信號可表示為。其中為式(1)所表示的純信號，為復白噪聲，其均值為0，功率譜密度為。前N/2點采樣序列記為。設系統(tǒng)的等效帶寬為，則的功率(方差)為。采樣后的信噪比為。白噪聲為平穩(wěn)隨機過程，不滿足Fourier變換得絕對可積條件，不能對其進行Fourier變換，因此一般只分析其功率譜密度。但功率譜密度不包含相位信息，無法分析噪聲對相位測量的影響。對于采樣后的白噪聲序列，可將其DFT變換看作是若干個隨機變量的線性組合，每項DFT系數(shù)仍為隨機變量，所以噪聲序列的DFT仍為隨機序列。因此我們可以定義噪聲序列在概率意義上的N/2點DFT變換 (15)上式只在概率意義上成立，因為對于的不同次實現(xiàn)，的值是隨機變化的。和分別表示的幅度和相位，均為隨機量?？梢酝ㄟ^上式分析的統(tǒng)計特性。當為高斯白噪聲序列時，也服從高斯分布，而且對于同一次DFT變換，不同的k，或同一個離散頻率k不同次的DFT變換(每次DFT對不同的采樣序列進行)，均為不相關的，即也為高斯白噪聲序列，易知的均值為0，方差為.于是的DFT可表示為 (16)整理式(16)，得的幅度和相位分別為 (17) (18)對于較大的DFT輸出信噪比，上式可近似為 (19)由，得DFT相位測量均方根誤差為 (20)對于較大的N,在主瓣附近，可近似為 (21)式中。當信噪比較大時，在DFT幅度最大值處，仍近似為正態(tài)分布，其方差為，所以，在幅度最大值處，DFT頻譜的信噪比為 (22)式中為N/2點DFT的信噪比增益。將式(21)和式(22)代入式(20)，DFT最大譜線處相位的均方根誤差可表示為 (23)對于平穩(wěn)白噪聲，第二段采樣序列的DFT的相位的測量誤差與的測量誤差是統(tǒng)計獨立的，而且方差相同，因此相位差的均方根誤差為。于是，相對頻率偏差估計和初相估計的均方根誤差分別為 (24) (25) 根據(jù)相對頻偏的均方根誤差便可得到的均方根誤差為。由于一般較大，DFT最大譜線位置錯誤造成的頻率估計誤差可以忽略，因此的估計誤差主要取決于的估計誤差。由式(24)、(25)可見，頻率與初相估計誤差和被測信號頻率與DFT最大譜線的偏差有關，當被測信號的頻率正好位于最大譜線上時，頻率和初相估計誤差最小，分別為和，頻率估計均方根誤差略大于CR下限，初相估計均方根誤差為CR下限的倍。當被測信號的頻率正好位于DFT兩條離散譜線中間時，頻率和初相估計誤差最大，分別為和。當信號頻率位于DFT兩條譜線中間時，信號的DFT系數(shù)有兩項幅度接近，信號的能量平均分布在兩條譜線上。由于上面的相位估計方法只利用了信號的一條譜線，因此頻率和初相估計的均方根誤差均為最好情況的倍。信號在兩個相鄰離散譜線上的相位差180度，而噪聲在兩個頻率上是不相關的，可以使相位及頻率的估計均方根誤差降低到原來的，與最好情況接近。4 計算機模擬結果采用單頻率的實正弦波信號迭加高斯白噪聲對本文提出的頻率和初相估計的FFT相位差法進行了Monte Carlo模擬。由于DFT對實信號的信噪比增益為對應的復信號的一半，因此實正弦信號頻率及相位估計的方差為對應的復信號的2倍。所以，對于實信號，前面推導的計算頻率和初相估計的均方根誤差的公式都要乘上。實信號的頻率和初相估值均方根誤差CR下限也為復信號CR下限的倍。模擬中信號的頻率用DFT頻率分辨率的倍數(shù)表示，頻率估計是對相對頻率偏差進行的，可利用將換算成頻率估計的均方根誤差。對于不同的和值的正弦信號在不同的信噪比好DFT長度條件下進行Monte Carlo模擬，模擬結果顯示對于任意的和從到的范圍內(nèi)變化的值，本文提出的相位差法可得到很好的頻率和初相估計，估計誤差與本文給出的公式計算結果相吻合。