衛(wèi)生統(tǒng)計學專題九：方差分析

1 專題九 方差分析 方差分析（ ANOVA），又稱 F 檢驗，是一種以 分析數(shù)據(jù)的變異 為基礎 ，以 F 值為統(tǒng)計量的計量資料的假設檢驗方法。用于 多個均數(shù)的比較 。 方差分析的基本思想 和應用條件 根據(jù)資料的設計類型（即變異的不同來源），將全部觀察值之間的總變異按設計類型分解為兩個或多個組成部分，通過比較不同變異來源的 均 方 ，借助 F 分布做出統(tǒng)計推斷。 方差分析的應用條件： 各觀察值相互獨立，且每一水平下的觀察值均服從 正態(tài)分布 。 各總體方差相等，即具有 方差齊性 。 對于不滿足方差分析應用條件的資料，可采用以下兩種方式進行處理： 變量變換，是指滿足方差分析的基本假定。 應用非參數(shù)統(tǒng)計分析方法。 完全隨 機 設計的 ANOVA 各組樣本均數(shù)各不相等，這種差異可能由兩種 原因引起： 隨機誤差； 處理因素。 完全隨機設計的變異分解： 完全隨機設計（成組設計）資料的總變異可以分解為 組間變異 和 組內(nèi)變異 。 總 變異： SS總，用所有觀察值與均數(shù)的離均差平方和表示。 SS總 = i j 2ij xx ）（， 總 =N-1（ N 為總例數(shù)） 組間變異： SS組間，用各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和表示。 SS組間 = i 2ii xxn ）（， 組間 =k-1（ k為處理組數(shù)） 組內(nèi)變異： SS組內(nèi)，用各組內(nèi)每個測量值 xij與該組均數(shù)得離均差平方和表示，僅反映隨機 誤差，又稱誤差變異。 SS組內(nèi) = i j 2iij xx ）（， 組內(nèi) =N-k 三種變異及相關自由度的關系為： SS總 =SS組間 +SS組內(nèi)，總 =組間 +組內(nèi) 均方 MS組間 =SS組間 組間； MS組內(nèi) = SS組內(nèi) 組內(nèi) 方差分析的統(tǒng)計量 F： F=MS組間 MS組內(nèi) F界值表： 縱標目為組間自由度 1，橫標目為組內(nèi)自由度 2，表中給出了 =0.05 和 =0.01 時供方差分析用的單側 F 界值，用 F ，（ 1， 2）表示。 若 F F ，（ 1， 2），則 P ，按 水準拒絕 H0， 接受 H1，差別有統(tǒng)計學意義，可以認為總體均數(shù)不等或不全等（處理因素有效應）；反之，則差別無統(tǒng)計學意義，尚不能認為總體均數(shù)不等或不全等（尚不能認為處理因素有效應）。 完全隨機設計方差分析計算公式 變異來源 SS MS F 組間變異（處理） i 2ii xxn ）（ k-1 1kSS組間組內(nèi)組間MSMS 組內(nèi)變異（誤差） i j 2iij xx ）（ N-k k-NSS組內(nèi) 總變異 2x - Nx 2 N-1 【小結】 完全隨即設計資料的總變異可分解為組間變異和組內(nèi)變異兩部分。 方差分析常用于三個及以上均數(shù)的比較，當用于兩個均數(shù)的比較時，同一資料所得結果與 t 檢驗 等價 ，即 F=t2 方差分析的結果若拒絕 H0，而接受 H1，只說明多個總體均數(shù)中至少有兩個均數(shù)不同，不能說明任意兩個總體均數(shù)都有差別；若要比較那兩組均數(shù)有差別，需進一步進行 多個均數(shù)間的兩兩比較 。 隨機區(qū)組設計的 ANOVA 隨機區(qū)組設計的變異分解： SS總 =SS處理 +SS區(qū)組 +SS誤差，總 =處理 +區(qū)組 +誤差 用 k 表示處理組數(shù)， b 表示區(qū)組數(shù)，實驗觀察值 xij下標 i（ i=1， 2， ， k）表示組別，下標 j（ j=1， 2， ， b）表示區(qū)組序號。 