「競(jìng)賽 一般物體的平衡答案」.doc

2014第二講 一般物體的平衡一、相關(guān)概念（一）力臂：從轉(zhuǎn)動(dòng)軸到力的作用線(xiàn)的垂直距離叫力臂。（二）力矩：力和力臂的乘積叫力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩。記為M=FL，單位“牛米”。一般規(guī)定逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正方向，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為負(fù)方向。（三）有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡條件作用在物體上各力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和為零，即M=0，或M逆=M順。（四）重心：計(jì)算重心位置的方法：1、同向平行力的合成法：各分力對(duì)合力作用點(diǎn)合力矩為零，則合力作用點(diǎn)為重心。2、割補(bǔ)法：把幾何形狀不規(guī)則的質(zhì)量分布均勻的物體分割或填補(bǔ)成形狀規(guī)則的物體，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。3、公式法：，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)移到重心上，則兩邊的重力矩平衡。二、常用方法巧選轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化方程：選擇未知量多，又不需求解結(jié)果的力線(xiàn)交點(diǎn)為軸，這些力的力矩為零，式子簡(jiǎn)化得多；復(fù)雜的物體系平衡問(wèn)題有時(shí)巧選對(duì)象：選整體分析，常常轉(zhuǎn)化為力矩平衡問(wèn)題求解；無(wú)規(guī)則形狀的物體重心位置計(jì)算常用方法是通過(guò)割補(bǔ)思想，結(jié)合平行力合成與分解的原則處理，或者助物體重心公式計(jì)算。三、鞏固練習(xí)1.如右圖所示，勻質(zhì)球質(zhì)量為M、半徑為R；勻質(zhì)棒B質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l。求它的重心。RAB【解】第一種方法是：將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C。C在AB連線(xiàn)上，且ACM=BCm；ACBC（2M+m）gMgFABCmgMg（M+m）gR+l/2第二種方法是：將棒錘看成一個(gè)對(duì)稱(chēng)的“啞鈴”和一個(gè)質(zhì)量為-M的球的合成，用反向平行力合成的方法找出重心C，C在AB連線(xiàn)上，且BC（2M+m）=M。不難看出兩種方法的結(jié)果都是。2.將重為30N的均勻球放在斜面上,球用繩子拉住,如圖所示.繩AC與水平面平行，C點(diǎn)為球的最高點(diǎn)斜面傾角為370.求：(1)繩子的張力.(2)斜面對(duì)球的摩擦力和彈力. 答案：（1）10N；（2）10N，30N 解：（1）取球與斜面的接觸點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸：，得T=10N; （2）取球心為轉(zhuǎn)軸得，f=T=10N;取C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸：，得N=30N. 3.個(gè)半徑為r的均勻球體靠在豎直墻邊，球跟墻面和水平地面間的靜摩擦因數(shù)都為,如果在球上加一個(gè)豎直向下的力F，如圖所示問(wèn)；力F離球心的水平的距離s為多大，才能使球做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)? 解當(dāng)球開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),達(dá)到最大靜摩擦分別以球心和球與水平地接觸點(diǎn)為軸列力矩平衡方程.因?yàn)樽畲箪o摩擦:將以上方程聯(lián)立可得:4.