表1列出的為一個DFT的頻率分辨單元內(nèi)的在若干個頻率上，,經(jīng)100次Monte Carlo模擬，頻率偏差估計的均值和均方根誤差。表1最后一行為將文獻7中表1中同樣情況下的折算成的結果，可見兩者基本相同，但本文的方法只需利用DFT系數(shù)的相位就可以對位于DFT離散譜線之間任意位置的頻率進行估計，而不需利用DFT頻譜 幅度估計頻率。對于給定的參數(shù)，根據(jù)上面得到的公式，可以算出時，可見模擬解雇與理論計算結果基本吻合。表中最后兩行括號內(nèi)為時加4項Blackman-Harris窗后的結果，加窗對DFT頻率插值法估計誤差影響較大，頻率估計均方根誤差約增加一倍，而對DFT相位差估計頻率誤差影響很小。 表2列出的是在條件下，對若干個給定的經(jīng)100次Monte Carlo模擬得到的估計值的均值和均方根誤差。按本文給出的公式計算，模擬結果與理論分析結果基本吻合。圖1和圖2所示分別為頻率和初相估計均方根誤差與信噪比及DFT長度的關系，圖中*代表Monte Carlo模擬結果，點線為按本文給出的公式(實信號)計算結果，劃線為對應實信號的頻率和初相估值均方根誤差CR下限。圖1(a)和圖1(b)所示分別為情況下，頻率和相位估計誤差與信噪比的關系。模擬結果與理論計算結果吻合，頻率估計均方根誤差接近CR下限。信噪比增加6dB,估值均方根誤差降低一半，圖2(a)和2(b)所示分別為在條件下，頻率估值和初相估值均方根誤差隨數(shù)據(jù)長度N變化的情況。模擬結果與按公式計算結果基本吻合，N增加4倍，頻率和相位估計均方根誤差降低一半。從圖1和圖2可見，頻率估計誤差接近(實信號)CR下限，初相估計均方根誤差約為(實信號) CR下限的2倍。5 結論及實際應用本文提出了一種利用DFT頻譜的相位估計正弦信號的頻率和初相的新方法，在信噪比為6dB、數(shù)據(jù)長度為1024的情況下，頻率估計均方根誤差為對應的DFT的頻率分辨率的1%，與文獻7提出的利用DFT頻譜的相位估計信號頻率的方法相比，本文提出的方法避免了相位模糊問題，從而僅利用DFT最大譜線處的相位對位于兩條譜線之間的任意位置的信號頻率都能得到滿意的估計，不需利用DFT頻率插值法對相位法進行補償，頻率估計均方根誤差接近CR下限，與文獻7的綜合方法基本相同。為了抑制頻譜泄露，通常在FFT之前對數(shù)據(jù)進行加窗處理，計算機模擬結果顯示，加窗對DFT頻率插值法估計誤差影響較大，而對DFT相位差法估計誤差影響很小。此外，本文提出的方法可以估計信號的初相，初相估計均方根誤差略高于CR下限的2倍。本文提出的頻率和初相估計方法比文獻5和6采用的基于信號瞬時相位的頻率估計方法的信噪比閾值低很多，在低信噪比情況下，適當增加采樣點數(shù)，計算機模擬顯示仍能得到很好的頻率和初相的估計。本文還給出了白噪聲背景下頻率和初相估計均方根誤差與信噪比及DFT長度的關系式，公式計算結果與計算機模擬結果很好地吻合。本文介紹的頻率估計方法已在FMCW液位測量雷達中得到應用，該系統(tǒng)采用具有極高的頻率穩(wěn)定性和掃頻線性度的集成微波組件作為掃頻源，發(fā)射信號中心頻率10GHz，掃描帶寬1.5GHz,直接利用DFT頻譜測量距離的分辨率為10cm。在實驗室內(nèi)(差拍信號的信噪比在10dB以上)，實際測量結果顯示采用本文提出的DFT相位差估計頻率的方法測量距離的均方根誤差小于0.5mm，超過采用其它譜估計方法達到的距離測量精度。參考文獻：1劉渝?？焖俑呔日?