一元二次方程應(yīng)用講義.doc

。學(xué)生： 丁訸愷 科目： 數(shù)學(xué) 第 階段第 次課 教師： 譚前富 課 題一元二次方程的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1、 學(xué)會將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決2、 運(yùn)用設(shè)未知數(shù)，列方程的方法解決有關(guān)實(shí)際問題3、 解決生活中的增長率、利潤、面積及其他方面的問題重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：列方程解應(yīng)用題.難點(diǎn)：會用含未知數(shù)的代數(shù)式恰當(dāng)?shù)谋硎驹鲩L率問題、利潤、面積等；教學(xué)內(nèi)容1、 知識要點(diǎn):列一元兒次方程解應(yīng)用題在初中階段主要有三類問題：（1）變化率問題；（2） 市場營銷中單價(jià)、銷量、銷售額以及利潤之間的相互關(guān)系問題；（3） 根據(jù)圖形中的線段長度、面積之間的相互關(guān)系建立方程的問題重要提示：1、 增長率問題：若原數(shù)為a，增長率為x，則連續(xù)增長n次后為a.2、 利潤問題： (1)毛利潤=售出價(jià)-進(jìn)貨價(jià) (2)純利潤=售出價(jià)-進(jìn)貨價(jià)-其他費(fèi)用 (3)利潤率=x100%3、 儲蓄問題：（1） 利息=本金X年（月）利率X年（月）數(shù)（2）本息和=1+年（月）利率X年（月）數(shù)X本金（不計(jì)利息稅）（3）利息稅=利息X稅率二、列方程解應(yīng)用題的基本步驟： 審（審題）；找（找出題中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本數(shù)量關(guān)系、相等關(guān)系）；設(shè)（設(shè)元，包括設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)）；表（用所設(shè)的未知數(shù)字母的代數(shù)式表示其他的相關(guān)量）；列（根據(jù)等量關(guān)系列方程）；解（解方程）；檢驗(yàn)（注意根的準(zhǔn)確性及是否符合實(shí)際意義）三、例題指導(dǎo)一、增長率問題例1恒利商廈九月份的銷售額為200萬元，十月份的銷售額下降了20%，商廈從十一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá)到了193.6萬元，求這兩個(gè)月的平均增長率.解設(shè)這兩個(gè)月的平均增長率是x.，則根據(jù)題意，得200(120%)(1+x)2193.6，即(1+x)21.21，解這個(gè)方程，得x10.1，x22.1（舍去）.答這兩個(gè)月的平均增長率是10%.說明這是一道正增長率問題，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個(gè)數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2n求解，其中mn.對于負(fù)的增長率問題，若經(jīng)過兩次相等下降后，則有公式m(1x)2n即可求解，其中mn.二、商品定價(jià)例2益群精品店以每件21元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)a元，則可賣出（35010a）件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計(jì)劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)多少？解根據(jù)題意，得(a21)(35010a)400，整理，得a256a+7750，解這個(gè)方程，得a125，a231.因?yàn)?1(1+20%)25.2，所以a2=31不合題意，舍去.所以35010a3501025100（件）.答需要進(jìn)貨100件，每件商品應(yīng)定價(jià)25元.說明商品的定價(jià)問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點(diǎn).三、儲蓄問題例3王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.（假設(shè)不計(jì)利息稅）解設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x.則根據(jù)題意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理，得90x2+145x30.解這個(gè)方程，得x10.02042.04%，x21.63.由于存款利率不能為負(fù)數(shù)，所以將x21.63舍去.答第一次存款的年利率約是2.04%.說明這里是按教育儲蓄求解的，應(yīng)注意不計(jì)利息稅.四、面積計(jì)算例4將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m）（1）設(shè)計(jì)方案1（如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.（2）設(shè)計(jì)方案2（如圖3）花園中每個(gè)角的扇形都相同.以上兩種方案是否都能符合條件?若能，請計(jì)算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請說明理由.解都能.（1）設(shè)小路寬為x，則18x+16xx21815，即x234x+1800，解這個(gè)方程，得x，即x6.6.（2）設(shè)扇形半徑為r，則3.14r21815，即r257.32，所以r7.6.說明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等等.