如圖所示,均勻桿的A端用鉸鏈與墻連接,桿可繞A點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng),桿的另一端放在長(zhǎng)方形木塊上,不計(jì)木塊與地之間的摩擦力,木塊不受其它力作用時(shí),木塊對(duì)AB桿的彈力為10N,將木塊向左拉出時(shí),木塊對(duì)桿的彈力為9N,那么將木塊向右拉出時(shí),木塊對(duì)桿的彈力是多少? （答案：11.25N） 解:木塊靜止時(shí)彈力為10N，可得桿重G=20N向左拉時(shí):N1Lcosa+mN1Lsina=Gcosa,或N1msina=Gcosa-N1cosa向右拉時(shí):N2Lcosa=mN2Lsina+Gcosa,或N2msina=N2cosa-Gcosa兩式相比得,得N2=11.25N 5.有一輕質(zhì)木板AB長(zhǎng)為L(zhǎng),A端用鉸鏈固定在豎直墻壁上,另一端用水平輕繩BC拉住.板上依次放著1、2、3三上圓柱體,半徑均為r,重均為G.木板與墻的夾角為q(如圖所示).一切摩擦均不計(jì),求BC繩的張力. 答案： 解:此題的解法很多,同學(xué)們可體會(huì)到取不同的研究對(duì)象,問(wèn)題的難易程度不同. 解法1:對(duì)圓柱體一個(gè)一個(gè)分析,分別計(jì)算出圓柱體的彈力,再對(duì)木板分析,有力矩平衡求出BC繩的張力.比較麻煩. 解法2:把三個(gè)球作為整體,可求出板對(duì)三個(gè)球的彈力,再對(duì)板有力矩平衡求出BC繩的張力.但彈力的力臂比較難求. 解法3:先對(duì)三個(gè)球分析,受墻壁的彈力N1=3Gcotq.再把三個(gè)圓柱體和木板合為一整體,此整體受到墻壁的彈力N1,BC繩的拉力T,重力3G,A點(diǎn)的作用力N(N對(duì)A點(diǎn)的力矩為零).對(duì)A點(diǎn),有力矩平衡式中有上述四式可行. 6.如圖所示，三個(gè)完全相同的圓柱體疊放在水平桌面上。將C柱體放上去之前，A、B兩柱體接觸，但無(wú)擠壓。假設(shè)桌面與柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0，柱體與柱體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為。若系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，0和必須滿(mǎn)足什么條件？ 分析和解：這是一個(gè)物體系的平衡問(wèn)題，因?yàn)锳、B、C之間相互制約著而有單個(gè)物體在力系作用下處于平衡，所以用隔離法可以比較容易地處理此類(lèi)問(wèn)題。設(shè)每個(gè)圓柱的重力均為G，首先隔離C球，受力分析如圖1一7所示，由Fcy0可得 再隔留A球，受力分析如圖1一8所示，由FAy=0得 由FAx=0得 由EA0得 由以上四式可得，而，A1A2A3A4A5A6B1B2B3B4B5B6， 7.（第六屆預(yù)賽）有6個(gè)完全相同的剛性長(zhǎng)條薄片AiBi（i=1，2），其兩端下方各有一個(gè)小突起，薄片及突起的質(zhì)量均不計(jì)，現(xiàn)將此6個(gè)薄片架在一只水平的碗口上，使每個(gè)薄片一端的小突起B(yǎng)i恰在碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)放在薄片A6B6上一點(diǎn)，這一點(diǎn)與此薄片中點(diǎn)的距離等于它與小突起A6的距離，則薄片A6B6中點(diǎn)所受的（由另一薄片的小突起A1所施的）壓力。答案：mg/42解析：本題共有六個(gè)物體，通過(guò)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，A1B1、A2B2、A5B5的受力情況完全相同，因此將A1B1、A2B2、A5B5作為一類(lèi)，對(duì)其中一個(gè)進(jìn)行受力分析，找出規(guī)律，求出通式即可求解.以第i個(gè)薄片AB為研究對(duì)象，受力情況如圖甲所示，第i個(gè)薄片受到前一個(gè)薄片向上的支持力Ni、碗邊向上的支持力和后一個(gè)薄片向下的壓力Ni+1. 選碗邊B點(diǎn)為軸，根據(jù)力矩平衡有所以 再以A6B6為研究對(duì)象，受力情況如圖乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一個(gè)薄片A1B1向下的壓力N1、質(zhì)點(diǎn)向下的壓力mg. 選B6點(diǎn)為軸，根據(jù)力矩平衡有由、聯(lián)立，解得 N1=mg/42所以，A1B1薄片對(duì)A6B6的壓力為mg/42.8.