衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)專題九：方差分析

1 專題九 方差分析 方差分析（ ANOVA），又稱 F 檢驗(yàn)，是一種以 分析數(shù)據(jù)的變異 為基礎(chǔ) ，以 F 值為統(tǒng)計(jì)量的計(jì)量資料的假設(shè)檢驗(yàn)方法。用于 多個(gè)均數(shù)的比較 。 方差分析的基本思想 和應(yīng)用條件 根據(jù)資料的設(shè)計(jì)類型（即變異的不同來源），將全部觀察值之間的總變異按設(shè)計(jì)類型分解為兩個(gè)或多個(gè)組成部分，通過比較不同變異來源的 均 方 ，借助 F 分布做出統(tǒng)計(jì)推斷。 方差分析的應(yīng)用條件： 各觀察值相互獨(dú)立，且每一水平下的觀察值均服從 正態(tài)分布 。 各總體方差相等，即具有 方差齊性 。 對于不滿足方差分析應(yīng)用條件的資料，可采用以下兩種方式進(jìn)行處理： 變量變換，是指滿足方差分析的基本假定。 應(yīng)用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析方法。 完全隨 機(jī) 設(shè)計(jì)的 ANOVA 各組樣本均數(shù)各不相等，這種差異可能由兩種 原因引起： 隨機(jī)誤差； 處理因素。 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的變異分解： 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)（成組設(shè)計(jì)）資料的總變異可以分解為 組間變異 和 組內(nèi)變異 。 總 變異： SS總，用所有觀察值與均數(shù)的離均差平方和表示。 SS總 = i j 2ij xx ）（， 總 =N-1（ N 為總例數(shù)） 組間變異： SS組間，用各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和表示。 SS組間 = i 2ii xxn ）（， 組間 =k-1（ k為處理組數(shù)） 組內(nèi)變異： SS組內(nèi)，用各組內(nèi)每個(gè)測量值 xij與該組均數(shù)得離均差平方和表示，僅反映隨機(jī) 誤差，又稱誤差變異。 SS組內(nèi) = i j 2iij xx ）（， 組內(nèi) =N-k 三種變異及相關(guān)自由度的關(guān)系為： SS總 =SS組間 +SS組內(nèi)，總 =組間 +組內(nèi) 均方 MS組間 =SS組間 組間； MS組內(nèi) = SS組內(nèi) 組內(nèi) 方差分析的統(tǒng)計(jì)量 F： F=MS組間 MS組內(nèi) F界值表： 縱標(biāo)目為組間自由度 1，橫標(biāo)目為組內(nèi)自由度 2，表中給出了 =0.05 和 =0.01 時(shí)供方差分析用的單側(cè) F 界值，用 F ，（ 1， 2）表示。 若 F F ，（ 1， 2），則 P ，按 水準(zhǔn)拒絕 H0， 接受 H1，差別有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，可以認(rèn)為總體均數(shù)不等或不全等（處理因素有效應(yīng)）；反之，則差別無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，尚不能認(rèn)為總體均數(shù)不等或不全等（尚不能認(rèn)為處理因素有效應(yīng)）。 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析計(jì)算公式 變異來源 SS MS F 組間變異（處理） i 2ii xxn ）（ k-1 1kSS組間組內(nèi)組間MSMS 組內(nèi)變異（誤差） i j 2iij xx ）（ N-k k-NSS組內(nèi) 總變異 2x - Nx 2 N-1 【小結(jié)】 完全隨即設(shè)計(jì)資料的總變異可分解為組間變異和組內(nèi)變異兩部分。 方差分析常用于三個(gè)及以上均數(shù)的比較，當(dāng)用于兩個(gè)均數(shù)的比較時(shí)，同一資料所得結(jié)果與 t 檢驗(yàn) 等價(jià) ，即 F=t2 方差分析的結(jié)果若拒絕 H0，而接受 H1，只說明多個(gè)總體均數(shù)中至少有兩個(gè)均數(shù)不同，不能說明任意兩個(gè)總體均數(shù)都有差別；若要比較那兩組均數(shù)有差別，需進(jìn)一步進(jìn)行 多個(gè)均數(shù)間的兩兩比較 。 