心理統(tǒng)計(jì)學(xué)筆記.doc

心理統(tǒng)計(jì)學(xué)筆記云南師范大學(xué)09級(jí)應(yīng)用心理學(xué)專業(yè)本科學(xué)員：勾洪斌 098150003緒 論一、統(tǒng)計(jì)學(xué)、教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究統(tǒng)計(jì)原理和方法的科學(xué)。具體地說(shuō)，它是研究如何搜集、整理、分析反映事物總體信息的數(shù)字資料，并以此為依據(jù)，對(duì)總體特征進(jìn)行對(duì)待的原理和方法。教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)與教育學(xué)、心理學(xué)的一門交叉學(xué)科，是專門研究如何搜集、整理、分析在教育和心理方面由實(shí)驗(yàn)或調(diào)查所獲得的數(shù)字資料，并如何根據(jù)這些數(shù)字資料所傳遞的信息，進(jìn)行科學(xué)推論找出客觀規(guī)律的一門科學(xué)。二、學(xué)習(xí)教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義（一）教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)為教育與心理科學(xué)研究提供了一種科學(xué)方法（二）教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)是教育與心理科研定量分析的重要工具（三）廣大教育和心理工作者學(xué)習(xí)教育教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)的具體意義 （1）是教育與心理科學(xué)研究的需要。（2）是科學(xué)化教育管理的需要。（3）為學(xué)習(xí)教育與心理測(cè)量學(xué)、教育評(píng)價(jià)學(xué)打下基礎(chǔ)。（4）是科學(xué)訓(xùn)練的需要。統(tǒng)計(jì)學(xué)所使用的推理及思考問題的方法是科學(xué)研究中常用的方法，統(tǒng)計(jì)方法的訓(xùn)練也是一種科學(xué)方法的訓(xùn)練，能學(xué)會(huì)科學(xué)的推理與思考方法，對(duì)為了研究工作是非常必要的。三、教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容，按其目的與功能可分為描述統(tǒng)計(jì)、推斷統(tǒng)計(jì)、多元統(tǒng)計(jì)分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)四部分。描述統(tǒng)計(jì)學(xué)。主要研究如何將實(shí)驗(yàn)或調(diào)查得到的大量數(shù)據(jù)簡(jiǎn)縮成有代表性的數(shù)字，使其能客觀、全面地反映這組數(shù)據(jù)的全貌，將其所提供的信息充分顯現(xiàn)出來(lái)，為進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析和推論提供可能。推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)。推斷統(tǒng)計(jì)是以描述統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，以解決由局部到全體的推論問題，即通過對(duì)一組統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算分析，推論該組數(shù)據(jù)所代表的總體特征。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。實(shí)驗(yàn)者為了揭示實(shí)驗(yàn)中自變量與因變量的關(guān)系，在實(shí)驗(yàn)之前所制訂的實(shí)驗(yàn)計(jì)劃，稱實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。描述統(tǒng)計(jì)學(xué)、推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)以及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)這三部分內(nèi)容不是截然分開的，而是具有密切聯(lián)系的。描述統(tǒng)計(jì)是推斷統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，推斷統(tǒng)計(jì)離不開描述統(tǒng)計(jì)所計(jì)算的特征數(shù)；描述統(tǒng)計(jì)只是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一般的分析歸納，若不進(jìn)一步應(yīng)用推斷統(tǒng)計(jì)對(duì)事物做進(jìn)一步的分析，有時(shí)就會(huì)使統(tǒng)計(jì)結(jié)果失去意義，達(dá)不到統(tǒng)計(jì)分析的目的要求。同樣，只有良好的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)才能使所獲得的數(shù)據(jù)具有意義，進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)處理才能說(shuō)明問題。當(dāng)然，一個(gè)好的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，也必須符合基本的統(tǒng)計(jì)方法的要求。四、學(xué)習(xí)教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)的幾個(gè)預(yù)備性的知識(shí)（一）隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)變量在科學(xué)研究中搜集到的數(shù)據(jù)往往都是以一個(gè)個(gè)分散的數(shù)字形式出現(xiàn)的，即便使用同一種測(cè)量工具，觀測(cè)同一事物，只要是進(jìn)行多次，所獲得的數(shù)據(jù)也不會(huì)完全相同。數(shù)據(jù)的這種特點(diǎn)叫變異性。如對(duì)同一個(gè)心理特點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，只要觀察多人或多次，所得到的數(shù)據(jù)就不會(huì)全然相同，這些數(shù)據(jù)總是在一定范圍內(nèi)變化的。造成數(shù)據(jù)上下波動(dòng)的原因，出自觀測(cè)過程中一些偶然的不可控制的因素隨機(jī)因素。隨機(jī)因素使測(cè)量產(chǎn)生的誤差稱作隨機(jī)誤差或偶然誤差。由于這種隨機(jī)誤差的存在，使得在相同條件下觀測(cè)的結(jié)果常常不只一個(gè)，并且事先無(wú)法確定，這是客觀世界存在的一種普遍現(xiàn)象，人們稱這類現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象的各種結(jié)果總是可以用一定的數(shù)量來(lái)表現(xiàn)，而且表現(xiàn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)值的不確定性，因而稱為變量。這種變量受隨機(jī)因素的影響，呈現(xiàn)隨機(jī)變化，具有偶然性的一面，但也具有規(guī)律性的一面。通過大量的實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)，這種規(guī)律性可以揭示出來(lái)。