考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班第9講例題解答.pdf

高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)班講義班講義班講義班講義 51 第 9 講 微分方程 一 可分離變量的方程 例例例例 1 解析 整理原方程 得 22 1 1 dy yx dx 分離變量 得 22 1 1 ydyxdx 兩端積分 得 33 11 33 yyxxC 由 2 0y 得 2 3 C 即 33 332yyxx 在原方程中令0y 求得駐點1x 對原方程繼續(xù)求導(dǎo) 得 22 22 1 0 xy yyy 代入1x 和 1 0y 得 2 2 1 0 1 1 y y 因此 1 0y 為極小值 代入1x 和 1 0y 得 2 2 1 0 1 1 y y 因此 1 1y 為極大值 例例例例 2 解析 I 設(shè)時刻t液面的高度為y 則此時液面的面積滿足 2 4yt 2 4ty II 當(dāng)液面的高度為y時 則此時液體的體積滿足 22 0 33 12 y uduty 2 6 yyy 6 yy 解得 6 y yCe 由 0 2 得2C 因此 6 2 y ye 二 齊次方程的解法 例例例例 3 答案 21x yxe 解析 原方程化為ln dyyy dxxx 令 y u x 則 dydu ux dxdx 代入方程并分離變量 得 ln du uxuu dx ln1 dudx uux 兩端積分 得 第第第第 9 9 9 9 講講講講 微分方程微分方程微分方程微分方程 52 ln ln1lnlnuxC ln1uCx 代回 y u x 得原為分方程的通解為ln1 y Cx x 由 3 1 ye 得2C 即 21x yxe 評注 對于某些齊次方程 有時化為 dxx g dyy 進行求解可能會更簡單 此時令 x u y 有 dxdu uy dydy 方程化為 dudy g uuy 這里將x看作函數(shù) y看作自變量 試用這種方法求解方程 222 2 32 0yxy dxyxyx dy 例例例例 4 解析 I 設(shè)曲線L在點 x y的切線方程為 Yyy Xx 它在y軸上的截距是 yxy 根據(jù)題設(shè) 得到齊次方程 22 yxyxy 令 y u x 則 dydu ux dxdx 代入方程并分離變量然后兩端積分 得 2 1 dudx x u 2 ln 1 lnlnuuxC 2 1 C uu x 代回 y u x 得 22 yxyC 由于曲線經(jīng)過點 1 0 2 因此 1 2 C 于是曲線L的方程為 22 1 2 yxy 2 1 4 yx 評注 在解方程時應(yīng)注意到 0 x II 曲線L在點 x y的切線方程 Yyy Xx 得該切線在x軸和y軸上的截距分別是 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)班講義班講義班講義班講義 53 22 11111 2424 xyxxx yxx 22 11 2 44 yxyxxxx 于是所求面積 2 2 1 2 2 0 1 114 224 x S xxdx x 求得 S x的駐點為 0 3 6 x 用極值的第一判別法得此駐點為 S x的最小值點 這時切點為 3 1 66 所求 切線方程為 31 33 yx 三 一階線性方程和 Bernoulli 型方程 例例例例 5 解析 I 將 F xf x g x 對x求導(dǎo) 得 2222 24 x Ff gfggffgfgeF 即 F x滿足的一階線性微分方程 2 24 x FFe II 解上述一階線性微分方程 得 22 222 4 dxdx xxx F xeCe edxCee 由 0 0 0 0fF 得1C 即 22 xx F xee 例例例例 6 解析 解一階線性微分方程 13 2 a ffx x 得 2 33 22 dxdx xx aa f xeCxedxCxx 再利用已知條件 有 1 2 0 31 2 22 a CxxdxCa 4Ca 第第第第 9 9 9 9 講講講講 微分方程微分方程微分方程微分方程 54 因此 2 3 4 2 a f xa xx 而題設(shè)旋轉(zhuǎn)體的體積 2 1 22 0 31116 4 23033 a V aa xxdxaa 上述關(guān)于a的二次函數(shù) V a當(dāng) 1 1 3 5 2 30 a 時取得最小值 例例例例 7 解析 利用極坐標(biāo)變換 有 222 22 4 2 0 1 2 1 2 2 xyt t fxydxdyfr rdr 將已知方程化為 2 4 2 0 1 2 2 t t f tefr