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的 ANOVA 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的變異分解： SS總 =SS處理 +SS區(qū)組 +SS誤差，總 =處理 +區(qū)組 +誤差 用 k 表示處理組數(shù)， b 表示區(qū)組數(shù)，實(shí)驗(yàn)觀察值 xij下標(biāo) i（ i=1， 2， ， k）表示組別，下標(biāo) j（ j=1， 2， ， b）表示區(qū)組序號。 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)方差分析計(jì)算公式 變異來源 SS MS F 處理組 i 2ii xxn k-1 1kSS處理誤差處理MSMS 2 區(qū)組 j 2jj xxn b-1 1bSS區(qū)組誤差區(qū)組MSMS誤差 SS總 -SS處理 -SS區(qū)組 N-k-b-1或（ k-1）（ b-1） 1bkNSS 誤差總變異 2x - Nx 2 N-1 1NSS總隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的 ANOVA的基本步驟： 建 立假設(shè)檢驗(yàn)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)： 對于處理組： H0： 1= 2= k，即 相同； H1： 1、 2、 k不等或不全等，即 不同或不全同。 對于區(qū)組： H0： k個(gè)區(qū)組的總體均數(shù)相等； H1： k個(gè)區(qū)組的總體均數(shù)不等或不全等。 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： F= MS處理 MS誤差； F= MS區(qū)組 MS誤差 確定 P 值，做出統(tǒng)計(jì)推斷。 對處理組：以 1=k-1， 2=N-k-b-1或（ k-1）（ b-1），查 F 界值表，確定 P 值，做出統(tǒng)計(jì)推斷。 對區(qū)組：以 1=b-1， 2= N-k-b-1或（ k-1）（ b-1），查 F 界值表，確定 P 值，做出統(tǒng)計(jì)推斷。 【注意】 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的總變異可以分解為處理組間變異、區(qū)組間變異和誤差變異三個(gè)部分。 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)與完全隨機(jī)設(shè)計(jì)相比，由于利用區(qū)組控制了可能的混雜因素，并在進(jìn)行方差分析時(shí)，將區(qū)組間變異從原組內(nèi)變異中分離出來，當(dāng)區(qū)組間變異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義時(shí)，由于減少了誤差均方使處理間的 F 值更容易出現(xiàn)顯著性，從而提高了實(shí)驗(yàn)效率。 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)是配對設(shè)計(jì)的擴(kuò)展，當(dāng) k=2時(shí)，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的方差分析 與配對資料的 t 檢驗(yàn) 完全等價(jià)，即 F=t2。（平方關(guān)系） 多個(gè)樣本均數(shù)的兩兩比較 多個(gè)樣本均數(shù)經(jīng)方差分析后，若有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，需用兩兩比較的方法進(jìn)一步確定哪些均數(shù)相等，哪些均數(shù)不等。 多組均數(shù)假的兩兩比較不能用 t 檢驗(yàn)，會(huì)增大 型錯(cuò)誤 。 兩兩比較的方法較多，常用的是多重比較，多重比較法有兩種情況： 探索性研究 ， 即事先沒有計(jì)劃的任意兩個(gè)均數(shù)的事后比較： SNK-q檢驗(yàn)、 Bonfferoni t 檢驗(yàn)。 