高中數(shù)學(xué) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課課件 新人教b版選修1-1

第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 章末復(fù)習(xí)課 1 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率 切線方程等的問題 2 掌握初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 并能夠綜合運用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3 掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法 會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值 4 會用導(dǎo)數(shù)解決一些簡單的實際應(yīng)用問題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 題型探究 知識梳理 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 知識梳理 知識點一在x x0處的導(dǎo)數(shù) 斜率 知識點二導(dǎo)函數(shù) 當(dāng)x變化時 f x 便是x的一個函數(shù) 我們稱它為f x 的 簡稱 f x y 導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 知識點三基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 0 uxu 1 cosx sinx axlna ex 知識點四導(dǎo)數(shù)的運算法則 f x g x f x g x f x g x 知識點五函數(shù)的單調(diào)性 極值與導(dǎo)數(shù) 1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果在 a b 內(nèi) 則f x 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 則f x 在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)y f x 及其定義域內(nèi)一點x0 對于存在一個包含x0的開區(qū)間內(nèi)的所有點x 如果都有 則稱函數(shù)f x 在點x0處取 記作y極大值 f x0 并把x0稱為函數(shù)f x 的一個極大值點 如果都有 則稱函數(shù)f x 在點x0處取 記作y極小值 f x0 并把x0稱為函數(shù)f x 的一個極小值點 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點 f x 0 f x 0 f x f x0 極大值 f x f x0 極小值 知識點六求函數(shù)y f x 在 a b 上的最大值與最小值的步驟 1 求f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)所有 2 計算函數(shù)f x 在極值點和 其中最大的一個為最大值 最小的一個為最小值 極值點 端點的函數(shù)值 題型探究 類型一導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 解答 例1已知函數(shù)f x x alnx a R 1 當(dāng)a 2時 求曲線y f x 在點A 1 f 1 處的切線方程 f 1 1 f 1 1 y f x 在點A 1 f 1 處的切線方程為y 1 x 1 即x y 2 0 2 求函數(shù)f x 的極值 解答 當(dāng)a 0時 f x 0 函數(shù)f x 為 0 上的增函數(shù) 函數(shù)f x 無極值 當(dāng)a 0時 由f x 0 解得x a 當(dāng)x 0 a 時 f x 0 f x 在x a處取得極小值 且極小值為f a a alna 無極大值 綜上 當(dāng)a 0時 函數(shù)f x 無極值 當(dāng)a 0時 函數(shù)f x 在x a處取得極小值a alna 無極大值 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f x ax3 3x2 6ax 11 g x 3x2 6x 12 直線m y kx 9 且f 1 0 1 求a的值 解答 因為f x 3ax2 6x 6a 且f 1 0 所以3a 6 6a 0 得a 2 2 是否存在實數(shù)k 使直線m既是曲線y f x 的切線 又是y g x 的切線 如果存在 求出k的值 如果不存在 說明理由 解答 因為直線m過定點 0 9 先求過點 0 9 且與曲線y g x 相切的直線方程 當(dāng)x0 1時 g 1 12 g 1 21 切點坐標(biāo)為 1 21 所以切線方程為y 12x 9 當(dāng)x0 1時 g 1 0 g 1 9 切點坐標(biāo)為 1 9 所以切線方程為y 9 下面求曲線y f x 的斜率為12和0的切線方程 因為f x 2x3 3x2 12x 11 所以f x 6x2 6x 12 由f x 12 得 6x2 6x 12 12 解得x 0或x 1 當(dāng)x 0時 f 0 11 此時切線方程為y 12x 11 當(dāng)x 1時 f 1 2 此時切線方程為y 12x 10 所以y 12x 9不是公切線 由f x 0 得 6x2 6x 12 0 解得x 1或x 2 當(dāng)x 1時 f 1 18 此時切線方程為y 18 當(dāng)x 2時 f 2 9 此時切線方程為y 9 所以y 9是公切線 綜上所述 當(dāng)k 0時 y 9是兩曲線的公切線 類型二函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 解答 由f x 0 得x2 故f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 2 單調(diào)遞減區(qū)間為 2 解答 反思與感悟 1 關(guān)注函數(shù)的定義域 單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間 2 已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時轉(zhuǎn)化要等價 3 