2016年武漢市高考模擬文科數(shù)學(xué)試卷（5月份）含答案解析

第 1 頁（共 19 頁） 2016 年湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（ 5 月份） 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。 1已知復(fù)數(shù) z 滿足方程 z（ 4 3i） =3+4i，則 z 的虛部為（ ） A 1B 1C i 2已知集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x，則 PQ=（ ） A 0， 1， 2B 0， 1C 1， 2D 3命題 p：若 x y；命題 q： x2+列命題為假命題的是（ ） A p 或 p 且 p 4要得到函數(shù) 的圖象，只需將 y=圖象（ ） A向左平移 個單位 B向右平移 個單位 C向左平移 個單位 D向右平移 個單位 5函數(shù) y=區(qū)間（ ， ）上的圖象大致是（ ） A B C D 6等差數(shù)列 前 n 項和為 1= 4， ， =6，則 m=（ ） A 3B 4C 5D 6 7若函數(shù) y=2x， y）滿足約束條件 則實數(shù) m 的最大值為（ ） A 2B C 1D 8某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（ ） A 28+6 B 30+6 C 56+12 D 60+12 9執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的 T 的值為（ ） 第 2 頁（共 19 頁） A 12B 20C 30D 42 10在 ， A= ， ，則 C 的長可表示為（ ） A 4 B+ ） B 6B+ ） C 4 B+ ） D 6B+ ） 11過雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一個焦點 F 的直線與雙曲 線相交于 A， B 兩點，當 x 軸，稱 |雙曲線的通徑若過焦點 F 的所有焦點弦 ，其長度的最小值為 ，則此雙曲線的離心率的范圍為（ ） A（ 1， ） B（ 1， C（ ， +） D ， +） 12設(shè) a 為實數(shù)，且函數(shù) f（ x） =（ a+ a 1 有零點，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 1 ） B 1+ ， 1 C 1+ ， +） D 1 ， 1+ 1 ， 1+ 二、填空題 :本大題共 4小題。每小題 5分。 13已知向量 =（ 2， m+1）， =（ m+3， 4），且（ + ） （ ），則 m= 14一首詩詞巍巍寶塔中寫道： “遙望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈 ” 根據(jù)詩詞中的描述，算出塔尖的燈數(shù)為 15設(shè)奇函數(shù) y=f（ x）（ xR），滿足對任意 tR 都有 f（ t） =f（ 1 t），且 時，f（ x） = 的值等于 16過點（ ， 0）引直線 l 與曲線 y= 相交于 A， B 兩點， O 為坐標原點，當 線 l 的斜率為 第 3 頁（共 19 頁） 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17已知 內(nèi)角 A， B， C 的三條對邊分別為 a， b， c，且 b（ 3b c） （ ）求 （ ）若 面積為 2 ，且 上的中線 長為 2 ，求 b， c 的值 18如表為吸煙與患病之間的二聯(lián)表： 患病（人數(shù)） 不患?。ㄈ藬?shù)） 合計 吸煙（人數(shù)） a b a+b 不吸煙（人數(shù)） c d c+d 合計 a+c b+d n=a+b+c+d 根據(jù)如表，回答下列問題： （ ）試根據(jù)上表，用含 a， b， c， d， n 的式子表示人群中患病的頻率為 ；在（ a+b）個人中患病的頻數(shù)為 ；在（ a+b）個人中不患病的頻數(shù) 為 ；在（ c+d）個人中患病的頻數(shù)為 ；在（ c+d）人中不患病的頻數(shù)為 （ ）根據(jù) 2= 以及臨界值表，若 a=40， b=10， c=30， d=20，能否有 上的把握認為吸煙與患病有關(guān)？ P（ 20） 0 （ 20） 0 9如圖，在長方體 D=1， ，一只螞蟻沿側(cè)面 點出發(fā)，經(jīng)過棱 到達 螞蟻所走的路程最短時， （ ）求 長； （ ）求證： 平面 20已知函數(shù) f（ x） =aR）的圖象在點（ 1， f（ 1）處的切線與直線 x+3y=0 垂直 （ ）求實數(shù) a 的值； （ ）若存在 kZ，使得 f（ x） k 恒成 立，求 k 的最大值 21已知橢圓 C： + =1 的短軸長為 2，離心率 （ ）求橢圓 C 的標準方程； （ ） ，若 點 P 的軌跡 E 的方程； 第 4 頁（共 19 頁） （ ）若 于 E 與 積的最大值 請 考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 選修 4何證明選講 22如圖， O 過平行四邊形 三個頂點 B， C， T，且與 切，交 延長線于點 D （ 1）求證： =D； （ 2） E、 F 是 三等分點，且 F，求 A 選修 4標系與參數(shù)方程 23在平面直角坐標系中，以原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位已知曲線 C 的極坐標方程為 =2線 l 的參數(shù)方程為（ t 為參數(shù)， 為直線的傾斜角） （ I）寫出直線 l 的普通方程和曲線 C 的直角坐標方程； （ ）若直線 l 與曲線 C 有唯一的公共點，求角 的大小 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|2x a|+|x 1| （ 1）當 a=3 時，求不等式 f（ x） 2 的解集； （ 2）若 f（ x） 5 x 對 xR 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍 第 5 頁（共 19 頁） 2016 年湖北省武漢市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）（ 5 月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12小題，每小題 5分，共 60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。 1已知復(fù)數(shù) z 滿足方程 z（ 4 3i） =3+4i，則 z 的虛部為（ ） A 1B 1C i 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 把已知等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案 【解答】 解：由 z（ 4 3i） =3+4i，得 ， z 的虛部為 1 故選： A 2已知集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x，則 PQ=（ ） A 0， 1， 2B 0， 1C 1， 2D 【考點】 交集及其運算 【分析】 求出 Q 中 y 的范圍確定出 Q，找出 P 與 Q 的交集即可 【解答】 解： 集合 P=0， 1， 2， Q=y|y=3x=y|y 0， PQ=1， 2， 故選： C 3命題 p：若 x y；命題 q： x2+列命題為假命題的是（ ） A p 或 p 且 p 【考點】 復(fù)合命題的真假 【分析】 根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可判斷出 ，不一定得到 x y，所以說命題 根據(jù)基本不等式即可判斷出命題 q 為真命題，然后根據(jù) p， p 或 q， p 且 q 的真假和 p， q 真假的關(guān)系即可找出正確選項 【解答】 解： x= ， y=，滿足 x y； 命題 p 是假命題； x2+是基本不等式； 命題 q 是真命題； p 或 q 為真命題， p 且 q 為假命題， q 是真命題， p 是真命題； 是假命題的是 B 故選 B 4要得到函數(shù) 的圖象，只需將 y=圖象（ ） A向左平移 個單位 B向右平移 個單位 第 6 頁（共 19 頁） C向左平移 個單位 D向右平移 個單位 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 利用平移原則求解即可得解 【解答】 解：函數(shù) y= ） = x ）， 只需將 y=x 的圖象向右平移 個單位，即可得到函數(shù) y= ）的圖象， 故選： B 5函數(shù) y=區(qū)間（ ， ）上的圖象大致是（ ） A B C D 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 先研究函數(shù)的奇偶性、再判斷函 數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由于 f（ x） = f（ x） =ln x） =f（ x）， 函數(shù)是偶函數(shù)，排除 B， D； 又函數(shù)在（ 0， ）上單調(diào)遞減，排除 C 故選： A 6等差數(shù)列 前 n 項和為 1= 4， ， =6，則 m=（ ） A 3B 4C 5D 6 【考點】 等差數(shù)列的通項公式 【分析】 由 與 而得到公差 d，由前 n 項和公式及 可求得 由通項公式及 可得 m 值 【解答】 解： m 1=4， = ， 公差 d= ， 由 ， 得 a1+，則 4， 4+（ m 1） 2=4，解得 m=5， 故選： C 7若函數(shù) y=2x， y）滿足約束條件 則實數(shù) m 的最大值為（ ） 第 7 頁（共 19 頁） A 2B C 1D 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得函數(shù) y=2y=3 交與點（ 1， 2），結(jié)合圖形分析可得 m 的最大值，即可得答案 