rdr 然后兩端對t求導(dǎo) 得一階線性微分方程 2 4 88 t fttet f t 2 4 88 t ft fte 解得 2288 424 8 4 tdttdt tt f teCteedtCte 由原積分方程知 0 1f 從而1C 即 2 24 14 t f tte 例例例例 8 答案 yx 解 方程變形為 1 3 dx xy dyy 解得 2 3 dydy yy C xeCyedyy y 而 1 1 x y 0C 求得方程的解為 yx 評注 方程 0R y dxQ yP yx dy 是導(dǎo)數(shù)倒代換型一階線性微分方程 解 湊全微分 有 2 30ydxxdyy dy 3 0d xyd y 3 xyyC 而 1 1 x y 0C 求得方程的解為 yx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)班講義班講義班講義班講義 55 例例例例 9 解析 設(shè)曲線l在點 x y的切線方程為 Yyy Xx 它在y軸上的截距是 yxy 根據(jù)題設(shè) 得 22 yxyxxy 22 2 xyyyx 法 化為 Bernoulli 型方程 1 1 22 x yyy x 令 2 zy 代入方程并求解 有 1 zzx x 2 dxdx xx yzeCxedxx Cx 2 yCxx 由3 2 3 2 y 得3C 即曲線l的方程為 2 3yxx 03x 法 化為齊次方程 1 2 yx y xy 令 y u x 則 dydu ux dxdx 代入方程并求解 有 2 1 2 duu ux dxu 2 2 1 ududx ux 2 ln 1 lnlnuxC 2 1 C u x 代回 y u x 得 22 xyCx 以下同法 例例例例 10 解析 原方程變形為關(guān)于函數(shù)tan y的一階線性微分方程 2 tan tan 1 dx yyx dxx 解得 22 3 22 112 22 11 tan 1 1 3 11 xx dxdx xx C yeCxedxCxx xx 評注 方程 dy yP xyQ x dx 是函數(shù)變換型一階線性微分方程 Bernoulli 方程為其特例 四 可降階的高階方程 例例例例 11 解析 根據(jù)題意 有 第第第第 9 9 9 9 講講講講 微分方程微分方程微分方程微分方程 56 3 2 2 2 1 1 1 y y y 2 1 yy 方程不含y 這是可降階型二階微分方程 法 視方程不含 y 令 py 則 yp 原方程化為 2 2 1 1 dpdp pdx dxp 兩端積分 得 1 arctan pCx 1 tan ypCx 根據(jù)點 1 0 處的切線方程為1 xy 得 0 1y 1 4 C 即 tan 4 yx 兩端再積分 得 2 ln cos 4 yxC 由 0 1y 得 2 1 1ln2 2 C 即 1 ln cos1ln2 42 yx 上述函數(shù)以 為周期 含0 x 的一支連續(xù)函數(shù)為 1 lncos1ln2 42 yx 3 44 x 當(dāng) 4 x 或 3 4 x 時y 因此無極小值 由于0cos1 4 x 故極大值為 4 1 1ln2 2 x y 法 視方程不含 x 令 py 則 dp yp dy 原方程化為 2 1 dp pp dy 2 1 p dpdy p 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)班講義班講義班講義班講義 57 兩端積分 得 2 1 1 ln 1 2 pCy 2 1 1 ln 1 2 yCy 根據(jù)點 1 0 處的切線方程為1 xy 得 0 1 1 x y y 1 1 1ln2 2 C 即 2 11 ln 1 1ln2 22 yy 22 2 1 2 21 y y y ee ye e 22 2 y y e dydx ee 兩端積分 得 1 2 arcsin 2 y e xC 2 1 ln sin 1ln2 2 yxC 由 0 1y 得 2 4 C 即 1 ln sin1ln2 42 yx 以下關(guān)于函數(shù)最值的討論與法 相同 例例例例 12 解析 曲線 xfy 上點 yxP處的切線為 Yyy Xx 它在x軸上的截距為 y x y 從而該切線與所作x軸的垂線與x軸所圍成的三角形的面積 2 1 1 2 2 yy Sy xx yy 根據(jù)12 21 SS 有 2 0 1 x y y t dt y 代入1 0 y 得1 0 y 上式兩端對x求導(dǎo) 得 22 2 2 0 yyy y y y 2 0yyy 這是可降階型二階微分方程 方程不含x 第第第第 9 9 9 9 講講講講 微分方程微分方程微分方程微分方程 