完全隨機設計方差分析計算公式 變異來源 SS MS F 處理組 i 2ii xxn k-1 1kSS處理誤差處理MSMS 2 區(qū)組 j 2jj xxn b-1 1bSS區(qū)組誤差區(qū)組MSMS誤差 SS總 -SS處理 -SS區(qū)組 N-k-b-1或（ k-1）（ b-1） 1bkNSS 誤差總變異 2x - Nx 2 N-1 1NSS總隨機區(qū)組設計資料的 ANOVA的基本步驟： 建 立假設檢驗，確定檢驗水準： 對于處理組： H0： 1= 2= k，即 相同； H1： 1、 2、 k不等或不全等，即 不同或不全同。 對于區(qū)組： H0： k個區(qū)組的總體均數(shù)相等； H1： k個區(qū)組的總體均數(shù)不等或不全等。 計算檢驗統(tǒng)計量： F= MS處理 MS誤差； F= MS區(qū)組 MS誤差 確定 P 值，做出統(tǒng)計推斷。 對處理組：以 1=k-1， 2=N-k-b-1或（ k-1）（ b-1），查 F 界值表，確定 P 值，做出統(tǒng)計推斷。 對區(qū)組：以 1=b-1， 2= N-k-b-1或（ k-1）（ b-1），查 F 界值表，確定 P 值，做出統(tǒng)計推斷。 【注意】 隨機區(qū)組設計資料的總變異可以分解為處理組間變異、區(qū)組間變異和誤差變異三個部分。 隨機區(qū)組設計與完全隨機設計相比，由于利用區(qū)組控制了可能的混雜因素，并在進行方差分析時，將區(qū)組間變異從原組內(nèi)變異中分離出來，當區(qū)組間變異有統(tǒng)計學意義時，由于減少了誤差均方使處理間的 F 值更容易出現(xiàn)顯著性，從而提高了實驗效率。 隨機區(qū)組設計是配對設計的擴展，當 k=2時，隨機區(qū)組設計的方差分析 與配對資料的 t 檢驗 完全等價，即 F=t2。（平方關系） 多個樣本均數(shù)的兩兩比較 多個樣本均數(shù)經(jīng)方差分析后，若有統(tǒng)計學意義，需用兩兩比較的方法進一步確定哪些均數(shù)相等，哪些均數(shù)不等。 多組均數(shù)假的兩兩比較不能用 t 檢驗，會增大 型錯誤 。 兩兩比較的方法較多，常用的是多重比較，多重比較法有兩種情況： 探索性研究 ， 即事先沒有計劃的任意兩個均數(shù)的事后比較： SNK-q檢驗、 Bonfferoni t 檢驗。 證實性研究 ，即事先有明確假設，用于多組中某一對或某幾對在專業(yè)上有特殊意義的均數(shù)間的比較： Dunnett-t 檢驗、 LSD-t檢驗、 Bonfferoni t 檢驗等。 SNK-q檢驗與 LSD-t檢驗的比較 SNK-q檢驗 LSD-t 檢驗 應用 探索性研究 證實性研究 H0 A= B，即任兩對比組的總體均數(shù)相等。 A= B，即 所研究的 兩對比組的總體均數(shù)相等 。 檢驗統(tǒng)計量 q=BA x-xBASx-x = BABAn1n12MSx-x誤差t=BA x-xBASx-x = BABAn1n12MSx-x誤差 = 誤差 = 誤差 【注意】統(tǒng)計軟件可以同時進行十多種多重比較檢驗，因此在應用時，應根據(jù)統(tǒng)計設計和專業(yè)知識來確定采用哪一種方法，不能多種方法一起使用，然后選取“有利”的結果。 交叉設計的 ANOVA 兩階段交叉設計的變異分解： 二階段交叉設計方差分析的總變異可以分解為 處理間變異 、 階段間變異 、 個體變異 和 誤差變異 四個部分。 SS總 =SS處理 +SS階段 +SS個體 +SS誤差，總 =處理 +階段 +個體 +誤差 兩階段交叉設計的方差分析基本步驟： 建立建設檢驗，確定檢驗水準。 計算檢驗統(tǒng)計量 F 值： MS階段 MS誤差、 MS個體 MS誤差、 MS處理 MS誤差； 確定 P 值，做出統(tǒng)計推斷。 【說明】 交叉設計可以采用完全隨機設計或配對設計方法來安 排其受試對象。 交叉實驗的處理是單因素的，但影響實驗結果的因素還有非人為控制的受試者之間的個體差異和試驗階段這兩個因素。因此交叉設計試驗實際上是一個試驗因素和兩個重要的非實驗因素的多因素實驗。 析因設計的 ANOVA 析因設計資料的方差分析包括 主效應分析 、 交互效應分析 和 單獨效應分析 三個層次。 單獨效應：是指其他 因素的水平固定時，同一因素不同水平間的差別。 主效應：是指某一因素各水平間的平均差別。 交互效應：是指當某一因素的各單獨效應隨某一因素水平的變化而變化時則稱這兩個因素間存在交互效應。 