我們把這種具有變化規(guī)律的表示隨機(jī)現(xiàn)象各種結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。如學(xué)生的身高、體重、性別、智商、成績(jī)等等。隨機(jī)變量具有離散性、變異性與規(guī)律性的特點(diǎn)。（二）變量的類型 變量按照不同的劃分方式可以分為不同的類型，而不同類型的變量所適用的統(tǒng)計(jì)方法是不同的。 （1）隨機(jī)變量與非隨機(jī)變量 （2）連續(xù)變量與非連續(xù)變量（間斷變量、離散變量） 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按其是否具有連續(xù)性可劃分為連續(xù)變量與非連續(xù)變量。連續(xù)變量可以在量表上的任何兩點(diǎn)加以細(xì)分，可以取得無(wú)限多個(gè)大小不同的數(shù)值。如學(xué)生的身高、體重、智商、學(xué)科成績(jī)等等。非連續(xù)變量在量表上的任何兩點(diǎn)只能取得有限個(gè)數(shù)值，兩個(gè)單位之間不能再劃分細(xì)小單位，數(shù)字形式一般是取整數(shù)。如名次、人數(shù)等等。連續(xù)變量與非連續(xù)變量其分布規(guī)律不同，各種表列及圖示方法不同，所使用的統(tǒng)計(jì)方法也有區(qū)別。 （3）因變量與自變量因變量是指被影響的變量，而自變量是指自由變化的能影響其它變量的變量。在教育與心理科研和實(shí)驗(yàn)中，必須要明確研究對(duì)象，確定哪些是作為因變量來(lái)研究的，哪些是作為自變量來(lái)研究的。否則，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)就無(wú)從進(jìn)行。 ，y是因變量，x是自變量。隨機(jī)變量按性質(zhì)分有如下四種：（1）稱名變量（Nominal），用于說(shuō)明某一事物與其它事物在屬性上的不同或類別上的差異，但不說(shuō)明差異的大小。如性別、年級(jí)等。（2）順序（等級(jí)）變量(ordinal)，指按事物的某一屬性，把它們按多少或大小加以排列的變量。這種變量不具有相等的單位。如名次、等級(jí)評(píng)定、喜愛程度、品質(zhì)等級(jí)、能力等級(jí)等。（3）等距變量(interval)，是指變量之間具有相等的距離，除了有量的大小外，還具有相等的單位，但沒有絕對(duì)意義上的零。如天氣溫度、各種能力分?jǐn)?shù)、智商等。只能加減，不能乘除。（4）比率變量(ratio)，除了有量的大小，相等單位外，還有絕對(duì)意義上的零。如身高、體重、反應(yīng)時(shí)等?？梢约訙p乘除。（三）總體、個(gè)體、樣本總體（又稱母體），樣本與個(gè)體是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的名詞?？傮w是指具有某種特征的一類事物的全體，構(gòu)成總體的每個(gè)基本單元稱為個(gè)體。從總體中抽取的一部分個(gè)體，稱為總體的一個(gè)樣本?？傮w與樣本具有相對(duì)性。這依研究對(duì)象而定。（四）連加和 （1）連加和符號(hào)及意義 （2）連加和的性質(zhì)（C為不為0的常數(shù)） 1 2 3 （3）約定：表示所有x相加。第一章 常用的統(tǒng)計(jì)表與圖次數(shù)分布表與圖一、次數(shù)分布的意義 次數(shù)分布有兩層含義，一是一數(shù)據(jù)在各個(gè)不同數(shù)值點(diǎn)上所出現(xiàn)的次數(shù)情況（如75分在100個(gè)人的班級(jí)中出現(xiàn)了8次），二是一批數(shù)據(jù)在整個(gè)取值范圍內(nèi)各個(gè)等距區(qū)間中所出現(xiàn)的次數(shù)情況（7080這個(gè)區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)了15次）。二、次（頻）數(shù)分布表（一）簡(jiǎn)單次數(shù)分布表（連續(xù)變量）簡(jiǎn)稱次數(shù)分布表，其實(shí)質(zhì)是反映一批數(shù)據(jù)在各等距區(qū)組內(nèi)的次數(shù)分布結(jié)構(gòu)。其制表步驟如下：（1）求全距（2）決定組數(shù)（3）決定組距（4）寫組限（5）次數(shù)登錄（f）（6）組中值（點(diǎn)）。（二）相對(duì)次數(shù)分布表相對(duì)次數(shù)就是各組的簡(jiǎn)單次數(shù)（f）與總次數(shù)（N）的比值。相對(duì)次數(shù)較大的組，則說(shuō)明落入該組內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)占全部數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的比例也較多。相對(duì)次數(shù)主要能反映各組數(shù)據(jù)的百分比結(jié)構(gòu)。（三）累積次數(shù)分布表（F）累積次數(shù)指分?jǐn)?shù)組中處于某個(gè)數(shù)值以上或以下的分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)。在簡(jiǎn)單次數(shù)分布表中，如果把某個(gè)確定值（精確上限）以下的個(gè)數(shù)累積起來(lái)，叫以下累積（向上累積）；如果把某個(gè)確定值以上（精確下限）的個(gè)數(shù)累積起來(lái)，叫以上累積（向下累積）。一般，我們所講的是以下累積。（四）累積相對(duì)次數(shù)分布表和累積百分?jǐn)?shù)分布表累積相對(duì)次數(shù)：把相對(duì)次數(shù)累積起來(lái)或累積次數(shù)除以總次數(shù)。累積相對(duì)次數(shù)等于累積相對(duì)次數(shù)乘以100。累積相對(duì)次數(shù)和累積百分?jǐn)?shù)可以看出某個(gè)分?jǐn)?shù)值以下的人數(shù)占了總?cè)藬?shù)的百分比結(jié)構(gòu)。三、次數(shù)分布圖（一）次數(shù)直方圖次數(shù)直方圖是由若干寬度相等，高度不一的直方條緊密排列在同一基線上構(gòu)成的圖形。其繪圖步驟如下：（1）建立坐標(biāo)系?？v軸為量尺，即次數(shù)，橫軸為各組分?jǐn)?shù)的組中值。（2）每一直方條的寬度由組距i確定并已體現(xiàn)在橫軸的等距刻度上，所有的直方條以各組的組中值為對(duì)稱點(diǎn)。（3）在直方圖橫軸下邊標(biāo)上圖的編號(hào)和圖的題目。（二）次數(shù)多邊圖次數(shù)多邊圖是利用閉合的折線構(gòu)成多邊形以反映次數(shù)變化情況的一種圖示方法。其繪制步驟如下：（1）縱軸和橫軸的要求與制作與次數(shù)多邊圖相同，但要求在橫軸上最低組與最高組外各增加一個(gè)次數(shù)為0的組（用組中值表示）。（2）描出各點(diǎn)。（3）用線段把相鄰的各點(diǎn)依次連接起來(lái)，連同橫軸上兩個(gè)次數(shù)為0的點(diǎn)構(gòu)成一閉合的多邊形。當(dāng)次數(shù)足夠大，組距不斷變小時(shí)便會(huì)形成一條光滑的曲線。即次數(shù)分布曲線。（三）相對(duì)次數(shù)直方圖與多邊圖 不同點(diǎn)在于縱軸是相對(duì)次數(shù)的量尺。（四）累積次數(shù)曲線圖有直方圖和曲線圖兩種，但最常見的是曲線圖。其繪制步驟如下：（1）縱軸為累積次數(shù)，橫軸意義不變。（2）橫軸是各組的上限，縱軸是累積次數(shù)。（3）用連續(xù)光滑的曲線把點(diǎn)的軌跡連起來(lái)，再與橫軸上最低組的下限所在點(diǎn)連起來(lái)，形成“S”形曲線。累積曲線圖有正偏態(tài)、負(fù)偏態(tài)和正態(tài)三種。（五）累積相對(duì)次數(shù)曲線圖與累積百分?jǐn)?shù)曲線圖與（四）同，只不過縱軸是累積相對(duì)次數(shù)或累積百分?jǐn)?shù)。