全國版高考數(shù)學(xué)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.10變化率與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算課時提升作業(yè).docx

課時提升作業(yè) 十三 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.函數(shù)y=x2cosx在x=1處的導(dǎo)數(shù)是()A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】選B.因為y=(x2cosx)=(x2)cosx+x2(cosx)=2xcosx-x2sinx,所以y|x=1=2cos1-sin1.2.已知f(x)=x(2014+lnx),f(x0)=2015,則x0=()A.e2B.1C.ln2D.e【解析】選B.由題意可知f(x)=2014+lnx+x=2015+lnx.由f(x0)=2015,得lnx0=0,解得x0=1.3.已知函數(shù)f(x)=ex,則當(dāng)x1B.D.4.(2016臨川模擬)若冪函數(shù)f(x)=mx的圖象經(jīng)過點A,則它在點A處的切線方程是()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-4y+1=0D.4x+4y+1=0【解析】選C.根據(jù)函數(shù)f(x)=mx為冪函數(shù),所以m=1,根據(jù)圖象經(jīng)過點A,則有=,所以f(x)=,f(x)=,f=1,根據(jù)直線方程的點斜式,求得切線方程是4x-4y+1=0.【加固訓(xùn)練】(2016保定模擬)已知曲線y=lnx的切線過原點,則此切線的斜率為()A.eB.-eC.D.-【解析】選C.y=lnx的定義域為(0,+),設(shè)切點為(x0,y0),則k=y=,所以切線方程為y-y0=(x-x0),又切線過點(0,0),代入切線方程得y0=1,則x0=e,所以k=y=.5.(2016瀘州模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a等于()A.-1或-B.-1或C.-或-D.-或7【解題提示】點(1,0)不在曲線y=x3上,只是曲線y=x3的特定切線經(jīng)過點(1,0),故設(shè)出切點坐標(biāo),寫出切線方程,把點(1,0)代入切線方程求得切點坐標(biāo),得出切線方程后,再根據(jù)切線與y=ax2+x-9相切求出a值.【解析】選A.設(shè)過點(1,0)的直線與y=x3相切于點(x0,),所以切線方程為y-=3(x-x0),即y=3x-2,又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=,當(dāng)x0=0時,由y=0與y=ax2+x-9相切可得a=-,當(dāng)x0=時,由y=x-與y=ax2+x-9相切可得a=-1.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016湖南十二校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=lnx-f(-1)x2+3x-4,則f(1)=.【解析】因為f(x)=-2f(-1)x+3,所以f(-1)=-1+2f(-1)+3,解得f(-1)=-2,所以f(1)=1+4+3=8.答案:8【加固訓(xùn)練】已知f(x)=x2+2xf(2014)+2014lnx,則f(2014)=.【解析】由題意得f(x)=x+2f(2014)+,所以f(2014)=2014+2f(2014)+,即f(2014)=-(2014+1)=-2015.答案:-20157.(2016昆明模擬)函數(shù)f(x)=的圖象在點(-1,2)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于.【解析】f(x)=,則f(-1)=-4,故該切線方程為y=-4x-2,切線在x,y軸上的截距分別為-,-2,故所求三角形的面積為.答案:8.已知函數(shù)f(x)=ex-mx+1的圖象為曲線C,若曲線C存在與直線y=ex垂直的切線,則實數(shù)m的取值范圍是.【解析】由題意可得f(x)=ex-m,由于曲線C存在與直線y=ex垂直的切線,則ex-m=-有解,即m=ex+,而ex0,故m.答案:【加固訓(xùn)練】設(shè)曲線y=在點處的切線與直線x-ay+1=0平行,則實數(shù)a等于.【解析】因為y=,所以y=-1,由條件知=-1,所以a=-1.答案:-1三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知點M是曲線y=x3-2x2+3x+1上任意一點,曲線在M處的切線為l,求:(1)斜率最小的切線方程.(2)切線l的傾斜角的取值范圍.【解析】(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,所以當(dāng)x=2時,y=-1,y=,所以斜率最小的切線過點,斜率k=-1,所以切線方程為x+y-=0.(2)由(1)得k-1,所以tan-1,所以.10.已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,bR).(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點,且在原點處的切線斜率為-3,求a,b的值.(2)若曲線y=f(x)存在兩條垂直于y軸的切線,求a的取值范圍.【解析】f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由題意得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因為曲線y=f(x)存在兩條垂直于y軸的切線,所以關(guān)于x的方程f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有兩個不相等的實數(shù)根,所以=4(1-a)2+12a(a+2)0,即4a2+4a+10,所以a-.所以a的取值范圍為.(20分鐘40分)1.(5分)(2016秦皇島模擬)下面四個圖象中,有一個是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(aR)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象,則f(-1)=()A.B.-C.D.-或【解析】選D.因為f(x)=x2+2ax+a2-1,所以f(x)的圖象開口向上,則排除.若f(x)的圖象為,此時a=0,f(-1)=;若f(x)的圖象為,此時a2-1=0,又對稱軸x=-a0.所以a=-1,所以f(-1)=-.2.(5分)(2016衡陽模擬)設(shè)aR,函數(shù)f(x)=ex+ae-x的導(dǎo)函數(shù)是f(x),且f(x)是奇函數(shù),若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是,則切點的橫坐標(biāo)為()A.ln2B.-ln2C.D.-【解析】選A.對f(x)=ex+ae-x求導(dǎo)得f(x)=ex-ae-x.又f(x)是奇函數(shù),故f(0)=1-a=0,解得a=1,故有f(x)=ex-e-x,設(shè)切點為(x0,y0),則f(x0)=-=,得=2或=-(舍去),得x0=ln2.【加固訓(xùn)練】(2016廣州模擬)已知曲線C:f(x)=x3-ax+a,若過曲線C外一點A(1,0)引曲線C的兩條切線,它們的傾斜角互補(bǔ),則a的值為()A.B.-2C.2D.-【解析】選A.設(shè)切點坐標(biāo)為(t,t3-at+a).由題意知,f(x)=3x2-a,切線的斜率為k=f(t)=3t2-a,所以切線方程為y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).將點(1,0)代入式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解之得t=0或t=.分別將t=0和t=代入式,得k=-a和k=-a,由題意知它們互為相反數(shù),得a=.3.(5分)(2016開封模擬)若函數(shù)f(x)=|lnx|-mx恰有3個零點,則m的取值范圍是.【解析】令f(x)=|lnx|-mx=0,得到函數(shù)y=|lnx|與y=mx,它們在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如下:當(dāng)x1時,y=lnx,y=,設(shè)兩個函數(shù)相切,此時切點為(x0,y0),則有解得m=,結(jié)合圖象得,欲使有三個零點,則需滿足:m.答案:4.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-,g(x)=a(2-lnx)(a0).若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在x=1處的切線斜率相同,求a的值.并判斷兩條切線是否為同一條直線.【解析】根據(jù)題意有:曲線y=f(x)在x=1處的切線斜率為f(1)=3,曲線y=g(x)在x=1處的切線斜率為g(1)=-a.所以f(1)=g(1),即a=-3.曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y-f(1)=3(x-1),得y+1=3(x-1),即切線方程為3x-y-4=0.曲線y=g(x)在x=1處的切線方程為y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切線方程為3x-y-9=0,所以兩條切線不是同一條直線.5.(13分)(2016廈門模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程為7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)證明:曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形的面積為定值,并求此定值.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化為y=x-3.當(dāng)x=2時,y=.又f(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線y=f(x)上任一點,由y=1+知曲線在點P(x0,y0)處的切線方程為y-