分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實質(zhì)是討論不等式的解集 4 求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法 跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f x x3 ax 1 1 若f x 在實數(shù)集R上單調(diào)遞增 求a的取值范圍 解答 求導(dǎo)得f x 3x2 a 因為f x 在R上是增函數(shù) 所以f x 0在R上恒成立 即3x2 a 0在R上恒成立 即a 3x2 而3x2 0 所以a 0 當(dāng)a 0時 f x x3 1在R上單調(diào)遞增 符合題意 所以a的取值范圍是 0 2 是否存在實數(shù)a 使f x 在 1 1 上單調(diào)遞減 若存在 求出a的取值范圍 若不存在 請說明理由 假設(shè)存在實數(shù)a 使f x 在 1 1 上單調(diào)遞減 則f x 0在 1 1 上恒成立 即3x2 a 0在 1 1 上恒成立 即a 3x2 又因為在 1 1 上 0 3x2 3 所以a 3 當(dāng)a 3時 f x 3x2 3 在 1 1 上 f x 0 所以f x 在 1 1 上單調(diào)遞減 即a 3符合題意 所以存在實數(shù)a 使f x 在 1 1 上單調(diào)遞減 且a的取值范圍是 3 解答 類型三函數(shù)的極值 最值與導(dǎo)數(shù) 例3已知函數(shù)f x x3 ax2 bx c 過曲線y f x 上的點P 1 f 1 的切線方程為y 3x 1 y f x 在x 2時有極值 1 求f x 的表達(dá)式 解答 因為f x 3x2 2ax b 所以f 1 3 2a b 故過曲線上P點的切線方程為y f 1 3 2a b x 1 即y a b c 1 3 2a b x 1 已知該切線方程為y 3x 1 因為y f x 在x 2時有極值 所以f 2 0 即 4a b 12 所以f x x3 2x2 4x 5 2 求y f x 在 3 1 上的單調(diào)區(qū)間和最大值 解答 由 1 知f x 3x2 4x 4 3x 2 x 2 當(dāng)x 3 2 時 f x 0 所以f x 在區(qū)間 3 1 上的最大值為13 反思與感悟 1 已知極值點求參數(shù)的值后 要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義 2 討論極值點的實質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性 即f x 的正負(fù) 3 求最大值要在極大值與端點值中取最大者 求最小值要在極小值與端點值中取最小者 解答 2 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 解答 令f x 0 解得x 1或x 5 因為x 1不在f x 的定義域 0 內(nèi) 故舍去 當(dāng)x 0 5 時 f x 0 故f x 在 5 內(nèi)為增函數(shù) 所以函數(shù)f x 在x 5時取得極小值f 5 ln5 類型四分類討論思想 解答 函數(shù)f x 的定義域是 0 令f x 0 得1 lnx 0 所以x e 所以函數(shù)f x 在 0 e 上單調(diào)遞增 在 e 上單調(diào)遞減 2 設(shè)m 0 求f x 在 m 2m 上的最大值 解答 由 1 知函數(shù)f x 在 0 e 上單調(diào)遞增 在 e 上單調(diào)遞減 f x 在 m 2m 上單調(diào)遞增 當(dāng)m e時 f x 在 m 2m 上單調(diào)遞減 當(dāng)m x0 當(dāng)e x 2m時 f x 0 證明 由 1 知 當(dāng)x 0 時 反思與感悟 1 分類討論即分別歸類再進(jìn)行討論 是一種重要的數(shù)學(xué)思想 也是一種邏輯方法 同時又是一種重要的解題策略 2 解題時首先要思考為什么分類 即分類依據(jù)是什么 一般的分類依據(jù)如 方程類型 根的個數(shù)及與區(qū)間的關(guān)系 不等號的方向等 其次考慮分幾類 每一類中是否還需要再分類 3 分類討論的基本原則是不重不漏 設(shè)x 0 1 則 x 1 0 f x 為偶函數(shù) f x f x x3 ax 即當(dāng)x 0 1 時 f x x3 ax 跟蹤訓(xùn)練4設(shè)函數(shù)f x 是定義在 1 0 0 1 上的偶函數(shù) 當(dāng)x 1 0 時 f x x3 ax a為實數(shù) 1 當(dāng)x 0 1 時 求f x 的解析式 解答 f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 證明如下 f x 3x2 a x 0 1 3x2 3 0 又a 3 a 3x2 0 即f x 0 f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 2 若a 3 試判斷f x 在 0 1 上的單調(diào)性 并證明你的結(jié)論 解答 3 是否存在a 使得當(dāng)x 0 1 時 f x 有最大值1 解答 當(dāng)a 3時 f x 在 0 1 上單調(diào)遞增 f x max f 1 a 1 1 a 2與a 3矛盾 當(dāng)0 a 3時 令f x a 3x2 0 當(dāng)a 0時 f x a 3x2 0 f x 在 0 1 上單調(diào)遞減 f x 在 0 1 上無最大值 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 2 3 4 5 答案 解析 答案 解析 1 2 3 4 5 2 如果函數(shù)f x 的圖象如圖所示 那么導(dǎo)函數(shù)y f x 的圖象可能是 由f x 與f x 的關(guān)系可知選A 1 2 3 4 5 答案 解析 2 3 體積為16 的圓柱 它的半徑為時 圓柱的表面積最小 設(shè)圓柱底面半徑為r 母線長為l 當(dāng)r 2時 圓柱的表面積最小 由題意知 f x 3x2 a 0 x 1 a 3x2 a 3 a的最大值為3 3 1 2 3 4 5 4 已知a 0 函數(shù)f x x3 ax在 1 上單調(diào)遞增 則a的最大值為 答案 解析 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 2 求函數(shù)f x 的極值 解答 當(dāng)x 0 1 時 f x 0 故f x 在 1 上為增函數(shù) 故f x 在x 1處取得極小值f 1 3 無極大值