圖2圖4圖3五、動態(tài)幾何問題例5如圖4所示，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動.（1）如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為8平方厘米？（2）點(diǎn)P、Q在移動過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得PCQ的面積等于ABC的面積的一半.若存在，求出運(yùn)動的時(shí)間；若不存在，說明理由.解因?yàn)镃90，所以AB10（cm）.（1）設(shè)xs后，可使PCQ的面積為8cm2，所以 APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm.則根據(jù)題意，得(6x)2x8.整理，得x26x+80，解這個(gè)方程，得x12，x24.所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使PCQ的面積為8cm2.（2）設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后，PCQ的面積等于ABC面積的一半.則根據(jù)題意，得(6x)2x68.整理，得x26x+120.由于此方程沒有實(shí)數(shù)根，所以不存在使PCQ的面積等于ABC面積一半的時(shí)刻.說明本題雖然是一道動態(tài)型應(yīng)用題，但它又要運(yùn)用到行程的知識，求解時(shí)必須依據(jù)路程速度時(shí)間.六、梯子問題例6一個(gè)長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.（1）若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑動1m，梯子的頂端滑動多少米？（3）如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的距離，那么滑動的距離是多少米？解依題意，梯子的頂端距墻角8（m）.（1）若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設(shè)梯子底端滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解這個(gè)方程，得x11.14，x213.14（舍去），所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動約1.14m.（2）當(dāng)梯子底端水平向外滑動1m時(shí)，設(shè)梯子頂端向下滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8x)2+(6+1)2100.整理，得x216x+130.解這個(gè)方程，得x10.86，x215.14（舍去）.所以若梯子底端水平向外滑動1m，則頂端下滑約0.86m.（3）設(shè)梯子頂端向下滑動xm時(shí)，底端向外也滑動xm.則根據(jù)勾股定理，列方程 (8x)2+(6+x)2102，整理，得2x24x0，解這個(gè)方程，得x10（舍去），x22.所以梯子頂端向下滑動2m時(shí)，底端向外也滑動2m.說明求解時(shí)應(yīng)注意無論梯子沿墻如何上下滑動，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形.四、同步訓(xùn)練（一）、與增長率有關(guān)的應(yīng)用題 變化前數(shù)量（1x）n變化后數(shù)量1、某房屋開發(fā)公司經(jīng)過幾年的不懈努力，開發(fā)建設(shè)住宅面積由2000年4萬平方米，到2002年的7萬平方米。設(shè)這兩年該房屋開發(fā)公司開發(fā)建設(shè)住宅面積的年平均增長率為x ，則可列方程為_；2、某地區(qū)開展“科技下鄉(xiāng)”活動三年來，接受科技培訓(xùn)的人員累計(jì)達(dá)95萬人次，其中第一年培訓(xùn)了20萬人次。求每年接受科技培訓(xùn)的人次的平均增長率。3、某戶種植花生，原來種植的花生畝產(chǎn)量為200千克，出油率為50%?，F(xiàn)在種植新品種花生后，每畝收獲的花生可加工成花生油132千克，其中畝產(chǎn)量的增長率是花生出油率的增長率的2倍。求新品種花生畝產(chǎn)量的增長率。4、宏欣機(jī)械廠生產(chǎn)某種型號的鼓風(fēng)機(jī)，一月至六月份的產(chǎn)量如下：月 份一二三四五六產(chǎn)量(臺)505148505249(1)求上半年鼓風(fēng)機(jī)月產(chǎn)量和平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)；(2)由于改進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)，計(jì)劃八月份生產(chǎn)鼓風(fēng)機(jī)72臺，與上半年月產(chǎn)量平均數(shù)相比，七、八月鼓風(fēng)機(jī)生產(chǎn)量平均每月的增長率是多少？5、云南省2006年至2007年茶葉種植面積與產(chǎn)茶面積情況如表所示，表格中的、分別為2006年和2007年全省茶葉種植面積：年份種植面積（萬畝）產(chǎn)茶面積（萬畝）2006年2007年合計(jì)（1）請求出表格中、的值；（2）在2006年全省種植的產(chǎn)茶面積中，若平均每畝產(chǎn)茶52千克，為使我省2008年全省茶葉種植產(chǎn)茶總產(chǎn)量達(dá)到22萬噸，求2006年至2008年全省年產(chǎn)茶總產(chǎn)量的平均增長率（精確到0.01）（說明：茶葉種植面積產(chǎn)茶面積未產(chǎn)茶面積）（二）、與商店商品漲降價(jià)有關(guān)的應(yīng)用題一件商品的利潤銷售量=總利潤 售價(jià)進(jìn)價(jià)=利潤 單價(jià)銷售量=銷售額1、蓮花商場將進(jìn)價(jià)為40元的商品按50元的價(jià)格出售時(shí)，能賣出500個(gè)，已知該商品每漲價(jià)1元，其銷售量就要減少10個(gè)，為了賺取8000元的利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨為多少個(gè)？