58 法 方程不含x 令 py 則 dp yp dy 方程化為 2 0 dpdpdy ypp dypy 兩端積分 得 1 lnlnlnpyC 1 pC y 11 dydy C yC dx dxy 1 2 C x yC e 代入 0 0 1yy 得 12 1CC 即 x ye 法 2 0yyy 1 12 0 C x dyy CyC e dxyy 以下同解法 例例例例 13 解析 追蹤問題軌跡如圖所示 設(shè)在時刻t 物體 B 的坐標(biāo)為 x y 則此時物體 A 的坐標(biāo)為 0 1 vt 根據(jù)題設(shè) 有 1 0 dyvty dxx 1 dy xyvt dx 對x求導(dǎo) 得 2 2 d ydt xv dxdx 由于 2 22 21 dxdydsdxdydx v dtdxdtdxdt 2 1 1 2 dtdy dxvdx 代入方程 得到微分方程初值問題 2 2 2 11 1 1 2 0 1 xx d ydy x dxdx yy 評注 雖然所得方程是可降階的 方程不含y 但降階后的一階方程不能用初等方法求解 二 線性方程解的結(jié)構(gòu) 例例例例 14 答案 A 解析 將所述已知條件代入相應(yīng)的方程 有 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)班講義班講義班講義班講義 59 12 yy 是該方程的解 1 12 yy 是該方程對應(yīng)的齊次方程的解 0 例例例例 15 解析 非齊次方程兩個解的差是對應(yīng)齊次方程的解 因此 13 x yye 和 2 12 xx yyee 是對應(yīng)齊次方程的解 齊次方程兩個解的和仍然是該齊次方程的解 因此 x e 和 2x e仍然是該齊次方程的解 所求方程對 應(yīng)的齊次方程的特征方程為 2 1 2 020 齊次方程為 20yyy 于是 所求二階線性非齊次微分方程可設(shè)為 2 yyyf x 注意到 x xe是非齊次方程的特解 代入上述方程可求得 1 2 x f xx e 因此 所求二階線性非齊次微分方程為 2 1 2 x yyyx e 三 高階常系數(shù)線性方程 例例例例 16 答案 2 123 cossin x yC eCxCx 解析 特征方程 32 220 特征根 12 3 2 i 原方程的通解 2 123 cossin x yC eCxCx 例例例例 17 答案 C 解析 根據(jù)初始條件 當(dāng)0 x 時 有 0y x 和 0y x 因此 22 0000 ln 1 22 limlimlimlim xxxx xxx y xy xy xyx 3 0 2 lim2 x x epy xqy x 例例例例 18 答案 A 第第第第 9 9 9 9 講講講講 微分方程微分方程微分方程微分方程 60 解析 對應(yīng)的齊次方程為0 yy 其特征方程為 2 10 特征根是i 非齊次方程 2 1yyx 的特解設(shè)為 2 1 yaxb 非齊次方程 sinyyx 的特解設(shè)為 2 cossin yx AxBx 根據(jù)疊加原理 原方程的特解設(shè)為 2 sincos yaxbxcx AxBx 例例例例 19 解析 求偏導(dǎo)數(shù) 得 sin x z fu ey x 2 22 2 sin sin xx z fu eyfu ey x cos x z fu ey y 2 22 2 cos sin xx z fu eyfu ey y 原方程化為 22 xx fu eef u 0ff 解得 12 uu f uC eC e 例例例例 20 解析 令cosxt t0 則有arccostx 且 2 1 1 dy dtdy y dt dxdt x 2 322 2 2 2 11 1 1 1 ddyxdyd y y dxdtdtxdt x x 原方程化為 2 2 0 d y y dt 解得 2 1212 cossin1yCtCtC xCx 代入 00 1 2 xx yy 得 12 2 1CC 從而 2 21yxx 例例例例 21 解析 令 t xe 則有l(wèi)ntx 且 1dydy dtdy dxdt dxx dt 22 2222 111d yddydyd y dxdxx dtxdtxdt 原方程化為 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)基礎(chǔ)班講義班講義班講義班講義 61 2 2 320 d ydy y dtdt 解得 2 12 12 2 tt CC yC eC e xx 例例例例 22 分析 方程 23 0ypyf yq xy 可以通過倒代換化為 2 2