證實(shí)性研究 ，即事先有明確假設(shè)，用于多組中某一對或某幾對在專業(yè)上有特殊意義的均數(shù)間的比較： Dunnett-t 檢驗(yàn)、 LSD-t檢驗(yàn)、 Bonfferoni t 檢驗(yàn)等。 SNK-q檢驗(yàn)與 LSD-t檢驗(yàn)的比較 SNK-q檢驗(yàn) LSD-t 檢驗(yàn) 應(yīng)用 探索性研究 證實(shí)性研究 H0 A= B，即任兩對比組的總體均數(shù)相等。 A= B，即 所研究的 兩對比組的總體均數(shù)相等 。 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 q=BA x-xBASx-x = BABAn1n12MSx-x誤差t=BA x-xBASx-x = BABAn1n12MSx-x誤差 = 誤差 = 誤差 【注意】統(tǒng)計(jì)軟件可以同時(shí)進(jìn)行十多種多重比較檢驗(yàn)，因此在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)設(shè)計(jì)和專業(yè)知識來確定采用哪一種方法，不能多種方法一起使用，然后選取“有利”的結(jié)果。 交叉設(shè)計(jì)的 ANOVA 兩階段交叉設(shè)計(jì)的變異分解： 二階段交叉設(shè)計(jì)方差分析的總變異可以分解為 處理間變異 、 階段間變異 、 個(gè)體變異 和 誤差變異 四個(gè)部分。 SS總 =SS處理 +SS階段 +SS個(gè)體 +SS誤差，總 =處理 +階段 +個(gè)體 +誤差 兩階段交叉設(shè)計(jì)的方差分析基本步驟： 建立建設(shè)檢驗(yàn)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)。 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F 值： MS階段 MS誤差、 MS個(gè)體 MS誤差、 MS處理 MS誤差； 確定 P 值，做出統(tǒng)計(jì)推斷。 【說明】 交叉設(shè)計(jì)可以采用完全隨機(jī)設(shè)計(jì)或配對設(shè)計(jì)方法來安 排其受試對象。 交叉實(shí)驗(yàn)的處理是單因素的，但影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的因素還有非人為控制的受試者之間的個(gè)體差異和試驗(yàn)階段這兩個(gè)因素。因此交叉設(shè)計(jì)試驗(yàn)實(shí)際上是一個(gè)試驗(yàn)因素和兩個(gè)重要的非實(shí)驗(yàn)因素的多因素實(shí)驗(yàn)。 析因設(shè)計(jì)的 ANOVA 析因設(shè)計(jì)資料的方差分析包括 主效應(yīng)分析 、 交互效應(yīng)分析 和 單獨(dú)效應(yīng)分析 三個(gè)層次。 單獨(dú)效應(yīng)：是指其他 因素的水平固定時(shí)，同一因素不同水平間的差別。 主效應(yīng)：是指某一因素各水平間的平均差別。 交互效應(yīng)：是指當(dāng)某一因素的各單獨(dú)效應(yīng)隨某一因素水平的變化而變化時(shí)則稱這兩個(gè)因素間存在交互效應(yīng)。 兩因素析因設(shè)計(jì)即 I J 析因設(shè)計(jì)，表示有兩種處理因素，第一種處理因素有 I個(gè)水平，第二種因素有 J 個(gè)水平，共有 IJ 種處理組合。 3 析因設(shè)計(jì)的變異分解： SS總 =SS處理 + SS誤差 =（ SSA+SSB+SSAB） +SSE，總 =處理 +誤差 =（ A+ B+ AB） + E 若處理因素 A 有 a個(gè)水平，處理因素 B有 b個(gè)水平，每個(gè)處理因 素組含有 n個(gè)受試對象，則全部收拾對象的總數(shù) N=a b n。用 xijk表示每個(gè)受試對象的觀察值，其中 i（ i=1， 2， ， a）表示 A 因素的水平。 j（ j=1， 2， ， b）表示 B 因素有 b個(gè)水平； k（ k=1， 2， ， n）表示 A、 B兩因素不同水平組合下受試對象的序號。 析因設(shè)計(jì)方差分析計(jì)算表 變異來源 SS MS F 處理 i j 2ijij xxn ab-1 A i 2ii xxn a-1 1aSSA誤差MSMSA B j 2jj xxn b-1 1-bSSB誤差MSMSB AB SS處理 -SSA-SSB （ a-1）（ b-1） 1b1-a SS AB誤差MSMSAB 誤差 SS誤差 =SS總 -SS處理 N-ab 或 ab（ n-1） 1nabSS 誤差總變異 Nxx 22 N-1或（ abn-1） 1NSS總兩因素析因設(shè)計(jì)資料方差分析的基本步驟： 對于因素 A、 B、交互作用 AB分別建立假設(shè)檢驗(yàn)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)。 