幾種常用的統(tǒng)計(jì)分析圖一、散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖是用平面直角坐標(biāo)系上點(diǎn)的散布圖形來(lái)表示兩種事物之間的相關(guān)性及聯(lián)系模式。在平面直角坐標(biāo)系中，橫軸一般代表自變量，縱軸一般代表因變量，橫軸既可以作為連續(xù)性變量的量尺，也可以作為離散性變量的量尺，但縱軸一般均代表連續(xù)變量的量尺。二、線形圖線形圖是以起伏的折線來(lái)表示某種事物的發(fā)展變化及演變趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)圖。適用于描述某種事物在時(shí)間序列上的變化趨勢(shì)，也適用于描述一種事物隨另一種事物發(fā)展變化的趨勢(shì)模式，還適用于比較不同的人物團(tuán)體在同一心理或教育現(xiàn)象上的變化特征及相互聯(lián)系。三、條形圖條形圖是用寬度相同的長(zhǎng)條來(lái)表示各個(gè)統(tǒng)計(jì)事項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系。與直方圖不同的是，條形圖通常用于描述離散性變量（如屬性變量）的統(tǒng)計(jì)事項(xiàng)。四、圓形圖圓形圖是以單位圓內(nèi)各扇形面積所占整個(gè)圓形面積的百分比來(lái)表示各統(tǒng)計(jì)事項(xiàng)在其總體中所占相應(yīng)比例的一種圖示方法。各統(tǒng)計(jì)事項(xiàng)在總體中的比例乘以圓周角（360度），求出各相應(yīng)扇形的圓心角。第二章 常用統(tǒng)計(jì)參數(shù)數(shù)據(jù)的集中情況指一組數(shù)據(jù)的中心位置。在教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，經(jīng)常用集中量數(shù)來(lái)代表一群分?jǐn)?shù)水平高低，用差異量數(shù)來(lái)描寫這群分?jǐn)?shù)的離散程度。一群分?jǐn)?shù)的集中點(diǎn)叫集中量數(shù)，反映這群分?jǐn)?shù)在橫軸上的位置，它一般作為這群分?jǐn)?shù)的代表值。描寫分?jǐn)?shù)離散程度的量數(shù)叫差異量數(shù)。表示總體統(tǒng)計(jì)特征的量數(shù)稱為參數(shù)，用希臘字母表示。表示樣本統(tǒng)計(jì)特征的量數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量，用英文字母表示。歸納以上描述，也就是說(shuō)一組變量的次數(shù)分布特征，或者說(shuō)，要描述一組變量的全貌必須計(jì)算這組變量的兩方面的特征量，既：中心位置：中心位置用以度量一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，描述它們的中心位于何處，故對(duì)其數(shù)量化描述稱為位置度量中量數(shù)（集中量數(shù)）。離散性：反映一組數(shù)據(jù)的分散程度即次數(shù)分布的離散程度。第一節(jié) 集中量數(shù)一、算術(shù)平均數(shù)（一）含義：觀測(cè)值的總和除以觀測(cè)值的總次數(shù)所得的商，總體平均數(shù)用表示，樣本平均數(shù)用表示。（二）計(jì)算公式： （三）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（1）如果已知有K個(gè)組以及每一組的平均數(shù)和這一組的樣本容量，求所有值的總平均數(shù)。 如，已知甲、乙、丙三班的平均數(shù)以及人數(shù)，求這三班的總平均數(shù)。 甲 90分 30人乙 87分 42人丙 75分 50人=（2）次數(shù)分布表（分組數(shù)據(jù)）求平均數(shù)表21組 中 值組 別次 數(shù)累積次數(shù) 828084 8 53 77 7579 10 45 72 7074 12 35 67 6569 19 23 62 6064 4 4以每組組中值作為這組分?jǐn)?shù)的代表值（平均數(shù)），次數(shù)作為這組的樣本容量，而后參加計(jì)算，用加權(quán)平均數(shù)求法，即：=71.91也可用計(jì)算器在統(tǒng)計(jì)狀態(tài)下計(jì)算。（四）平均數(shù)的意義與應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的一種集中量數(shù)。它是“真值”漸近、最佳的估計(jì)值。（五）算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì) （1）所有的觀測(cè)值都加上一個(gè)常數(shù)C，則總體平均數(shù)也加上C。 （2）所有的觀測(cè)值都乘以一個(gè)常數(shù)C，則總體平均數(shù)也乘以一個(gè)常數(shù)C。 （3）所有的觀測(cè)值都乘以一個(gè)常數(shù)C再加上一個(gè)常數(shù)d，則總體平均數(shù)也乘以一個(gè)常數(shù)C再加上一個(gè)常數(shù)d （4）離均差之和為零。 （5）在所有觀測(cè)值的離差平方和中，離均差平方和最小。（六）算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)：算術(shù)平均數(shù)具有反應(yīng)靈敏，確定嚴(yán)密，簡(jiǎn)明易解，計(jì)算簡(jiǎn)便并能作進(jìn)一步的代數(shù)演算特點(diǎn)，較少受抽樣變動(dòng)的影響，是應(yīng)用最普遍的一種集中量數(shù)。如果一組數(shù)據(jù)是比較準(zhǔn)確可靠且又同質(zhì)，而且需要每一個(gè)數(shù)據(jù)都加入計(jì)算，同時(shí)還要作進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，一般都使用算術(shù)平均數(shù)表示集中趨勢(shì)。 缺：（1）算術(shù)平均數(shù)具有易受極端數(shù)據(jù)的影響。（2）若出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時(shí)，無(wú)法計(jì)算平均數(shù)，因?yàn)橛?jì)算平均數(shù)需要每一個(gè)數(shù)據(jù)都加入計(jì)算。（3）凡不同質(zhì)數(shù)據(jù)不能計(jì)算平均數(shù)。所謂同質(zhì)數(shù)據(jù)是指使用同一個(gè)觀測(cè)手段，采用相同的觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，能反映某一問題的同一方面特質(zhì)的數(shù)據(jù)。如果使用了不同質(zhì)的計(jì)算平均數(shù)，則該平均數(shù)不能作為這一組數(shù)據(jù)的代表值。例如，在教育方面，計(jì)算平均成績(jī)時(shí)，如果各科考試的難易水平和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)等各不相同，這時(shí)若用總平均數(shù)表示一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，就是不準(zhǔn)確的。二、中數(shù)（）（一）定義：中數(shù)，又稱中點(diǎn)數(shù)，中位數(shù)（Median），一組數(shù)據(jù)從大到小或從小到大排列，位于中間位置的那個(gè)數(shù)，或者說(shuō)，是指位于一組數(shù)據(jù)中較大一半與較小一半中間位置的那個(gè)數(shù)。這個(gè)數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一個(gè)，也可能根本不是原有的數(shù)。