全等三角形壓軸題分類解析.doc

完美.格式.編輯 三角形全等綜合題歸類一、 雙等邊三角形模型1. （1）如圖1，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD，相交于點(diǎn)E，連結(jié)BC求AEB的大?。籅AODCE圖2CBOD圖1AE（2）如圖2，OAB固定不動(dòng)，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小.2、 如圖a，ABC和CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共頂點(diǎn)C，連接AF和BE.(1)線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論； (2)將圖a中的CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到圖b，(1)中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷并說明理由； (3)若將圖a中的ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，請(qǐng)你畫出一個(gè)變換后的圖形c(草圖即可)，(1)中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷不必說明理由. 3. 如圖1，若和為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)（1）繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，是否成立？若成立,請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由； （2）繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明，若不是，請(qǐng)說明理由 圖84、已知，如圖所示，在和中，且點(diǎn)在一條直線上，連接分別為的中點(diǎn)（1）求證：；CENDABM圖CAEMBDN圖（2）在圖的基礎(chǔ)上，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，得到圖所示的圖形請(qǐng)直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立. CFGEDBAH5. 如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點(diǎn)H（1）證明：ABG ADE ；（2）試猜想BHD的度數(shù)，并說明理由；（3）將圖中正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0BAE 180），設(shè)ABE的面積為，ADG的面積為，判斷與的大小關(guān)系，并給予證明6.已知：如圖，是等邊三角形，過邊上的點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在的延長線上取點(diǎn)，使，連接（1）求證：；（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，請(qǐng)你連接，并判斷是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論二、 垂直模型（該模型在基礎(chǔ)題和綜合題中均為重點(diǎn)考察內(nèi)容）考點(diǎn)1：利用垂直證明角相等1、如圖，ABC中，ACB90，ACBC，AE是BC邊上的中線，過C作CFAE，垂足為F，過B作BDBC交CF的延長線于D求證：（1）AECD； （2）若AC12 cm，求BD的長 2、如圖(1), 已知ABC中, BAC=900, AB=AC, AE是過A的一條直線, 且B、C在A、E的異側(cè), BDAE于D, CEAE于E 。 (1)試說明: BD=DE+CE.(2) 若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(2)位置時(shí)(BDCE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的關(guān)系如何? 說明理由。3. 直線CD經(jīng)過的頂點(diǎn)C，CA=CBE、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且（1）若直線CD經(jīng)過的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題：如圖1，若，則 （填“”，“”或“”號(hào)）；如圖2，若，若使中的結(jié)論仍然成立，則 與 應(yīng)滿足的關(guān)系 ；ABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖3（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過的外部，請(qǐng)?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明考點(diǎn)2：利用角相等證明垂直1、 如圖，在等腰RtABC中，ACB=90，D為BC的中點(diǎn)，DEAB，垂足為E，過點(diǎn)B作BFAC交DE的延長線于點(diǎn)F，連接CF(1)求證：CD=BF；(2)求證：ADCF；(3)連接AF，試判斷ACF的形狀.ABCDEF圖92、如圖9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，求證：ADCBDE3. 如圖1，已知正方形的邊在正方形的邊上，連接，.（1）試猜想與有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在邊上，如圖2，連接和.你認(rèn)為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.4.如圖1，的邊BC在直線上，且的邊也在直線 上，邊與邊重合，且（1）在圖1中，請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量，猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將沿直線向左平移到圖2的位置時(shí)，交于點(diǎn),連接.猜想并寫出與所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；（3）將沿直線向左平移到圖3的位置時(shí)，的延長線交的延長線于點(diǎn)Q,連結(jié),你認(rèn)為（2）中所猜想的與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由. ABECFPl(3)Ql(1)AB(F)(E)CPABECFPQ(2)l三、 等腰三角形（中考重難點(diǎn)之一）考點(diǎn)1：等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用1. 如圖，中，是中點(diǎn)，與交于，與 交于求證：，2. 兩個(gè)全等的含，角的三角板和三角板，如圖所示放置，三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)試判斷的形狀，并說明理由3、 已知中，為邊的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于、當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立? 若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并證明4、已知：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G。(1) BF=AC (2) CE=BF (3)CE與BC的大小關(guān)系如何?？键c(diǎn)2：等腰直角三角形（45度的聯(lián)想）1、如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F. 如圖141，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 通過測(cè)量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是 ； 請(qǐng)證明你的上述兩猜想. 如圖142，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N, 使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明2. 在RtABC中，ACBC，ACB90，D是AC的中點(diǎn)，DGAC交AB于點(diǎn)G.（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DG上，且DE=DF，連結(jié)EF與 CF，過點(diǎn)F作FHFC，交直線AB于點(diǎn)H求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明（2）若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變（本小題直接寫出結(jié)論，不必證明）圖1圖23、 已知：ABC為等邊三角形，M是BC延長線上一點(diǎn)，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)A，且60角的頂點(diǎn)E在BC上滑動(dòng)，（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），斜邊與ACM的平分線CF交于點(diǎn)F（1）如圖（1）當(dāng)點(diǎn)E在BC邊得中點(diǎn)位置時(shí) 猜想AE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是 . 連結(jié)點(diǎn)E與邊得中點(diǎn)，猜想和滿足的數(shù)量關(guān)系是.請(qǐng)證明你的上述猜想；（）如圖（）當(dāng)點(diǎn)在邊得任意位置時(shí)，和EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由？EACBDE四、 角平分線問題1. 如圖：E在線段CD上，EA、EB分別平分DAB和CBA, AEB=90,設(shè)AD, BC，且滿足（1）求AD和BC的長；（2）你認(rèn)為AD和BC還有什么關(guān)系？并驗(yàn)證你的結(jié)論；（3）你能求出AB的長度嗎？若能，請(qǐng)寫出推理過程；若不能，請(qǐng)說明理由.2. 如圖，OP是MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。3.如圖，在四邊形中，平分，過作，并且，則等于多少？4. 如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.五、中點(diǎn)問題1. 在ABC中, 為的中點(diǎn)， 過點(diǎn)的直線交于, 交的平行線于點(diǎn)。, 并交于點(diǎn). 連結(jié).（1）求證: ；（2）請(qǐng)猜想與的大小關(guān)系, 并加以證明2、已知中，為的延長線，且，為的邊上的中線求證3、以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，.連接，、分別是、的中點(diǎn)探究：與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，與的位置關(guān)系是 ；線段與的數(shù)量關(guān)系是 ；將圖中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)()后，如圖所示，問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由 3、已知：如圖，矩形中點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)分別在上，且。（1）若，求的長；（2）若，求