平面向量(教師版).doc

戴氏英語培訓學校數學基礎班經典講義 教師：謝煥鋼平面向量復習指導教師：謝煥鋼、 考試要求：1.向量的概念，掌握向量的加法的減法運算，掌握實數與矢量積的運算。2.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標，概念，掌握平面向量的坐標運算，理解通過建立平面直角坐標系，將向量的運算轉化為坐標的代數運算，實現了形與數的轉化。3掌握平面向量的數量積及其幾何意義，掌握向量垂直的條件，了解用平面向量的數量積處理有關長度，角度和垂直的問題。4掌握線段的定比分點坐標公式和線段中點坐標公式，平移公式。二、 教材分析：平面向量的基本定理是說明同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標表示的基礎，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個不共線向量量化的依據這節(jié)內容以共線向量為基礎，通過把一個向量在其他兩個向量上的分解，說明了該定理的本質學習時無須嚴格證明該定理，只要弄清定理的條件和結論，會用該定理就可以了向量的加法、減法、實數與向量的積的混合運算稱為向量的線性運算，也叫“向量的初等運算”由平面向量的基本定理，知任一平面內的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時，可先把已知和結論表示成向量形式，再通過向量的運算，有時能很容易證明幾何命題因此，向量是數學中證明幾何命題的有效工具之一為降低難度，目前要求用向量表示幾何關系，而不要求用向量證明幾何命題平面向量的基本定理的理解是學習的難點，而應用基本向量表示平面內的某一向量是學習的重點三、 高考趨勢：1 隨著新教材的逐步推廣，使用“平面向量”將會成為命題熱點，而且將從對平面向量的基本性質、基本運算的考查為主，逐步過渡到重視對軸象的向量符號的理解能力，靈活解決問題的能力的考查。2 仍舊遵循“在知識網絡交匯處設計試題”的原則，重視考查學生的綜合能力。比如，從近幾年的新高考卷子中，更加體現了這一命題立意。因此在復習時，要重視向量與其它知識的交叉、融匯。3 向量的應用非常廣泛，它可以應用于幾何、代數、三角及一些實際的應用性問題，隨著向量知識的深入，以向量為工具的題目已經出現在高考中，這種趨勢以后還會加強。將一個實際問題，轉化為向量之間的關系問題，用向量建立一個數學模型是一個難點問題。四、 主要知識點梳理：1）向量是數形結合的典范。向量的幾何表示法有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中，借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋，有時甚至更簡捷。2）向量運算中的基本圖形：向量加減法則：三角形或平行四邊形；實數與向量乘積的幾何意義共線；定比分點基本圖形起點相同的三個向量終點共線等。3） 向量的三種線性運算及運算的三種形式。向量的加減法，實數與向量的乘積，兩個向量的數量積都稱為向量的線性運算，前兩者的結果是向量，兩個向量數量積的結果是數量。每一種運算都可以有三種表現形式：圖形、符號、坐標語言。主要內容列表如下：運 算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)則+=(x1+x2,y1+y2) -=（x2-x1,y2-y1）+=實數與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個向量的數量積=|cos記=(x1,y1), =(x2,y2)則=x1x2+y1y24） 運算律加法：+=+，(+)+=+(+)實數與向量的乘積：(+)=+；(+)=+，()=() 兩個向量的數量積：=；()=()=()，(+)=+說明：根據向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數多項式乘積的運算法則，正確遷移實數的運算性質可以簡化向量的運算，例如()2=5） 重要定理、公式 （a）平面向量基本定理；如果+是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內任一向量，有且只有一對數數1，2，滿足=1+2，稱1+2為，的線性組合。向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，則=（x,y）；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1) （b）兩個向量平行的充要條件符號語言：若，則=坐標語言為：設=（x1,y1），=(x2,y2)，則(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實數是唯一存在的，當與同向時，0；當與異向時，0，0則=+ |=|=1 =|，=| OEC中，E=600，OCE=750，由得： 說明：用若干個向量的線性組合表示一個向量，是向量中的基本而又重要的問題，通常通過構造平行四邊形來處理例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標。解題思路分析：用解方程組思想設D（x，y），則=（x-2，y+1）=（-6，-3），=0 -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 =(x-3，y-2)， -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 由得： D（1，1），=（-1，2）例3、求與向量=，-1）和=（1，）夾角相等，且模為的向量的坐標。 解題思路分析：用解方程組思想法一：設=（x，y），則=x-y，=x+y = 即 又|= x2+y2=2 由得 或（舍）=法二：從分析形的特征著手 |=|=2 =0 AOB為等腰直角三角形，如圖 |=，AOC=BOC C為AB中點 C（）說明：數形結合是學好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質可以簡化計算。例4、在OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使|=13，|=14，設線段AN與BM交于點P，記= ，=，用 ，表示向量。解題思路分析： B、P、M共線 記=s 同理，記 = ,不共線 由得解之得： 說明：從點共線轉化為向量共線，進而引入參數（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質得到關于s，t的方程。例5、已知長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點，P為AB上一點（1） 利用向量知識判定點P在什么位置時，PED=450；（2） 若PED=450，求證：P、D、C、E四點共圓。解題思路分析：利用坐標系可以確定點P位置如圖，建立平面直角坐標系則C（2，0），D（2，3），E（1，0）設P（0，y） =（1，3），=（-1，y） =3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2 點P為靠近點A的AB三等分處（3） 當PED=450時，由（1）知P（0，2） =（2，1），=（-1，2） =0 DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四點共圓說明：利用向量處理幾何問題一步要驟為：建立平面直角坐標系；設點的坐標；求出有關向量的坐標；利用向量的運算計算結果；得到結論。平面向量一、選擇題1若(2，4)，(1，3)，則 ( )A(1，1)B(1，1)C(3，7)D(3，7)2已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab與b垂直，則|a| ( )A1BC2D43已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，則2a3b ( )A(5，10)B(4，8)C(3，6)D(2，4)4在ABC中，若點D滿足，則 ( )ABCD5已知平面向量a(x，1)，b(x，x2)，則向量ab ( )A平行于x軸B平行于第一、三象限的角平分線C平行于y軸D平行于第二、四象限的角平分線二、填空題6已知平面向量a(1，1)，b(1，1)，則向量_7設向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab與向量c(4，7)共線，則_8已知向量a與b的夾角為120，且|a|b|4，那么b(2ab)的值為_9已知向量a(1，)，b(2，0)，則|ab|_10在ABC中，A60，則_三、解答題11若點A(1，1)，B(1，3)，C(x，5)共線，求點C的坐標及中實數的值12已知e1、e2是夾角為60的兩個單位向量，求a2e1e2和b2e23e1的夾角13已知平面內三點A、B、C三點在一條直線上，且，求實數m，n的值14已知，點O為坐標原點，點C是直線OP上一點，求的最小值及取得最小值時cosACB的值平面向量1一、選擇題1B 2C 3B 4A 5C提示：5ab(0，1x2)，由1x20及向量的性質可知，C正確二、填空題6(1，2) 72 80 92 1015提示：10三、解答題11解：