（第十屆全國(guó)決賽）用20塊質(zhì)量均勻分布的相同的光滑積木塊，在光滑水平面一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木塊的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，橫截面為的正方形，求此橋具有的最大跨度（即橋孔底寬），試畫(huà)出該橋的示意圖，并計(jì)算跨度與橋孔高度的比值。HS解設(shè)1號(hào)右端面到2號(hào)右端面的距離為x1，,2號(hào)右端面到3號(hào)右端面到的距離為x2，以第2號(hào)木塊的左端為轉(zhuǎn)軸力矩平衡:,可以得出,同理:第3號(hào)右與第4號(hào)右端的距離為x3, 以第3號(hào)木塊的左端為轉(zhuǎn)軸力矩平衡 求得第k號(hào)的右端面的距離為xk，則第k號(hào)由力矩平衡知： 求得：解得則橋拱長(zhǎng)的一半為由圖1可知所以。將n=10代入可得9.有一質(zhì)量為m=50kg的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間靜摩擦因數(shù)，桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩與桿的夾角，如圖所示。（1）若以水平力F作用在桿上，作用點(diǎn)到地面的距離為桿長(zhǎng)），要使桿不滑倒，力F最大不能越過(guò)多少？（2）若將作用點(diǎn)移到處時(shí)，情況又如何？解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達(dá)到極限的前提下，力的大小還與h有關(guān)，討論力與h的關(guān)系是關(guān)鍵。桿的受力如圖57甲所示，由平衡條件得 另由上式可知，F(xiàn)增大時(shí)，f相應(yīng)也增大，故當(dāng)f增大到最大靜摩擦力時(shí)，桿剛要滑倒，此時(shí)滿(mǎn)足：解得：由上式又可知，當(dāng)時(shí)對(duì)F就沒(méi)有限制了。（1）當(dāng)，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入的表達(dá)式得 （2）當(dāng)無(wú)論F為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱(chēng)為自鎖。10.用兩個(gè)爬犁 (雪橇)在水平雪地上運(yùn)送一根質(zhì)量為m長(zhǎng)為l的均勻橫粱，橫梁保持水平，簡(jiǎn)化示意示圖，如圖1-41所示每個(gè)爬犁的上端A與被運(yùn)送的橫梁端頭固連，下端B與雪地接觸，假設(shè)接觸而積很小.一水平牽引力作用于前爬犁作用點(diǎn)到雪地的距離用h表示已知前爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)為k1后爬犁與雪地間的動(dòng)摩擦因數(shù)為k2問(wèn)要在前后兩爬犁都與雪地接觸的條件下，使橫梁沿雪地勻速向前移動(dòng)h應(yīng)滿(mǎn)足什么條件?水平牽引力F應(yīng)多大?設(shè)爬犁的質(zhì)量可忽略不計(jì)分析正確地物體進(jìn)行受力分析,應(yīng)用物體平衡的條件 是求解平衡問(wèn)題的基本出發(fā)點(diǎn),準(zhǔn)確地領(lǐng)會(huì)題中隱含信息,則是求解的關(guān)鍵所在,本題體現(xiàn)了這一解題思路.解整個(gè)裝置的受力如解圖1-24所示,其中N1與N2分別為雪地對(duì)爬犁的支持力,f1和f2分別為摩擦力,根據(jù)平衡條件有 根據(jù)摩擦力與正壓力的關(guān)系有: h越大以爬犁與地的前接觸點(diǎn)為軸,F的力矩越大.故N2越小.h最大時(shí)對(duì)應(yīng)N2=0的情況.將N2=0代入以上各式,可以解得: 故:h應(yīng)滿(mǎn)足的條件是:11.半徑為r,質(zhì)量為m的三個(gè)剛性球放在光滑的水平面上,兩兩接觸.用一個(gè)圓柱形剛性圓筒(上、下均無(wú)蓋)將此三球套在筒內(nèi).圓筒的半徑取適當(dāng)值,使得各球間以及球與筒壁之間保持接觸,但互相無(wú)作用力.現(xiàn)取一個(gè)質(zhì)量亦為m、半徑為R的第四個(gè)球,放在三個(gè)球的上方正中.四個(gè)球和圓筒之間的靜摩擦系數(shù)均為m=(約等于0.775).問(wèn)R取何值時(shí),用手輕輕豎直向上提起圓筒即能將四個(gè)球一起提起來(lái)? 答案： 解：當(dāng)上面一個(gè)小球放上去后,下面三個(gè)小球有向外擠的趨勢(shì),互相之間既無(wú)彈力也無(wú)摩擦力.