《4.2　復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算》導學案.doc

4.3復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算導學案課程學習目標1.理解復數(shù)的代數(shù)形式的四則運算，并能用運算律進行復數(shù)的四則運算.2.能根據(jù)所給運算的形式選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行復數(shù)的四則運算.課程導學建議重點:正確進行復數(shù)的四則混合運算.難點:采用適當?shù)姆椒ㄌ岣哌\算速度與準確度.知識記憶與理解知識體系梳理創(chuàng)設情景兩個多項式可以進行乘除法運算，例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；對于兩個復數(shù)a+bi，c+di(a，b，c，dR)，能像多項式一樣進行乘除法運算嗎？知識導學問題1:結合多項式乘法運算的特點，說明復數(shù)乘法運算有哪些特點？(1)復數(shù)的乘法與多項式的乘法類似，只是在運算過程中把i2換成-1，然后實部、虛部分別合并；(2)兩個復數(shù)的積仍是一個復數(shù)；(3) 復數(shù)的乘法與實數(shù)的乘法一樣，滿足交換律、結合律及分配律；(4)在復數(shù)范圍內，實數(shù)范圍內正整數(shù)指數(shù)冪的運算律仍然成立.問題2:什么是共軛復數(shù)？ 一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫作互為共軛復數(shù).問題3:怎樣進行復數(shù)除法運算？復數(shù)的除法首先是寫成分數(shù)的形式，再利用兩個互為共軛復數(shù)的積是一個實數(shù)，將分母化為實數(shù)，從而化成一個具體的復數(shù).問題4:復數(shù)的四種基本運算法則(1)加法:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；(2)減法:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；(3)乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；(4)除法:(a+bi)(c+di)=+i(c+di0).知識鏈接高斯在1831年，用實數(shù)組(a，b)代表復數(shù)a+bi，并建立了復數(shù)的某些運算，使得復數(shù)的某些運算也像實數(shù)一樣地“代數(shù)化”.他又在1832年第一次提出了“復數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法直角坐標法和極坐標法加以綜合，統(tǒng)一于表示同一復數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應”擴展為“平面上的點與復數(shù)一一對應”.高斯不僅把復數(shù)看作平面上的點，還看作是一種向量，并利用復數(shù)與向量之間一一對應的關系，闡述了復數(shù)的幾何加法與乘法.至此，復數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了.基礎學習交流1.i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=的虛部是().A.0B.-1C.1D.2【解析】z=-i，虛部為-1，故選B.【答案】B2.復數(shù)z1=3+i，z2=1-i，則z=z1z2在復平面內的對應點位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=z1z2=(3+i)(1-i)=4-2i.【答案】D3.已知復數(shù)z與(z+2)2-8i均是純虛數(shù)，則z=.【解析】設z=bi(bR)，則(z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b2+(4b-8)i，依題意得解得b=-2.所以z=-2i.【答案】-2i4.設復數(shù)z滿足i(z+1)=-3+2i(i為虛數(shù)單位)，試求z的實部.【解析】(法一)i(z+1)=-3+2i，z=-1=-(-3i-2)-1=1+3i，故z的實部是1.(法二)令z=a+bi(a、bR)，由i(z+1)=-3+2i，得i(a+1)+bi=-3+2i，-b+(a+1)i=-3+2i，a+1=2，a=1.故z的實部是1.思維探究與創(chuàng)新重點難點探究探究一復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算計算:(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)；(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i；(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)(4)(1-i)3.【方法指導】利用復數(shù)代數(shù)形式的加減法和乘法的運算法則進行計算，注意i的性質.【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(-2+11i+5)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i)=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i)=(24-8i-6i+2i2)+(28-21i-4i+3i2)=47-39i.