（二）求法（1）原始數(shù)據(jù)（未分組數(shù)據(jù)）求中數(shù) 根據(jù)中數(shù)的概念，首先將數(shù)據(jù)依其取值大小排列成序，然后找出位于中間的那個(gè)數(shù)，就是中數(shù)。有兩種情況；1數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)的情況。則取序列為第（N+1）/2的那個(gè)數(shù)為中數(shù)。2數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)的情況。則取序列為第N/2與第（N/2）+1個(gè)這兩個(gè)數(shù)據(jù)的均數(shù)為中數(shù)。（2）次數(shù)分布表（分組數(shù)據(jù)）求中數(shù) 將原始數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表后，求中數(shù)的原理同重復(fù)數(shù)目求中數(shù)是一樣的，也是取序列中將N平分為兩半的那一點(diǎn)的值作為中數(shù)。其具體步驟如下：1求N/2，并找出N/2（累積次數(shù)）所在的分組區(qū)間。2求含有中數(shù)那一區(qū)間以下各區(qū)間的次數(shù)和（即中數(shù)組區(qū)間下限以下的累積次數(shù)）記為3求N/2與之差。4求序列為第N/2那一點(diǎn)的值。 求中數(shù)的公式整理如下： 使用于向上累積次數(shù)分布表：緊鄰這一組的下一組累積次數(shù)；：中數(shù)所在組的精確下限；f：表示這一組的簡(jiǎn)單次數(shù)；i：組距；N；總次數(shù) 確定中數(shù)所在組：第一個(gè)大于N/2的累積次數(shù)所在組。 這樣表21的中數(shù)即為：N/2=1/2*53=26.5，而第一個(gè)大于26.5的累積次數(shù)所在組是7074所在組，故分布表的中數(shù)為，（三）中數(shù)的意義及應(yīng)用 優(yōu)：中數(shù)是根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算而來(lái)，不能憑主觀臆定。計(jì)算簡(jiǎn)單，容易理解。 缺：反應(yīng)不靈敏，兩極端數(shù)據(jù)變化，對(duì)中數(shù)不產(chǎn)生影響；計(jì)算中數(shù)時(shí)不是每個(gè)數(shù)據(jù)都加入計(jì)算，受抽樣的影響較大，不如平均數(shù)穩(wěn)定；中數(shù)乘以數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)與數(shù)據(jù)的總和不等；中數(shù)不能作進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算。在一般情況下，中數(shù)不被普遍應(yīng)用。但在一些特殊情況下，它的應(yīng)用受到重視。這些情況是：（1）當(dāng)一組觀測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)兩極端數(shù)據(jù)時(shí)。（2）當(dāng)次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個(gè)別數(shù)據(jù)不清楚時(shí)，只能取中數(shù)作為集中趨勢(shì)的代表值。（3）當(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)，也常用中數(shù)。三、眾數(shù)（）（一）含義：眾數(shù)又稱范數(shù)，密集數(shù)，通常數(shù)等。眾數(shù)是指在次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)的數(shù)值。它也是一種集中量數(shù)，也可用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。（二）求法（1）直接觀察求眾數(shù)不論是分組數(shù)據(jù)還是未分組數(shù)據(jù)，都可用觀察法求眾數(shù)。如有一組數(shù)據(jù)2、3、5、3、4、3、6，其中3的出現(xiàn)次數(shù)最多，因此3為眾數(shù)。數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表后，觀察次數(shù)最多那一組區(qū)間的組中值為眾數(shù)。同一組數(shù)據(jù)，由于分組時(shí)組距大小可不同，各區(qū)間的上下限也可能不一致，故次數(shù)分布表內(nèi)，次數(shù)分布最多那一組的組中值可能不同，故眾數(shù)也可能不同，可見，眾數(shù)受分組的影響。（2）用公式求眾數(shù) 用公式計(jì)算的眾數(shù)稱為數(shù)理眾數(shù)。皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法：。（三）眾數(shù)的意義及應(yīng)用 眾數(shù)的概念簡(jiǎn)單明了，容易理解，但不穩(wěn)定，受分組的影響，也受樣本變動(dòng)的影響，計(jì)算時(shí)不需要每一個(gè)數(shù)據(jù)都加入，因而較少受極端數(shù)據(jù)的影響，觀察眾數(shù)不是嚴(yán)格計(jì)算而來(lái)，用計(jì)算方法所得眾數(shù)亦是一個(gè)估計(jì)值。同時(shí)眾數(shù)不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算?？倲?shù)乘以眾數(shù)也不等于數(shù)據(jù)的總和。眾數(shù)也不是一個(gè)優(yōu)良的集中量數(shù)，應(yīng)用也不廣泛。但在一些情況下也常用：（1）當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)；（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時(shí)，可用眾數(shù)表示典型情況，如工資收入常以次數(shù)最多者為代表值；（3）當(dāng)次數(shù)分布中有極端數(shù)據(jù)時(shí)，有時(shí)也用眾數(shù)；（4）當(dāng)粗略地估計(jì)次數(shù)分布的形態(tài)時(shí)，有時(shí)用平均數(shù)與眾數(shù)之差，表示次數(shù)分布是否偏態(tài)的指標(biāo)。第二節(jié) 差異量數(shù)一、兩極差（R）兩極差也叫全距，就是最大值與最小值之間的距離。二、平均差（mean deviation，MD或average deviation,AD）平均差又叫中心動(dòng)差，是次數(shù)分布中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)距離絕對(duì)值的平均。平均差是對(duì)分布的變化性的較全面的一個(gè)度量。為了衡量所有數(shù)據(jù)偏離其均值的程度，先考慮每個(gè)觀測(cè)值離開其均值的偏差，然后再把這些偏差連加起來(lái)，但由于離均差之和為零，所以用了一個(gè)絕對(duì)值。即 例如，有5名被試的錯(cuò)覺實(shí)驗(yàn)結(jié)果，錯(cuò)覺量為16 18 20 22 17的平均數(shù)是18.6，AD=1.92。平均差是根據(jù)分布中每一個(gè)觀測(cè)值計(jì)算求得的，它較好地度量了次數(shù)分布的離散程度，由于離均差之和為零，要用到絕對(duì)值，不利于進(jìn)一步的運(yùn)算與分析。因而在實(shí)踐中不常使用，這就需要引進(jìn)一種不需要絕對(duì)值而又沒有負(fù)數(shù)的量數(shù)。三、方差（Variance）與標(biāo)準(zhǔn)差(Standard deviation)（一）定義及定義公式方差又叫變異數(shù)、均方（平均平方偏差），在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中又常稱二階中心或二級(jí)動(dòng)差。