2、某商場將進(jìn)貨為30元的臺燈以40元的價(jià)格售出，平均每月能售出600個(gè)，調(diào)查表明，這種臺燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量將減少10 個(gè)，為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺燈多少個(gè)？3、每件商品的成本是120元，在試銷階段發(fā)現(xiàn)每件售價(jià)（元）與產(chǎn)品的日銷售量（件）始終存在下表中的數(shù)量關(guān)系，但每天的盈利（元）卻不一樣。為找到每件產(chǎn)品的最佳定價(jià)，商場經(jīng)理請一位營銷策劃員通過計(jì)算，在不改變每件售價(jià)（元）與日銷售量（件）之間的數(shù)量關(guān)系的情況下，每件定價(jià)為x元時(shí)，每日盈利可以達(dá)到最佳值1600元。請你做營銷策劃員，x的值應(yīng)為多少？每件售價(jià)130150165每日銷售量7050354、某商場禮品柜臺春節(jié)期間購入大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元？5、商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利盡快減少庫存，商店采取適當(dāng)降價(jià)，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種襯衫每件降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件，若商場要想平均每天盈利1200元，那么每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（三）、與幾何有關(guān)的應(yīng)用題1、一個(gè)直角三角形的三邊長是連續(xù)整數(shù)。求這三條邊長。2、從前有一天，一個(gè)醉漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺，另一個(gè)醉漢教他沿著門的兩個(gè)對角斜著拿竿，這個(gè)醉漢一試，不多不少剛好進(jìn)去了。你知道竹竿有多長嗎？請根據(jù)這一問題列出方程。3、在一個(gè)長為550米，寬為30米的矩形空地上，建造一花園，要求花園的面積占整塊面積的75，等寬且互相垂直的兩條路的面積占25，求路的寬度。（四）、與幾何動點(diǎn)有關(guān)的應(yīng)用題1、如圖，RTABC中，AC=6cm, BC=8cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC方向以1cm/s的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB方向以2cm/s的速度向B運(yùn)動， 則出發(fā)多少S后， PCQ的面積等于8cm2 ?2、已知：如圖所示，在中，.點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動.（1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PBQ的面積等于4cm2？（2）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm？. 3、如圖，在RtABC中，AB=BC=12cm，點(diǎn)D從點(diǎn)A開始沿邊AB以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動，移動過程中始終保持DEBC，DFAC，問點(diǎn)D出發(fā)幾秒后四邊形DFCE的面積為20cm2？4、如圖，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，問：（1）幾秒后PBQ的面積等于8 cm2？（2）幾秒后PQDQ?（3）PDQ的面積能為8cm2嗎?為什么?5、如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm，動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、D出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB方向向點(diǎn)B移動，一直到達(dá)B為止；點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿DA方向向點(diǎn)A移動。如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t(s)表示移動的時(shí)間（0t3）那么，當(dāng)t為何值時(shí)QAP的面積等于2cm2？6、如圖（a）、（b）所示，在ABC中B=90，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動 （1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使SPBQ=8cm2 （2）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn)，經(jīng)過幾秒鐘，使PCQ的面積等于12.6cm2（友情提示：過點(diǎn)Q作DQCB，垂足為D，則：）（五）、與銀行利息有關(guān)的應(yīng)用題1、李先生將1萬元人民幣按一年定期存入銀行,到期后將本金和利息又全部按一年定期存入銀行。若存款的年利率不變,到期后得本金和利息一共1.0455萬元。求這種存款方式的年利率。2、趙亮將2000元人民幣按一年定期存入銀行,到期后支取1000元用來購物,剩下的1000元及應(yīng)得的利息又全部按一年定期存入銀行。若存款的年利