兩因素析因設計即 I J 析因設計，表示有兩種處理因素，第一種處理因素有 I個水平，第二種因素有 J 個水平，共有 IJ 種處理組合。 3 析因設計的變異分解： SS總 =SS處理 + SS誤差 =（ SSA+SSB+SSAB） +SSE，總 =處理 +誤差 =（ A+ B+ AB） + E 若處理因素 A 有 a個水平，處理因素 B有 b個水平，每個處理因 素組含有 n個受試對象，則全部收拾對象的總數(shù) N=a b n。用 xijk表示每個受試對象的觀察值，其中 i（ i=1， 2， ， a）表示 A 因素的水平。 j（ j=1， 2， ， b）表示 B 因素有 b個水平； k（ k=1， 2， ， n）表示 A、 B兩因素不同水平組合下受試對象的序號。 析因設計方差分析計算表 變異來源 SS MS F 處理 i j 2ijij xxn ab-1 A i 2ii xxn a-1 1aSSA誤差MSMSA B j 2jj xxn b-1 1-bSSB誤差MSMSB AB SS處理 -SSA-SSB （ a-1）（ b-1） 1b1-a SS AB誤差MSMSAB 誤差 SS誤差 =SS總 -SS處理 N-ab 或 ab（ n-1） 1nabSS 誤差總變異 Nxx 22 N-1或（ abn-1） 1NSS總兩因素析因設計資料方差分析的基本步驟： 對于因素 A、 B、交互作用 AB分別建立假設檢驗，確定檢驗水準。 檢驗假設： 對于因素 A： H0： A 因素各水平總體均數(shù)相等； H1： A 因素各水平總體均數(shù)不相等； 對于因素 B： H0： B因素各水平總體均數(shù)相等； H1： B因素各水平總體均數(shù)不相等； 對于交互作用 AB： H0： A、 B無交互作用 ； H1： A、 B有 交互作用 ； 計算檢驗統(tǒng)計量：列表計算各組均數(shù)及方差分析表 。 確定 P 值，做出統(tǒng)計推斷。 【說明】 析因設計是將兩個或多個實驗因素的各水平進行交叉分組、全面實驗的方法。因此析因設計的方差分析被廣泛用于需要分析交互效應和選擇最佳組合的實驗研究中。 析因設計不但可以分析主效應和交互效應，也可以分析單獨效應，故效率較高，但當因素太多時，所需的樣本含量會很大。 對析因設計資料，應先分析交互效應，若交互效應有統(tǒng)計學意義，方進一步分析個因素的單獨效應。反之，若交互效應無統(tǒng)計學意義，則因素之間的作用相互獨立，分析某一因素的作用只需考慮因素的主效應。 重復測量設計的 ANOVA 重復測量設計是指給予一種或多種處理后，在多個時間點上從同一受試對象重復獲得指標的觀察值。 重復測量數(shù)據(jù)的兩因素多水平設計，兩因素是指處理因素和處理時間；多水平是指處理有 k（ 1）個水平；測量時間有i（ i 2）個水平（時間點），即每個觀察對象有 i個重復測量數(shù)據(jù)。 重復測量設計的變異分解： 兩因素重復測量設計的總變異包括兩部分 ： 受試對象間變異 、 受試對象內(nèi)變異 。 SS總 =SS受試對象間 +SS受試對象內(nèi) =（ SS處理 +SS個體間誤差） +SS時間 +SS處理與時間交互作用 +SS個體內(nèi)誤差 總 =受試對象間 +受試對象內(nèi) =（處理 +個體間誤差） +時間 +處理與時間交互作用 +個體內(nèi)誤差 重復測量設計方差分析的基本步驟： 對于處理因素、時間因素、交互作用分別建立檢驗假設，確定檢驗水準； 計算檢驗統(tǒng)計量： SPSS軟件 確定 P 值，做出統(tǒng)計推斷； 重復測量設計方差分析的前提條件： 正態(tài)性和方差齊性； 協(xié)方差陣地球形性或復合對稱性 。球?qū)ΨQ性： Mauchly 檢驗 。 【注意】 若資料不滿足球?qū)ΨQ性，則方差分析的 F 值有偏，通常會增大 型錯誤的概率。 資料滿足球?qū)ΨQ性時，可采用重復測量設計資料的單變量方差分析方法；若資料不滿足球?qū)ΨQ性，可用 Greenhouse-Geisser、Huynh-Feldt 或 Lower-bound三種“球?qū)ΨQ”系數(shù)對自由度進行校正或采用多變量方差分析的方法。 【小結】 完全隨機設計資料的方