它是對(duì)分布的變化性的更全面的度量。由于離均差之和為零，為了得到描述分布形狀的有價(jià)值的度量，先將所有偏差作平方計(jì)算，那么就都是正值，然后再求平均才有意義。這樣得到的結(jié)果就叫做平均平方偏差或簡(jiǎn)稱均方差：（1）總體方差與總體標(biāo)準(zhǔn)差 （2）樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差 （二）計(jì)算原始數(shù)據(jù)求方差與標(biāo)準(zhǔn)差用總體方差舉例： =求以下數(shù)據(jù)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，方差分別為：40，標(biāo)準(zhǔn)差為：6.3246。40，60，50，50，40，50，50，50，60，50，50（三）方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì) （1）如果每個(gè)觀測(cè)值都增加一個(gè)常數(shù)C，則方差與標(biāo)準(zhǔn)差不變； （2）如果每個(gè)觀測(cè)值都乘以一個(gè)常數(shù)C，則方差擴(kuò)大C的平方倍，標(biāo)準(zhǔn)差擴(kuò)大C倍； （3）如果每個(gè)觀測(cè)值都乘以一個(gè)常數(shù)C在加上一個(gè)常數(shù)d，則方差擴(kuò)大C的平方倍，標(biāo)準(zhǔn)差擴(kuò)大C倍。（四）方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義（1）反應(yīng)靈敏，每個(gè)數(shù)據(jù)取值的變化，方差或標(biāo)準(zhǔn)差都隨之變化；（2）有一定的計(jì)算公式嚴(yán)密確定；（3）容易計(jì)算；（4）適合代數(shù)運(yùn)算；（5）受抽樣變動(dòng)的影響小，即一同樣本的標(biāo)準(zhǔn)差或方差比較穩(wěn)定；（6）簡(jiǎn)單明了，這一點(diǎn)與其他差異量數(shù)比較稍有不足，但其意義還是較明白的。（五）方差與標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用（1）差異系數(shù)（CV）同一特質(zhì)使用同一種測(cè)量工具得到的不同樣本之間的離散度的比較可以通過直接比較標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)現(xiàn)。不同特質(zhì)樣本之間的離散度比較可以通過比較差異系數(shù)（coefficient of variation, CV）來(lái)實(shí)現(xiàn),差異系數(shù)大的則離散程度大。差異系數(shù)的公式為：差異系數(shù)的適用條件：1.兩個(gè)或多個(gè)樣本所測(cè)的特質(zhì)不同，即使使用的觀測(cè)工具不同，如何比較其離散程度？2.即使使用的是同一種觀測(cè)工具，但樣本的水平相差較大時(shí)，如何比較它們的離散程度？例：已知某小學(xué)一年級(jí)學(xué)生的平均體重為25公斤，體重的標(biāo)準(zhǔn)差為3.7公斤，平均身高110cm，標(biāo)準(zhǔn)差為6.2cm，問體重與身高的離散程度哪個(gè)大？第三節(jié) 地位量數(shù)（在分布中的相對(duì)地位）一、百分位分?jǐn)?shù)（）（一）含義 百分位分?jǐn)?shù)實(shí)際上是一個(gè)原始分?jǐn)?shù)，已知它在次數(shù)分布中特定地位（m）的原始分?jǐn)?shù)，m是一個(gè)百分?jǐn)?shù)，表示比這個(gè)原始分?jǐn)?shù)要小的人有百分之幾。如，在這里m=70，83是原始分?jǐn)?shù)，意思是有70%的人低于83分。（已知百分?jǐn)?shù)求原始分?jǐn)?shù)）（二）計(jì)算 通過百分點(diǎn)確定它所對(duì)應(yīng)的原始分?jǐn)?shù)。 （1）原始數(shù)據(jù)求百分位分?jǐn)?shù) 把所有分?jǐn)?shù)從小到大排序通過N乘以百分?jǐn)?shù)確定原始分?jǐn)?shù)所在點(diǎn)。 （2）次數(shù)分布表求百分位分?jǐn)?shù) 表22組 別 次 數(shù) 累 積 次 數(shù)累積相對(duì)次數(shù)6569 8 109 1.006064 12 101 0.935559 18 89 0.825054 25 71 0.654549 24 46 0.424044 13 22 0.203539 9 9 0.08確定原始分?jǐn)?shù)所在組數(shù)：,第一個(gè)大于它的累積次數(shù)所在組。組數(shù)確定以后，其它符號(hào)的含義和求中數(shù)中的含義一樣。實(shí)際上，中數(shù)就是百分位分?jǐn)?shù)的特例，即第50百分位分?jǐn)?shù)。例如，求第25、75百分位分?jǐn)?shù)。分別為45.59、57.49。二、百分等級(jí)分?jǐn)?shù)（PR）百分位分?jǐn)?shù)：已知百分點(diǎn)m求對(duì)應(yīng)的原始分?jǐn)?shù)百分等級(jí)分?jǐn)?shù)：已知原始分?jǐn)?shù)求對(duì)應(yīng)的百分等級(jí)（一）含義 次數(shù)分布中低于這個(gè)原始分?jǐn)?shù)的次數(shù)百分比，用PR表示。（二）計(jì)算公式求原始分?jǐn)?shù)是52分的百分等級(jí)，原始分?jǐn)?shù)是62的百分等級(jí)。（分別為54、87）百分等級(jí)指出原始數(shù)據(jù)在常模團(tuán)體中的相對(duì)位置，百分等級(jí)越小，原始數(shù)據(jù)分布中的相對(duì)位置越低。反之，越高。三、評(píng)價(jià) 表示相對(duì)地位的量數(shù)，是個(gè)順序變量，PR可以表示任何一個(gè)分?jǐn)?shù)在該團(tuán)體中的相對(duì)地位。在測(cè)量學(xué)中，常用百分等級(jí)表示常模量表。第四節(jié) 相關(guān)量數(shù)一、什么是相關(guān)事物之間相互關(guān)系有多種，概括起來(lái)有以下幾種情況：（一）因果關(guān)系因果關(guān)系即一種現(xiàn)象是另一種現(xiàn)象的因，而另一種現(xiàn)象則是果。例如學(xué)習(xí)的努力程度是學(xué)習(xí)成績(jī)好壞的因（至少是部分的因）；在一定刺激強(qiáng)度范圍內(nèi)，刺激強(qiáng)度經(jīng)常是反應(yīng)強(qiáng)度的因等等。（二）相關(guān)關(guān)系即兩類現(xiàn)象在發(fā)展變化的方向與大小方面存在一定的關(guān)系，但不能確定這兩類現(xiàn)象之間哪個(gè)是因，哪個(gè)是果；也有理由認(rèn)為這兩者并不同時(shí)受第三因素的影響，即不存在共變關(guān)系。即事物之間有關(guān)系，一變量會(huì)影響另一變量，但它們之間既不是因果關(guān)系也不是共變關(guān)系，那么它們之間存在統(tǒng)計(jì)關(guān)系（相關(guān)關(guān)系）。二、相關(guān)系數(shù)(,r)兩變量之間相關(guān)密切程度的數(shù)字指標(biāo)，方向（性質(zhì)）： 正相關(guān)：方向一致，如身高與體重成正比。負(fù)相關(guān)：方向相反，如初學(xué)打字，練習(xí)次數(shù)越多，錯(cuò)誤越少。零相關(guān)：不存在線性相關(guān)，如成績(jī)好壞與身高無(wú)關(guān)，不是不相關(guān)，因?yàn)橛锌赡苁乔€相關(guān)。