因此可以通過(guò)下面某一個(gè)球的球心和上面球的球心的豎直面來(lái)進(jìn)行受力分析,受力圖如圖所示.對(duì)上面小球,根據(jù)豎直方向受力平衡有3N2sinq-3f2socq=mg-（或下面的小球，對(duì)球與筒接觸點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，力矩平衡N2rsinq+mgr=f2r(1+cosq)）再對(duì)四個(gè)小球?yàn)檎w,在豎直方向3f1=4mg-下面的小球,對(duì)球心為為轉(zhuǎn)軸，有力矩平衡條件f1r=f2r，得f1=f2-對(duì)下面的小球,取f1和f2作用線(xiàn)的交點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸，有力矩平衡得N1N2,故大球與小球接觸處先滑動(dòng)（這是確定何處先滑動(dòng)的常用方法）而大球沿筒滾動(dòng)，當(dāng)R最大時(shí)：f2=mN2-有上述四式得：128soc2q+24cosq-77=0,解得：cosq=,因，所以。但上面的小球不能太小,否則上球要從下面三個(gè)小球之間掉下去,必須使.故得 四、自主招生試題1.（2009清華大學(xué)）質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)的三根相同的勻質(zhì)細(xì)棒對(duì)稱(chēng)地?cái)R在地面上，三棒的頂端O重合，底端A、B、C的間距均為L(zhǎng)，如圖所示。(1)求OA棒頂端所受的作用力F的大小。（2）若有一質(zhì)量也為m的人（視為質(zhì)點(diǎn)）坐在OA棒的中點(diǎn)處，三棒仍然保持不動(dòng)，這時(shí)OA棒頂端所受的作用力F的大小又為多大？（3）在（2）的情況下，地面與棒之間的靜摩擦因數(shù)至少為多大？析:(1)(2) 在OC中點(diǎn)坐一人2.（2010北大） 如圖，一個(gè)質(zhì)量M、棱邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方體向前或向后翻轉(zhuǎn)，立方體不與平面發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，求向前和向后施加力的最小值以及對(duì)應(yīng)的摩擦因素。設(shè)想立方體開(kāi)始翻轉(zhuǎn)后，施加的外力F大小和方向會(huì)改變，以維持F始終為最小值。3.（2010南大強(qiáng)化）如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的直桿擱置在質(zhì)量均勻的圓環(huán)上，桿與圓環(huán)相切，系統(tǒng)靜止在水平地面上，桿與地面接觸點(diǎn)為A，與環(huán)面接觸點(diǎn)為B。已知兩個(gè)物體的質(zhì)量線(xiàn)密度均為，直桿與地面夾角為，圓環(huán)半徑為R，所有接觸點(diǎn)的摩擦力足夠大。求： (1)地給圓環(huán)的摩擦力。(2)求A、B兩點(diǎn)靜摩擦系數(shù)的取值范圍。五、備用hBCA1.（第二屆全國(guó)復(fù)賽）如圖所示，勻質(zhì)管子AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，重為G，其A端放在水平面上，而點(diǎn)C則靠在高的光滑鉛直支座上，設(shè)管子與水平面成傾角=45，試求要使管子處于平衡時(shí)，它與水平面之間的摩擦因數(shù)的最小值。2.（第十屆全國(guó)預(yù)賽）半徑為R質(zhì)量為M1的均勻圓球與一質(zhì)量為M2的重物分別用細(xì)繩AD和ACE懸掛于同一點(diǎn)A,并處于平衡,如圖所示.已知懸點(diǎn)A到球心的距為L(zhǎng),不考慮繩的質(zhì)量和繩與球間的摩擦,求懸掛圓球的繩AD與豎直方向AB的夾角q. 答案：q=arcsin 解:球受重力M1g,AD繩受拉力為T(mén),ACE壓力為N,因重力M1g通過(guò)圓心,N也通過(guò)圓心（但不是水平方向）,所以T也通過(guò)圓(三力共點(diǎn))，OA=L.取整體為研究對(duì)象對(duì)A點(diǎn)的力矩平衡,M1gOB=M2gBC,或M1gLsinq=M2g(R-Lsinq),得q=arcsin. 3.