【解答】 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，即 邊與其內(nèi)部區(qū)域， 當函數(shù) y=2x+y=3 交與點 A 時，滿足條件， 由 ，解得 ，即 A（ 1， 2）， 若函數(shù) y=2x， y）滿足約束條件， 即 y=2 則必有 m1，即實數(shù) m 的最大值為 1， 故選： C 8某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（ ） A 28+6 B 30+6 C 56+12 D 60+12 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 通過三視圖復(fù)原的幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求出幾何體的表面積即可 【解答】 解：三視圖復(fù)原的幾何體是底面為直角邊長為 4 和 5 的三角形， 一個側(cè)面垂直底面的等腰三角形，高為 4，底邊長為 5，如圖， 所以 S 底 = =10， S 后 = ， 第 8 頁（共 19 頁） S 右 = =10， S 左 = =6 幾何體的表面積為： S=S 底 +S 后 +S 右 +S 左 =30+6 故選： B 9執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的 T 的值為（ ） A 12B 20C 30D 42 【考點】 程序框圖 【分 析】 根據(jù)程序框圖，按照其流程運算，并輸出結(jié)果 【解答】 解：根據(jù)程序框圖，運行如下： S=0 N=0 T=0 S=5 N=2 T=2 S=10 N=4 T=6 S=15 N=6 T=12 S=20 N=8 T=20 S=25 N=10 T=30 此時 T S 故輸出 T=30 第 9 頁（共 19 頁） 故選 C 10在 ， A= ， ，則 C 的長可表示為（ ） A 4 B+ ） B 6B+ ） C 4 B+ ） D 6B+ ） 【考點】 正弦定理 【分析】 由正弦定理可得： B）， 用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡即可得解 【解答】 解：在 ， A= ， ， C= B， 由正弦定理得： = =2 ，整理得： B）， C=2 B） +2 B） +2 （ =6B+ ） 故選： D 11過雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一個焦點 F 的直線與雙曲線相交于 A， B 兩點，當 x 軸，稱 |雙曲線的通徑若過焦點 F 的所有焦點弦 ，其長度的最小值為 ，則此雙曲線的離心率的范圍為（ ） A（ 1， ） B（ 1， C（ ， +） D ， +） 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 當經(jīng)過焦點 F 的直線與雙曲線的交點在同一支上，可得雙曲線的通徑最??；當直線與雙曲線的交點在兩支上，可得直線的斜率為 0 時，即為實軸，最小為 2a由 2a ，結(jié)合 a， b， c 的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到范圍 【解答】 解：當經(jīng)過焦點 F 的直線與雙曲線的交點在同一支上， 可得雙曲線的通徑最小，令 x=c，可得 y=b = ， 即有最小值為 ； 當直線與雙曲線的交點在兩支上，可得直線的斜率為 0 時， 即為實軸，最小為 2a 第 10 頁（共 19 頁） 由題意可得 2a ， 即為 a2b2= 即有 c a， 則離心率 e= （ 1， 故選： B 12設(shè) a 為實數(shù)，且函數(shù) f（ x） =（ a+ a 1 有零點，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 1 ） B 1+ ， 1 C 1+ ， +） D 1 ， 1+ 1 ， 1+ 【考點】 函數(shù)零點的判定定理 【分析】 結(jié)合選項，對選項中的 a=0 和 a=1 進行排除驗 證，從而確定 D 是正確的 【解答】 解：當 a=0 時， f（ x） = 1 1 得 2（舍）所以 a=0 不成立，排除 B 當 a=1 時 f（ x） = t=x+ ） ， 2 所以 g（ t） =t = t2+t = （ t+1） 2 1 t ， 由圖象知 g（ t）在 ， 上有零點 所以 a=1 成立排除 A， C 故選 D 二、填空題 :本大題共 4小題。每小題 5分。 