相關(guān)程度：完全正相關(guān)：完全負(fù)相關(guān)：零相關(guān)：相關(guān)形式：線性相關(guān)（相關(guān)散點(diǎn)圖）非線性相關(guān)（曲線相關(guān)）相關(guān)因素多少：?jiǎn)蜗嚓P(guān)：兩變量之間，如身高與體重復(fù)相關(guān)：多個(gè)變量之間，如工資水平受工齡、勞動(dòng)時(shí)間、職稱等影響。我們要研究的是，之間的線性相關(guān)，單相關(guān)。三、相關(guān)系數(shù)的解釋，弱相關(guān) ； ，低相關(guān)；，顯著相關(guān)； ，高度相關(guān)。（1）相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值在0，1.00之間不同時(shí)，表明相關(guān)密切程度不同，絕對(duì)值越大，表明相關(guān)程度越高。（2）相關(guān)關(guān)系不是等距量值，因此在比較相關(guān)程度時(shí)，只能說(shuō)絕對(duì)值大者比絕對(duì)值小者相關(guān)更密切一些，r=0.50與r=0.25，只能說(shuō)前者比后者密切程度高而不能說(shuō)前者是后者的兩倍。（3）存在相關(guān)關(guān)系，不一定存在因果關(guān)系，存在因果關(guān)系的變量相關(guān)系數(shù)一定為1。四、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算（線性相關(guān)）計(jì)算相關(guān)系數(shù)一般要求成對(duì)的數(shù)據(jù)，即若干個(gè)個(gè)體中的個(gè)體要有兩種不同的觀測(cè)值。例如每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和語(yǔ)文成績(jī)；每個(gè)學(xué)生的智力分?jǐn)?shù)與學(xué)習(xí)成績(jī)；每個(gè)學(xué)生的英語(yǔ)聽力水平和口語(yǔ)水平。（一）積差相關(guān)（積矩相關(guān)）（） 皮爾遜（Pearson）（英）二十世紀(jì)初提出的，因而也叫皮爾遜相關(guān)（1）適用條件連續(xù)變量成對(duì)出現(xiàn)正態(tài)分布：要求總體正態(tài)，至于用來(lái)計(jì)算的樣本數(shù)據(jù)，并不要求一定為正態(tài)分布。（2）定義公式=其中稱為協(xié)方差(3)計(jì)算公式 D=X-Y例如，被試的身高（cm）和體重（公斤）均服從正態(tài)分布，求其相關(guān)密切程度：（r=0.792）被試12345678910身高170173160155173188178183180165體重50454744505350495245（二）等級(jí)相關(guān)（1）spearman等級(jí)相關(guān) 1適用條件 11兩列變量都是等級(jí)或順序變量的時(shí)候。 12確定不了數(shù)據(jù)的分布形態(tài)的時(shí)候。 13積差相關(guān)運(yùn)算太繁，轉(zhuǎn)用等級(jí)相關(guān)。 等級(jí)轉(zhuǎn)化：數(shù)據(jù)：82 71 48 96 82 54等級(jí)：2.5 4 6 1 2.5 582應(yīng)該是在第2、3位，重復(fù)了兩次，故其等級(jí)為（2+3）/2=2.5 2計(jì)算公式 D為等級(jí)相減之差 例：學(xué)習(xí) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10紀(jì)律 1 4 3 2 9 5 6 8 10 7D 0 -2 0 2 -4 1 1 0 -1 3（2）kendal和諧系數(shù) 1適用條件 kendal和諧系數(shù)又稱閱卷者信度或評(píng)分者一致性系數(shù)，用于評(píng)價(jià)多個(gè)等級(jí)變量之間的相關(guān)密切程度。或者說(shuō)用于評(píng)價(jià)多個(gè)評(píng)委對(duì)被試評(píng)定等級(jí)的一致性程度。2計(jì)算公式 表示評(píng)委在某被試上的評(píng)定的等級(jí)之和。例：學(xué)生 評(píng)委 A B C Ri 1 1 3 1 5 2 2 1 3 6 3 3 2 4 9 4 4 4 2 10 5 5 5 5 15（三）質(zhì)與量的相關(guān) 質(zhì)與量的相關(guān)是指一列變量為等距的測(cè)量數(shù)據(jù)，另一列變量是按性質(zhì)劃分的類別，欲求這樣兩列變量的直線相關(guān)，稱之為質(zhì)與量的相關(guān)，包括點(diǎn)二列相關(guān)、二列相關(guān)。點(diǎn)二列相關(guān) 1適用條件如果兩列變量中有一列為等距或比率變量而且其總體是正態(tài)分布，另一列變量只是名義上的變量，而實(shí)際上是按事物的性質(zhì)劃分兩類的變量。如性別為男女，選擇答案為是否，生命狀態(tài)為生死等。這類變量稱為二分稱名變量。2計(jì)算公式 其中為與一個(gè)二分變量對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)，為與另一個(gè)二分變量對(duì)應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)，為整個(gè)連續(xù)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，p和q分別為二分變量在總體中各自所占的比率。例：下表為隨機(jī)抽取15名兒童（8名男童，7名女童）對(duì)暴力卡通片的反應(yīng)數(shù)據(jù)，其中1表示最不強(qiáng)烈的反應(yīng)，11為最強(qiáng)烈的反應(yīng)，試分析男女兒童對(duì)暴力卡通片的反應(yīng)之間是否有聯(lián)系。（0代表女孩，1代表男孩）1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 3 2 4 5 4 2 3 4 4 5 7 8 5 9 10相關(guān)系數(shù)為0.7341，經(jīng)顯著性檢驗(yàn)，p=0.0005。第三章 概率與概率分布第一節(jié) 概率一、與概率的相關(guān)的現(xiàn)象（一）兩種不同類型的概率現(xiàn)象（1）確定性現(xiàn)象： 在一定條件下，事先可以斷言必然會(huì)發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象。（2）隨機(jī)現(xiàn)象 ：在一定條件下，事先不能斷言會(huì)發(fā)生哪一種結(jié)果的現(xiàn)象。（二）隨機(jī)現(xiàn)象的兩個(gè)顯著特點(diǎn)（1）偶然性：一次試驗(yàn)前不能預(yù)言會(huì)發(fā)生哪一種結(jié)果，這是隨機(jī)現(xiàn)象的偶然性。（2）必然性：在相同條件下，進(jìn)行大量次重復(fù)試驗(yàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這說(shuō)明隨機(jī)現(xiàn)象具有必然性。而正是因?yàn)楸厝恍曰蛘哒f(shuō)規(guī)律性，我們才可以用重復(fù)實(shí)驗(yàn)的辦法來(lái)統(tǒng)計(jì)出事物或者說(shuō)現(xiàn)象發(fā)生的可能性（概率）。二、隨機(jī)事件與概率（1）隨機(jī)事件：隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能的結(jié)果稱為隨機(jī)事件（如正面朝上1，反面朝上0）簡(jiǎn)稱事件。隨機(jī)事件中有兩種極端情況，必然事件和不可能事件。（2）頻率：在隨機(jī)事件中，某事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)的總次數(shù)n的比值，這個(gè)比率稱為事件A發(fā)生的頻率。