北師大版選修45 簡單形式的柯西不等式 課件（28張）.pptx

第二章 1柯西不等式 1 1簡單形式的柯西不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 認(rèn)識簡單形式的柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式 理解它們的幾何意義 2 會用柯西不等式證明一些簡單的不等式 會求某些特定形式的函數(shù)的最值 問題導(dǎo)學(xué) 達(dá)標(biāo)檢測 題型探究 內(nèi)容索引 問題導(dǎo)學(xué) 知識點(diǎn)簡單形式的柯西不等式 思考1 a2 b2 c2 d2 與4abcd的大小關(guān)系如何 那么 a2 b2 c2 d2 與 ac bd 2的大小關(guān)系又如何 答案 a2 b2 c2 d2 4abcd a2 b2 c2 d2 ac bd 2 思考2當(dāng)且僅當(dāng)a b且c d時 a2 b2 c2 d2 4abcd 那么在什么條件下 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 答案當(dāng)且僅當(dāng)ad bc時 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 思考3若向量 a b 向量 c d 你能從向量的數(shù)量積與向量模的積之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)怎樣的不等式 梳理 1 簡單形式的柯西不等式 定理1 對任意實(shí)數(shù)a b c d 有 a2 b2 c2 d2 當(dāng)向量 a b 與向量 c d 時 等號成立 簡單形式的柯西不等式的推論 a b c d a b c d為非負(fù)實(shí)數(shù) a b c d r a b c d r 以上不等式 當(dāng)向量 a b 與向量 c d 共線時 等號成立 ac bd 2 共線 ac bd ac bd 2 柯西不等式的向量形式設(shè) 是任意兩個向量 則 當(dāng)向量 時 等號成立 共線 題型探究 類型一利用柯西不等式證明不等式 例1 1 已知a2 b2 1 x2 y2 1 求證 ax by 1 證明 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時 等號成立 證明 反思與感悟利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時 要抓住不等式的基本特征 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 其中a b c d r或 a b c d 其中a b c d r 找出待證不等式中相應(yīng)的兩組數(shù) 當(dāng)這兩組數(shù)不太容易找時 需分析 增補(bǔ) 特別是對數(shù)字的增補(bǔ) 如a 1 a 變形等 證明 證明 a1 a2 b1 b2 r 例2若實(shí)數(shù)x y z滿足x2 4y2 z2 3 求證 x 2y z 3 證明 證明因?yàn)閤2 4y2 z2 3 所以由柯西不等式得 x2 2y 2 z2 12 12 12 x 2y z 2 整理得 x 2y z 2 9 即 x 2y z 3 反思與感悟 1 抓住柯西不等式的特征 方 和 積 構(gòu)造使用柯西不等式的條件 2 此類題也可以用三角不等式 把 abo的三個頂點(diǎn)分別設(shè)為o 0 0 a x1 x2 b y1 y2 即可 證明 a c a b b c 又a b c a c 0 a b 0 b c 0 證明 類型二利用柯西不等式求最值 例3若3x 4y 2 試求x2 y2的最小值及最小值點(diǎn) 解由柯西不等式 得 x2 y2 32 42 3x 4y 2 解答 反思與感悟利用柯西不等式求最值 1 先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征 是利用柯西不等式求解的先決條件 2 有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式 但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng) 就可以應(yīng)用柯西不等式來解 這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧 3 有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的 但在運(yùn)用過程中 每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致 不能自相矛盾 否則就會出現(xiàn)錯誤 多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一 跟蹤訓(xùn)練3已知a b r 且9a2 4b2 18 求3a 2b的最值 解答 解由柯西不等式 得 9a2 4b2 12 12 3a 2b 2 9a2 4b2 18 36 3a 2b 2 3a 2b 6 達(dá)標(biāo)檢測 1 2 4 3 5 解析 a2 b2 32 22 3a 2b 2 當(dāng)且僅當(dāng)3b 2a時取等號 所以 3a 2b 2 4 13 1 已知a b r a2 b2 4 則3a 2b的最大值為 答案 解析 1 2 4 3 5 解析 a2 b2 12 12 a b 2 4 當(dāng)且僅當(dāng)a b 1時 等號成立 a2 b2 2 2 已知a 0 b 0 且a b 2 則 答案 解析 1 2 4 3 5 最小值為9 答案 解析 9 1 2 4 3 5 解析 a2 b2 m2 n2 ma nb 2 25 m2 n2 5 答案 解析 當(dāng)且僅當(dāng)an bm時取等號 1 2 4 3 5 5 已知a2 b2 1 求證 acos bsin 1 證明 證明 1 a2 b2 a2 b2 cos2 sin2 acos bsin 2 acos bsin 1 規(guī)律與方法 1 利用柯西不等式的關(guān)鍵是找出相應(yīng)的兩組數(shù) 應(yīng)用時要對照柯西不等