13已知向量 =（ 2， m+1）， =（ m+3， 4），且（ + ） （ ），則 m= 5 或 1 【考點】 平面向量共線（平行）的坐標表示 【分析】 根據(jù)平面向量的坐標運算與共線定理的坐標表示，列出方程即可求出 m 的值 【解答】 解：向量 =（ 2， m+1）， =（ m+3， 4）， （ + ） =（ m+5， m+5）， （ ） =（ m 1， m 3）， 又（ + ） （ ）， （ m+5）（ m 3）（ m+5）（ m 1） =0， 解得 m= 5 或 m=1 故答案為： 5 或 1 14一首詩詞巍巍寶塔中寫道： 第 11 頁（共 19 頁） “遙望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈 ” 根據(jù)詩詞中的描述，算出塔尖的燈數(shù)為 3 【考點】 等比數(shù)列的前 n 項和 【分析】 設(shè)每層的燈數(shù)組成等比數(shù)列 81，公比 q=2利用等比數(shù)列的前 n 項和公式即可得出 【解答】 解：設(shè)每層的燈數(shù)組成等比數(shù)列 81，公比 q=2 =381， 解得 故答案為： 3 15設(shè)奇函數(shù) y=f（ x）（ xR），滿足對任意 tR 都有 f（ t） =f（ 1 t），且 時，f（ x） = 的值等于 4 【考點】 函數(shù)的值；函數(shù)解析式的求解及常用方法 【分析】 由題設(shè)知 f（ 3） =f（ 1 3） =f（ 2） = f（ 2） = f（ 1 2） = f（ 1） =f（ 1）=f（ 0） =0. = = = = = 所以= 【解答】 解： 奇函數(shù) y=f（ x）（ xR），滿足對任意 tR 都有 f（ t） =f（ 1 t） ， 且 時， f（ x） = f（ 3） =f（ 1 3） =f（ 2） = f（ 2） = f（ 1 2） = f（ 1） =f（ 1） =f（ 0） =0 = = = = = = 故答案為： 16過點（ ， 0）引直線 l 與曲線 y= 相交于 A， B 兩點， O 為坐標原點，當 線 l 的斜率為 3 【考點】 直線與 圓的位置關(guān)系 【分析】 通過曲線方程確定曲線表示單位圓在 x 軸上方的部分（含于 x 軸的交點），直線與曲線有兩個交點，且直線不與 x 軸重合，從而確定直線斜率 1 k 0，用含 k 的式子表示出三角形 面積，利用二次函數(shù)求最值，確定直線斜率 k 的值 【解答】 解：由 y= 得 x2+（ y0） 曲線 y= 表示単位圓在 x 軸上方的部分（含于 x 軸的交點） 第 12 頁（共 19 頁） 由題知，直線斜率存在，設(shè)直線 l 的斜率為 k， 若直線與曲線 有兩個交點，且直線不與 x 軸重合，則 1 k 0 直線 l 的方程為： y 0=k（ x ），即 y k=0 則圓心 O 到直線 l 的距離 d= 直線 l 被半圓所截得的弦長為 |2 =2 面積 S= 2 令 =t，則 S= 當 t= ，即 = 時， S 此時， 1 k 0， k= 故答案為： 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17已知 內(nèi)角 A， B， C 的三條對邊分別為 a， b， c，且 b（ 3b c） （ ）求 （ ）若 面積為 2 ，且 上的中線 長為 2 ，求 b， c 的值 【考點】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ I）由 b（ 3b c） =得：（ 3b c） 正弦定理可得： 3簡整理即可得出 （ ， A（ 0， ），可得 = ，又 ，可得，利用余弦定理可得： 2 為 4b2+0，聯(lián) 立解出即可得出 【解答】 解：（ I） b（ 3b c） =得：（ 3b c） 由正弦定理可得： 3 3C+A） = B（ 0， ）， ， 可得 （ ， A（ 0， ）， = ， 第 13 頁（共 19 頁） ， ， 于是： 2 化為 4b2+0，與 聯(lián)立， 解得 b=1， c=6，或 b=3， c=2 18如表為吸煙與患病之間的二聯(lián)表： 患?。ㄈ藬?shù)） 不患?。ㄈ藬?shù)） 合計 吸煙（人數(shù)） a b a+b 不吸煙（人數(shù)） c d c+d 合計 a+c b+d n=a+b+c+d 根據(jù)如表，回答下列問題： （ ）試根據(jù)上表，用含 a， b， c， d， n 的式子表示人群中患病的頻率為 a+cn ；在（ a+b）個人中患病的頻數(shù)為 a+b）（ a+c） n ；在（ a+b）個人中不患病的頻數(shù)為 a+b）（ b+d） n ；在（ c+d）個人中患病的頻數(shù)為 a+c）（ c+d） n ；在（ c+d）人中不患病的頻數(shù)為 b+d）（ c+d） n （ ）根據(jù) 2= 以及臨界值表，若 a=40， b=10， c=30， d=20，能否有 上的把握認為吸煙與患病有關(guān)？ P（ 20） 0 （ 20） 0 考點】 獨立性檢驗的應(yīng)用 【分析】 （ ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可完成填空； （ ） a=40， b=10， c=30， d=20，根據(jù) 2= = 可得出結(jié)論 【解答】 解：（ ）人群中患病的頻率為 ；在（ a+b）個人中患病的 頻數(shù)為 ；在（ a+b）個人中不患病的頻數(shù)為 ；在（ c+d）個人中患病的頻數(shù)為 ；在（ c+d）人中不患病的頻數(shù)為 ； （ ） a=40， b=10， c=30， d=20，根據(jù) 2= = 沒有 上的把握認為吸煙與患病有關(guān) 故答案為： ； ； ； ； 第 14 頁（共 19 頁） 19如圖，在長方體 D=1， ，一只螞蟻沿側(cè)面 點出發(fā)，經(jīng)過棱 到達 螞蟻所走的路程最短時， （ ）求 長； （ ）求證： 平面 【考點】 直線與平面垂直的判定；棱柱的結(jié)構(gòu)特征 【分析】 （ ）將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短可得 M 為 點，螞蟻所走的路徑最短，利用勾股定理即可計算 值 （ ）由題意，計算可得 1； 1，利用勾股定理即可證明 而判定 平面 【解答】 解：（ ） 在長方體 D=1， ， 將側(cè)面 開到平面 結(jié) M，此時 M 為 點，螞蟻所走的路徑最短 = （ ） 1； 1， 平面 20已知函數(shù) f（ x） =aR）的圖象在點（ 1， f（ 1）處的切線與直線 x+3y=0 垂直 （ ）求實數(shù) a 的值； （ ）若存在 kZ，使得 f（ x） k 恒成立，求 k 的最大值 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ ）由圖象在點（ 1， f（ 1）處的切線與直線 x+3y=0 垂直即函數(shù) f（ x）的導(dǎo)函數(shù)在 x=1 處的函數(shù)值為 3，求出 a 的值； （ ）利用已知函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造 g（ x） =2x+，由 g（ x）的單調(diào)性得出 f（ x）的單調(diào)性，再由 f（ x） f（ x） 極小值 ，解決恒等式，從而求 出 k 的最大值 第 15 頁（共 19 頁） 【解答】 解：（ ） f（ x） = f（ x） =2ax+， 切線與直線 x+3y=0 垂直， 切線的斜率為 3， f（ 1） =3，即 2a+1=3，故 a=1； （ ）由（ ）知 f（ x） =x2+a（ 0， +）， f（ x） =2x+， x（ 0， +）， 令 g（ x） =2x+， x（ 0， +），則 g（ x） = +2， x（ 0， +）， 由 g（ x） 0 對 x（ 0， +）恒成立，故 g（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞增， 又 g（ ） = 1 0， g（ ） =2 0， 存在 0， ）使 g（ =0 g（ x）在（ 0， +）上單調(diào)遞增， 當 x（ 0， ， g（ x） =f（ x） 0， f（ x）在（ 0， 單調(diào)遞減； 當 x（ +）時， g（ x） =f（ x） 0， f（ x）在（ +）上單調(diào)遞增； f（ x）在 x=f（ f（ x） k 恒成立，所以 k f（ 由 g（ =0 得， 2x0+=0，所以 1 2 f（ = 1 2= ，又 0， ） f（ （ ， 0）， kZ， k 的最大值為 1 21已知橢圓 C： + =1 的短軸長為 2，離心率 （ ）求橢圓 C 的標準方程； （ ） ，若 點 P 的軌跡 E 的方程； （ ）若 于 E 與 積的最大值 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）運用橢圓的離心率公式和 a， b， c 的關(guān)系，解方程可得 a， b，進而得到橢圓方程； （ ）設(shè) P（ m， n），切線的方程為 y n=k（ x m），代入橢圓方程，運用判別式為 0，結(jié)合兩直線垂直的條件：斜率之積為 1，化簡可得 P 的軌跡方程； 第 16 頁（共 19 頁） （ ）由題意可得 ，即有 用三角函數(shù)的二倍角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值 【解答】 解：（ ）由題意可得 2b=2，即 b=1， e= = ， ， 解得 a= ， b=1， 即有橢圓的方程為 +； （ ）設(shè) P（ 切線的方程為 y y0=k（ x 可得 y= 代入橢圓方程 ， 即有（ 1+2k（ x+2（ 2 2=0， 由直線與橢圓相切，可得 =0， 即為 162 8（ 1+2（ 2 1=0， 化為 2） 21=0， 由 得 1， 即有 = 1， 化為 ， 可得點 P 的軌跡 E 的方程為圓 x2+； （ ） 于 與 得 設(shè) ，即有 則 積為 S= 2 6 當 =45時， ， 即有 請考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分 選修 4何證明選講 22如圖， O 過平行四邊形 三個頂點 B， C， T，且與 切，交 延長線于點 D （ 1）求證： =D； （ 2） E、 F 是 三等分點，且 F，求 A 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 （ 1）證明 T，結(jié)合切割線定理，即可證明結(jié)論； 第 17 頁（共 19 頁） （ 2）取 點 M，連接 得 O， D， T 三點共線， O 的直徑，即可求 A 【解答】 （ 1）證明：因為 A= 所以 A= 以 T 又 =以 = （ 2）解：取 點 M，連接 由（ 1