(4)(1-i)3=13-312i+31i2-i3=1-3i-3-(-i)=-2-2i.【小結】三個或三個以上的復數(shù)相乘可按從左到右的順序運算或利用結合律運算，混合運算與實數(shù)的運算順序一樣，對于能夠使用乘法公式計算的兩個復數(shù)的乘法，用乘法公式更簡捷，如平方差公式、立方差公式、完全平方公式等.探究二復數(shù)代數(shù)形式的除法運算計算:(1)(1+2i)(3-4i)；(2)；(3)(+i)4+.【方法指導】(1)寫成分式的形式，再分母實數(shù)化.(2)分子、分母按復數(shù)的乘法先分別展開化簡，或分解因式，再做除法.(3)先展開，后化簡.【解析】(1)(1+2i)(3-4i)=-+i.(2)(法一)原式=1.(法二)原式=1.(3)原式=(+i)22+=(-+i)2-=-i+i-=(-)+(-)i.【小結】進行復數(shù)的運算，除了應用四則運算法則之外，對于一些簡單算式要知道其結果，這樣可方便計算，簡化運算過程，比如=-i，(1+i)2=2i，(1-i)2=-2i，=i，=-i，a+bi=i(b-ai)，=i，等等.運算方法要靈活，有時要巧妙運用相應實數(shù)系中的乘法公式，比如第(2)題中的解法一.探究三復數(shù)四則運算的綜合應用已知|z|2+(z+)i= (i為虛數(shù)單位)，試求滿足條件的z.【方法指導】本題可設z=x+yi(x，yR)，然后代入給定的方程，利用復數(shù)相等的充要條件列方程組解x，y，從而得出復數(shù)方程的解z.【解析】原方程化簡為|z|2+(z+)i=1-i，設z=x+yi(x，yR)，代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i，原方程的解為z=-i.【小結】對于此類復數(shù)方程我們一般是設出復數(shù)的代數(shù)形式z=x+yi(x，yR)，然后將其代入給定方程，利用復數(shù)四則運算將其整理，然后利用復數(shù)相等的充要條件來求解.思維拓展應用應用一計算:(1)(1-i)2；(2)(-+i)(+i)(1+i).【解析】(1)(1-i)2=1-2i+i2=-2i.(2)(-+i)(+i)(1+i)=(-)+(-)i(1+i)=(-+i)(1+i)=(-)+(-)i=-+i.應用二計算:(1)；(2)+.【解析】(1)=1-i.(2)+=+=i-i=0.應用三若關于x 的方程x2+(t2+3t+tx)i=0有純虛數(shù)根，求實數(shù)t的值和該方程的根.【解析】設x=ai(aR且a0)是方程x2+(t2+3t+tx)i=0的一個純虛根，將其代入方程可得(ai)2+(t2+3t+tai)i=0，-a2-at+(t2+3t)i=0，由復數(shù)相等的充要條件可得故t=-3，方程的兩個根為0或3i.技能應用與拓展基礎技能檢測1.復數(shù)z=(i為虛數(shù)單位)，則|z|等于().A.25B.C.5D.【解析】z=-4-3i，所以|z|=5.【答案】C2.i是虛數(shù)單位，則復數(shù)+(1+2i)2等于().A.-2-5iB.5-2iC.5+2iD.-2+5i【解析】+(1+2i)2=+4i-3=5i-2.【答案】D3.若復數(shù)z滿足z(1+i)=2，則復數(shù)z=.【解析】z=1-i.【答案】1-i4.計算:+()2014.【解析】原式=+(-i)2014=-i-1.全新視角拓展(2014年山東卷)已知a，bR，i是虛數(shù)單位.若a-i與2+bi互為共軛復數(shù)，則 (a+bi)2=().A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i【解析】先由共軛復數(shù)的條件求出a，b的值，再求(a+bi)2的值.由題意知a-i=2-bi，a=2，b=1，(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.【答案】D固學案基礎達標檢測1.設z=+i，則|z|=().A.B.C.D.2【解析】先化簡，再求|z|.z=+i=+i=+i，|z|=.【答案】B2.復數(shù)z=i(-2-i)(i為虛數(shù)單位)在復平面內所對應的點在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z=-2i-i2=1-2i，對應復平面內的點為(1，-2)，在第四象限.【答案】D3.復數(shù)=.【解析】=.【答案】4.規(guī)定運算=ad-bc，若=1-2i，i為虛數(shù)單位，求復數(shù)z.【解析】=2z-1=1-2iz=1-i.基本技能檢測 5.復數(shù)=a+bi(i是虛數(shù)單位，a、bR)，則().A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1C.a=-1，b=1D.a=1，b=-1【解析】=-1+i，則a=-1，b=1.【答案】C6.已知復數(shù)z=，則+等于().A.0B.1C.-1D.2【解析】z=-1，所以+=1-1=0.【答案】A7.復數(shù)=.【解析】=-1=-1=-1+i.【答案】-1+i8.設x、y為實數(shù)，且+=，求x-y的值.【解析】由+=知(1+i) +(1+2i)=(1+3i)，即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-