檢驗(yàn)假設(shè)： 對于因素 A： H0： A 因素各水平總體均數(shù)相等； H1： A 因素各水平總體均數(shù)不相等； 對于因素 B： H0： B因素各水平總體均數(shù)相等； H1： B因素各水平總體均數(shù)不相等； 對于交互作用 AB： H0： A、 B無交互作用 ； H1： A、 B有 交互作用 ； 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：列表計(jì)算各組均數(shù)及方差分析表 。 確定 P 值，做出統(tǒng)計(jì)推斷。 【說明】 析因設(shè)計(jì)是將兩個(gè)或多個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的各水平進(jìn)行交叉分組、全面實(shí)驗(yàn)的方法。因此析因設(shè)計(jì)的方差分析被廣泛用于需要分析交互效應(yīng)和選擇最佳組合的實(shí)驗(yàn)研究中。 析因設(shè)計(jì)不但可以分析主效應(yīng)和交互效應(yīng)，也可以分析單獨(dú)效應(yīng)，故效率較高，但當(dāng)因素太多時(shí)，所需的樣本含量會(huì)很大。 對析因設(shè)計(jì)資料，應(yīng)先分析交互效應(yīng)，若交互效應(yīng)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，方進(jìn)一步分析個(gè)因素的單獨(dú)效應(yīng)。反之，若交互效應(yīng)無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，則因素之間的作用相互獨(dú)立，分析某一因素的作用只需考慮因素的主效應(yīng)。 重復(fù)測量設(shè)計(jì)的 ANOVA 重復(fù)測量設(shè)計(jì)是指給予一種或多種處理后，在多個(gè)時(shí)間點(diǎn)上從同一受試對象重復(fù)獲得指標(biāo)的觀察值。 重復(fù)測量數(shù)據(jù)的兩因素多水平設(shè)計(jì)，兩因素是指處理因素和處理時(shí)間；多水平是指處理有 k（ 1）個(gè)水平；測量時(shí)間有i（ i 2）個(gè)水平（時(shí)間點(diǎn)），即每個(gè)觀察對象有 i個(gè)重復(fù)測量數(shù)據(jù)。 重復(fù)測量設(shè)計(jì)的變異分解： 兩因素重復(fù)測量設(shè)計(jì)的總變異包括兩部分 ： 受試對象間變異 、 受試對象內(nèi)變異 。 SS總 =SS受試對象間 +SS受試對象內(nèi) =（ SS處理 +SS個(gè)體間誤差） +SS時(shí)間 +SS處理與時(shí)間交互作用 +SS個(gè)體內(nèi)誤差 總 =受試對象間 +受試對象內(nèi) =（處理 +個(gè)體間誤差） +時(shí)間 +處理與時(shí)間交互作用 +個(gè)體內(nèi)誤差 重復(fù)測量設(shè)計(jì)方差分析的基本步驟： 對于處理因素、時(shí)間因素、交互作用分別建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)； 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： SPSS軟件 確定 P 值，做出統(tǒng)計(jì)推斷； 重復(fù)測量設(shè)計(jì)方差分析的前提條件： 正態(tài)性和方差齊性； 協(xié)方差陣地球形性或復(fù)合對稱性 。球?qū)ΨQ性： Mauchly 檢驗(yàn) 。 【注意】 若資料不滿足球?qū)ΨQ性，則方差分析的 F 值有偏，通常會(huì)增大 型錯(cuò)誤的概率。 資料滿足球?qū)ΨQ性時(shí)，可采用重復(fù)測量設(shè)計(jì)資料的單變量方差分析方法；若資料不滿足球?qū)ΨQ性，可用 Greenhouse-Geisser、Huynh-Feldt 或 Lower-bound三種“球?qū)ΨQ”系數(shù)對自由度進(jìn)行校正或采用多變量方差分析的方法。 【小結(jié)】 完全隨機(jī)設(shè)計(jì)資料的方