2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題參考答案.docx

樂考無憂，為您的考研之路保駕護(hù)航！2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題參考答案一、選擇題(1)【答案】 (B).【解析】因?yàn)橛虚g斷點(diǎn),又因?yàn)?其中,所以為跳躍間斷點(diǎn).顯然,所以為連續(xù)點(diǎn).而,所以為無窮間斷點(diǎn),故答案選擇B.(2)【答案】 (A)【解析】因是的解,故,所以,而由已知 ,所以 , 又由于一階次微分方程是非齊的,由此可知,所以由于是非齊次微分方程的解,所以,整理得 ,即 ,由可知, 由求解得,故應(yīng)選(A)(3)【答案】 (C).【解析】因?yàn)榍€與曲線相切,所以在切點(diǎn)處兩個(gè)曲線的斜率相同,所以,即.又因?yàn)閮蓚€(gè)曲線在切點(diǎn)的坐標(biāo)是相同的,所以在上,當(dāng)時(shí)；在上,時(shí), .所以.從而解得.故答案選擇(C).(4)【答案】 (D).【解析】與都是瑕點(diǎn).應(yīng)分成,用比較判別法的極限形式,對(duì)于,由于.顯然,當(dāng),則該反常積分收斂.當(dāng),存在,此時(shí)實(shí)際上不是反常積分,故收斂.故不論是什么正整數(shù),總收斂.對(duì)于,取,不論是什么正整數(shù),所以收斂,故選(D). (5) 【答案】 (B).【解析】, (6) 【答案】 (D).【解析】. (7) 【答案】 (A)【解析】由于向量組能由向量組線性表示,所以,即若向量組線性無關(guān),則,所以,即,選(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：設(shè)為的特征值,由于,所以,即,這樣的特征值只能為-1或0. 由于為實(shí)對(duì)稱矩陣,故可相似對(duì)角化,即, ,因此,即.二、填空題(9)【答案】.【解析】該常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程為 ,因式分解得,解得特征根為,所以通解為.(10) 【答案】.【解析】因?yàn)?所以函數(shù)存在斜漸近線,又因?yàn)?所以斜漸近線方程為.(11)【答案】.【解析】由高階導(dǎo)數(shù)公式可知,所以 ,即.(12)【答案】.【解析】因?yàn)?,所以對(duì)數(shù)螺線的極坐標(biāo)弧長(zhǎng)公式為=.(13)【答案】3.【解析】設(shè),由題意知,在時(shí)刻,且 ,設(shè)該對(duì)角線長(zhǎng)為,則 ,所以.所以 .(14)【答案】3.【解析】由于,所以因?yàn)?所以,因此.三、解答題【解析】因?yàn)?所以,令,則.又,則,所以是極大值.而,所以為極小值.又因?yàn)楫?dāng)時(shí),；時(shí),；時(shí),；時(shí),所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,的單調(diào)遞增區(qū)間為.(16) 【解析】 (I)當(dāng)時(shí),故,所以,則 .(II) ,故由,根據(jù)夾逼定理得,所以. (17)【解析】根據(jù)題意得即,整理有,解,令,即.所以,.因?yàn)?所以,故,即,故又由,所以,故.(18)【解析】油罐放平,截面如圖建立坐標(biāo)系之后,邊界橢圓的方程為：陰影部分的面積令時(shí)時(shí).所以油的質(zhì)量.(19)【解析】由復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t得, 故所以,則或,或.又因?yàn)楫?dāng)為時(shí)方程(3)不滿足,所以當(dāng)為,滿足題意.(20)【解析】 .(21)【解析】令,對(duì)于在上利用拉格朗日中值定理,得存在 使得對(duì)于在上利用拉格朗日中值定理,得存在使得,兩式相加得.所以存在,使.(22) 【解析】因?yàn)榉匠探M有兩個(gè)不同的解,所以可以判斷方程組增廣矩陣的秩小于3,進(jìn)而可以通過秩的關(guān)系求解方程組中未知參數(shù),有以下兩種方法.方法1：( I )已知有2個(gè)不同的解,故,對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,得當(dāng)時(shí),此時(shí),故無解(舍去)當(dāng)時(shí),由于,所以,故 ,. 方法2：已知有2個(gè)不同的解,故,因此,即,知或-1. 當(dāng)時(shí),此時(shí),無解,因此.由,得. ( II ) 對(duì)增廣矩陣做初等行變換可知原方程組等價(jià)為,寫成向量的形式,即.因此的通解為 ,其中為任意常數(shù). (23)【解析】由于,存在正交矩陣,使得為對(duì)角陣,且的第一列為,故對(duì)應(yīng)于的特征向量為.根據(jù)特征值和特征向量的定義,有,即,由此可得.故.由,可得的特征值為.由,即,可解得對(duì)應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量為.由,即,可解得對(duì)應(yīng)于的特征向量為.由于為實(shí)對(duì)稱矩陣,為對(duì)