如圖所示，一根細(xì)長(zhǎng)棒上端A處用鉸鏈與天花板相連，下端用鉸鏈與另一細(xì)棒相連，兩棒的長(zhǎng)度相等，兩棒限以圖示的豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且不計(jì)鉸鏈處的摩擦，當(dāng)在C端加一個(gè)適當(dāng)?shù)耐饬Γㄔ诩埫鎯?nèi)）可使兩棒平衡在圖示的位置處，即兩棒間的夾角為90，且C端正好在A端的正下方。（1）不管兩棒的質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個(gè)方向的范圍內(nèi)？說(shuō)明道理（不要求推算）。（2）如果AB棒的質(zhì)量為m1，BC棒的質(zhì)量為m2，求此外力的大小和方向。答案：（1）F的方向與AC夾角范圍18.24-45間；（2） 解（1）設(shè)F的方向與AC夾角為q，如果當(dāng)m1質(zhì)量很小時(shí)，AB對(duì)BC的作用力沿AB方向，則F的方向必交于AB的中點(diǎn)，q=45-tan-1=18.24；如果當(dāng)m2質(zhì)量很小時(shí)，則F的方向沿BC方向，q=45。所以F方向的范圍是q=18.24-45間。 （2）以A為轉(zhuǎn)軸，對(duì)兩棒有：-以B為轉(zhuǎn)軸，對(duì)BC有：-sin(45-q)=sin45cosq-cso45sinq-有式得F的大?。?；F的方向與豎直線(xiàn)的夾角q=.可見(jiàn)，m1=0時(shí)，q=18.24；m2=0時(shí)，q=45. 4 如圖兩把相同的均勻梯子AC和BC，由C端的鉸鏈 連起來(lái)，組成人字形梯子，下端A和B相距6m，C端離水平地面4m，總重200 N，一人重600 N，由B端上爬，若梯子與地面的靜摩擦因數(shù)0.6，則人爬到何處梯子就要滑動(dòng)？解：進(jìn)行受力分析，如圖所示，把人和梯子看成一個(gè)整體，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)： AB=6m，CD=4m，AC=BC=5m 設(shè)人到鉸鏈C的距離為 滿(mǎn)足， 所以 整理后：，所以人在爬到梯子中點(diǎn)處時(shí)梯子就要滑動(dòng)5.架均勻梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在豎直的墻上，梯子與地面及梯子與墻間的靜摩擦因數(shù)分別為m1、m2。求梯子能平衡時(shí)與地面所成的最小夾角。（答案：） 解法1：設(shè)梯子能平衡時(shí)與地面所成的最小夾角為a，則有f1=m1N1, f2=m2N2（同時(shí)達(dá)到最大，與上題有區(qū)別）水平方向：m1N1=N2，豎直方向：m2N2+N1=G，得：G=m2N2+N2/m1-取A點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸：-解得，即。 解法2：地對(duì)梯和墻對(duì)梯的二個(gè)全反力與重力必交于一點(diǎn)（如圖的D點(diǎn)）則有：tanj1=m1,tanj2=m2，有幾何關(guān)系：，可解得：。 6.如圖所示梯子長(zhǎng)為2l,重量為G，梯子上的人的重量為，人離梯子下端距離為h，梯子與地面夾角為q,梯子下端與地面間的摩擦因數(shù)為m,梯子上端與墻的摩擦力忽略不計(jì)，試求梯子不滑動(dòng)時(shí)的h值解桿的受力情況如圖所示：由于桿靜止，解方程可以得出：（原答案有誤）所以，只要，梯子就不會(huì)滑動(dòng)。7.如圖所示，方桌重G=100 N，前后腿與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)，桌的寬與高相等。求：(1)拉力F、地面對(duì)前、后腿的支持力和摩擦力。(2)設(shè)前、后腿與地面間的靜摩擦因數(shù)。在方桌的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿為軸向前翻倒？CBA圖1-358.如圖所示，一根細(xì)棒AB，A端用絞鏈與天花板相連,B端用絞鏈與另一細(xì)棒BC相連，二棒長(zhǎng)度相等限于在圖示的豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且不計(jì)絞鏈處的摩擦，當(dāng)在C端加一個(gè)適當(dāng)?shù)耐饬?與AB，BC在一個(gè)平面內(nèi))可使二棒靜止在圖示位置，即二棒相互垂直且C在A端的正下方 (1)不論二棒的質(zhì)量如何，此外力只可能在哪個(gè)方向范圍內(nèi)?試說(shuō)明理由 (2)如果AB棒的質(zhì)量為m1，BC棒質(zhì)量為m2求此外力