，如在丟硬幣實(shí)驗(yàn)中，n=5次，假如正面朝上為事件A，出現(xiàn)的次數(shù)為2次，則事件A發(fā)生的頻率為2/5。（3）概率（后驗(yàn)概率）：是隨機(jī)事件A的頻率在n時(shí)的極限，稱為此事件A的概率，也就是說(shuō)，在大量重復(fù)n次試驗(yàn)中，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率m/n穩(wěn)定在一個(gè)確定的常數(shù)附近，我們就用這個(gè)數(shù)表示事件A發(fā)生的概率，記作：P(A)=m/n（4）概率（先驗(yàn)概率）：先驗(yàn)概率是在特殊情況下直接計(jì)算的比值。它是真實(shí)的概率值而不是估計(jì)值。它必須是在這樣的條件下發(fā)生的：實(shí)驗(yàn)的每一種可能結(jié)果（基本事件）是有限的；每一個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。如果試驗(yàn)由n個(gè)有限的基本事件組成，事件A包括m個(gè)基本事件，則在一次隨機(jī)抽樣中，事件A發(fā)生的概率為：P(A)=m/n。如一副牌52張（52個(gè)基本事件），抽取到任何一張的概率是相等的1/52，如果事件A為紅桃，則事件A由13個(gè)基本事件，故紅桃出現(xiàn)的概率為P(A)=13/52。（5）值域：0，1三、概率的基本性質(zhì)（一）概率的公理系統(tǒng)（1）任何一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率都是非負(fù)的。（2）必然事件發(fā)生的概率為1，必然事件是指在一定條件下必然發(fā)生的事件。（3）不可能事件發(fā)生的概率為0，不可能事件是指在一定條件下必然不會(huì)發(fā)生的事件。概率越接近1，其發(fā)生的可能性越大，越接近0，發(fā)生的可能性越小。（二）概率的加法定理若A，B是兩個(gè)互不相容事件，則A，B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為兩個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和。P（A+B）=P（A）+P（B）互不相容事件是指在一次實(shí)驗(yàn)中不可能同時(shí)出現(xiàn)的事件稱為互不相容事件，若事件A發(fā)生則事件B就不可能發(fā)生。例如對(duì)學(xué)生進(jìn)行考核，如果成績(jī)?yōu)閮?yōu)這一事件出現(xiàn)，則成績(jī)?yōu)榱歼@一事件就一定不會(huì)出現(xiàn)。若該生得優(yōu)的概率為0.10，得良的概率為0.50，依據(jù)加法定理，該生考核成績(jī)?yōu)閮?yōu)良的概率為0.10+0.50=0.60。再如，擲一個(gè) sai子，求事件A=出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過4的概率為：就一次實(shí)驗(yàn)而言，6個(gè)點(diǎn)數(shù)（1，2，3，4，5，6點(diǎn)）是互不相容事件，故事件A發(fā)生的概率為，1/6+1/6+1/6+1/6=4/6。（三）概率的乘法定理若A，B是兩個(gè)相互獨(dú)立事件，則A和B同時(shí)發(fā)生的概率為兩事件分別發(fā)生的概率之積。P（AB）=P（A）P（B）相互獨(dú)立事件是指一個(gè)事件的出現(xiàn)對(duì)另一個(gè)事件的出現(xiàn)不發(fā)生影響。如果事件A的概率隨事件B是否出現(xiàn)而改變，事件B的概率隨事件A是否出現(xiàn)而改變，則稱事件A和B為相關(guān)事件或相依事件。例如從52張牌中有放回連續(xù)抽取兩次，問第一次抽取到紅桃6，第二次抽取到方塊6的概率為，1/52*1/52=1/2704；兩次都為紅色的概率為1/2*1/2=1/4。再如，擲sai子，連續(xù)擲兩次，則兩次都出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的概率為1/6*1/6=1/36。五、排列與組合： 第二節(jié) 二項(xiàng)分布（離散型隨機(jī)變量的概率分布）一、二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)與二項(xiàng)分布（一）二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)又稱貝努里實(shí)驗(yàn)，它有幾個(gè)前提條件：任何一次實(shí)驗(yàn)恰好有兩個(gè)結(jié)果，如成功與失敗、對(duì)與錯(cuò)、正面與反面，而且每次實(shí)驗(yàn)成功與失敗、對(duì)與錯(cuò)、正面與反面的概率不變；假定事件A（成功、對(duì)、正面）發(fā)生的概率為P，則對(duì)立事件（失敗、錯(cuò)、反面）發(fā)生的概率為q，則q=1-P；共有n次實(shí)驗(yàn)，各次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，即各次實(shí)驗(yàn)之間無(wú)相互影響，每一次實(shí)驗(yàn)的概率并不會(huì)因?yàn)槠渌鼘?shí)驗(yàn)的結(jié)果而受到影響（抽樣是有放回的）。凡符合上述要求的實(shí)驗(yàn)稱為二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。在教育與心理實(shí)驗(yàn)中，社會(huì)調(diào)查研究中，二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的例子是很多的。如，測(cè)驗(yàn)中的是非題（對(duì)、錯(cuò)）；四選一選擇題（答對(duì)概率為1/4，答錯(cuò)概率為3/4）；丟硬幣（正面朝上，反面朝上）；民意調(diào)查中支持某候選人，不支持某候選人等等。（二）二項(xiàng)分布在n次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X就稱為二項(xiàng)變量，X的概率分布就叫做二項(xiàng)分布?；蛘哒f(shuō)，二項(xiàng)分布是指統(tǒng)計(jì)變量中只有性質(zhì)不同的兩項(xiàng)群體（即二項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果）的概率分布。二項(xiàng)分布可以說(shuō)是兩個(gè)對(duì)立事件的概率分布。二、二項(xiàng)分布概率的計(jì)算二項(xiàng)分布與二項(xiàng)定理有密切的關(guān)系：在n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的條件下，事件A出現(xiàn)的次數(shù)x的概率為：如果用概率P的形式來(lái)表示可寫成：例1：擲硬幣實(shí)驗(yàn)。有10個(gè)硬幣擲一次或一個(gè)硬幣擲10次，問五次正面向上的概率是多少？根據(jù)題意，n=10,p=1/2,q=1/2例2：在一個(gè)男女居民各占半數(shù)的大居民區(qū)中，抽取一個(gè)n=10的隨機(jī)樣本，問樣本中正好有4位女性居民的概率是多少？假定按抽樣是有放回的來(lái)計(jì)算誤差很小。例3：假定已知某個(gè)大廠（總體）中喜歡某個(gè)電視節(jié)目的職工占60%，現(xiàn)從這個(gè)總體中隨機(jī)抽取6位職工進(jìn)行調(diào)查，設(shè)X=樣本中喜歡該電視節(jié)目的人數(shù)。求樣本中恰好有3人喜歡該節(jié)目的概率。（0.2765）三、二項(xiàng)分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)差及其應(yīng)用 例：有一個(gè)出色的扣球手扣球命中率為0.80，若每次扣20個(gè)球，則每次平均能扣中多少個(gè)球？