數(shù)學歸納法證明不等式

數(shù)學歸納法證明不等式 數(shù)學歸納法證明不等式對于一些與無限多個正整數(shù)相關(guān)的命題,如果不易用以前學習過的方法證明如果不易用以前學習過的方法證明,用數(shù)學歸納法可能會收到較好的效果用數(shù)學歸納法可能會收到較好的效果.),1(1x) (1)5,(2n)(sin sinn:n2+?+ 1、使用假設(shè) 2、構(gòu)造k+1的結(jié)論 1、使用假設(shè) 2、構(gòu)造k+1的結(jié)論)(sin sin.2+Nn nn例證明不等式例 1、使用假設(shè) 2、構(gòu)造k+1的結(jié)論 1、使用假設(shè) 2、構(gòu)造k+1的結(jié)論注事實上，把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實數(shù)仍有類似不等式成立.當仍有類似不等式成立.當是實數(shù),且01 (1)1x x+ (1)x?當是實數(shù),且01?nx xnx xxn+?+?1)1(,1,0,1,:.3那么有的自然數(shù)為大于且是實數(shù)如果證明貝努利不等式例那么有的自然數(shù)為大于且是實數(shù)如果證明貝努利不等式例作用數(shù)值估計和放縮法證明不等式作用數(shù)值估計和放縮法證明不等式例4:如果(nn為正整數(shù))個正數(shù)12,na a a?的乘積121naa a=?,那么它們的和12na a a n+?.證明:當1n=時,有11a=，命題成立.設(shè)當，命題成立.設(shè)當n k= (1)k時，命題成立，即若k個正數(shù)12,ka a a?的乘積121kaa a=?,那么它們的和12ka aa k+?.那么當.那么當1n k=+時,已知1k+個正數(shù)121,k kaaaa+?滿足滿足1211k kaaaa+=?.若1k+個正數(shù)121,k kaaaa+?都相等,則它們都是1.其和為都相等,則它們都是1.其和為1k+,命題成立.若這1k+個正數(shù)121,k kaaaa+?不全相等,則其中必有大于1的數(shù),也有小于1的數(shù)(否則與不全相等,則其中必有大于1的數(shù),也有小于1的數(shù)(否則與1211k kaaaa+=?矛盾).不妨設(shè)121,1aaK個個有時為了達到證明的目的，需要用到比較法有時為了達到證明的目的，需要用到比較法證證: (1)當n=1時,左邊=,右邊=,由于故不等式成立由于故不等式成立.215124+=13222?=53,42=2112122172.=當時，不等式成立n2（）假設(shè)當時，不等式成立，即22n k=()111123kk+?則當時，n k=+11111112311kk kk=+=+?左式 (1)1111111kkkkkkk kk+?+=+=+?+=+=+右式=+當時，不等式成立。 n k1由