（16個(gè)）四、二項(xiàng)分布的形狀與性質(zhì)（1）二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。（2）若p=q，不管n多大，二項(xiàng)分布呈對(duì)稱型。當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布，當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限。（3）若pq時(shí)，為偏態(tài)分布，當(dāng)n時(shí)，近似正態(tài)分布。第三節(jié) 正態(tài)分布（連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布）一、正態(tài)分布的含義正態(tài)分布也稱為常態(tài)分布或常態(tài)分配，是連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布的一種。其概率分布是一種呈鐘型的對(duì)稱曲線，叫正態(tài)曲線或高斯曲線。這是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最普遍也是最常用的一種分布。例如在度量自然現(xiàn)象和經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象時(shí)測(cè)量誤差一般是服從正態(tài)分布的。又例如人的智商、能力的高低、考試成績(jī)、社會(huì)調(diào)查中某種態(tài)度的得分、行為表現(xiàn)以及身高、體重等身體狀態(tài)等一般都近似服從正態(tài)分布。某變量服從正態(tài)分布寫作：N（）二、正態(tài)分布的特征（一）正態(tài)分布的密度函數(shù)為 （二）正態(tài)曲線下的面積為1，由于它在平均數(shù)處左右對(duì)稱，故過平均數(shù)點(diǎn)的垂線將正態(tài)曲線下的面積劃分為相等的兩部分，即各為0.50。（三）正態(tài)分布是由平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布。它隨隨機(jī)變量的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的大小及單位不同而有不同的分布形態(tài)。平均數(shù)決定曲線在橫坐標(biāo)上的位置（總體水平的高低），標(biāo)準(zhǔn)差決定總體的離散程度（分布形態(tài)）。如果平均數(shù)相同，標(biāo)準(zhǔn)差不同，這時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差大的正態(tài)分布曲線低闊，標(biāo)準(zhǔn)差小，則正態(tài)分布曲線高狹。（四）在正態(tài)分布曲線下，標(biāo)準(zhǔn)差與概率（面積）有一定的數(shù)量關(guān)系。如：離開平均數(shù)正負(fù)1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間包含總面積的68.26%；正負(fù)1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，包含總面積的95%；正負(fù)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間包含總面積的95.44%；正負(fù)2.58個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間包含總面積的99%；正負(fù)1.64個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間包含總面積的90%；正負(fù)3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間包含總面積的99.74%。三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布任何正態(tài)分布都可以通過或轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，所有的原始分?jǐn)?shù)都變成了標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，所有的普通正態(tài)分布曲線下橫坐標(biāo)上的數(shù)據(jù)都轉(zhuǎn)變成了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，因而把不等單位的原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)變成了可以比較（加減乘除）的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)是平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的這兩個(gè)參數(shù)分別為0和1。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可寫成N（0，1）。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，幾個(gè)特殊的Z分?jǐn)?shù)之間所包含的面積如下：P(-1Z+1)=0.6826; P(-1.64Z+1.64)=0.90; P(-2Z+2)=0.9544P(-1.96Z+1.96)=0.95; P(-2.58Z+2.58)=0.99; P(-3Z+3)=0.9974（二）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（1）定義：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的離均差（又叫Z分?jǐn)?shù)）。（2）性質(zhì)：1是地位量數(shù)，與百分位數(shù)，百分等級(jí)分?jǐn)?shù)相同。2是等距變量。3Z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。 四、正態(tài)分布曲線下概率面積的計(jì)算正態(tài)分布曲線下概率面積的計(jì)算，只需把普通的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可。例：求以下分?jǐn)?shù)之間的面積：（1） （2）（0.9342）（3）（0.41149）（4） XN（10，）（0.6687）五、正態(tài)分布理論在測(cè)驗(yàn)中的應(yīng)用（一）將原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)在比較學(xué)生幾門學(xué)科的總成績(jī)時(shí)，若將幾門學(xué)科的原始分?jǐn)?shù)相加求和，比較其總分，這是不科學(xué)，不合理的。因?yàn)?，可能由于各科試題難易的不同，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)不同，學(xué)生對(duì)各科知識(shí)的掌握情況不同等，而使某門學(xué)科的分?jǐn)?shù)普遍偏高，另一門學(xué)科的分?jǐn)?shù)普遍偏低，這時(shí)，兩門學(xué)科的分值不相同，同為1分，在分?jǐn)?shù)偏高的學(xué)科中價(jià)值較低，在分?jǐn)?shù)偏低的學(xué)科中價(jià)值較高。由于各科原始分?jǐn)?shù)缺乏相等的單位，故既不能相互比較，也不能相加求和。若各科原始分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布或總體呈正態(tài)分布，則可將各科原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)