2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題.doc

中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽九年級(jí)預(yù)賽試題（本卷滿分120分，考試時(shí)間120 分鐘）一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）在下列各小題中，均給出四個(gè)答案，其中有且只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)將正確答案的字母代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填均為零分ABCNM（第2題圖）1. 從長(zhǎng)度是2cm，2cm，4cm，4cm的四條線段中任意選三條線段，這三條線段能夠組成等腰三角形的概率是（）A B C D12如圖，M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分BAC，ANBN于N，且AB=10，BC=15，MN=3，則ABC的周長(zhǎng)為（ ）A38 B39 C40 D. 41 3已知，且有，則的值等于（ ）（第4題圖）A B C D4已知直角三角形的一直角邊長(zhǎng)是4，以這個(gè)直角三角形的三邊為直徑作三個(gè)半圓(如圖所示)，已知兩個(gè)月牙形(帶斜線的陰影圖形)的面積之和是10，那么以下四個(gè)整數(shù)中，最接近圖中兩個(gè)弓形（帶點(diǎn)的陰影圖形）面積之和的是（ ）A6 B. 7 C8 D95設(shè)，是ABC的三邊長(zhǎng)，二次函數(shù)在時(shí)取最小值，則ABC是（）A等腰三角形 B銳角三角形 C鈍角三角形 D直角三角形 （1） （2）（第5題圖）6計(jì)算機(jī)中的堆棧是一些連續(xù)的存儲(chǔ)單元，在每個(gè)堆棧中數(shù)據(jù)的存入、取出按照“先進(jìn)后出”的原則，如圖，堆棧（1）中的2個(gè)連續(xù)存儲(chǔ)單元已依次存入數(shù)據(jù)，取出數(shù)據(jù)的順序是，；堆棧（2）的3個(gè)連續(xù)存儲(chǔ)單元已依次存入數(shù)據(jù)，取出數(shù)據(jù)的順序是，現(xiàn)在要從這兩個(gè)堆棧中取出5個(gè)數(shù)據(jù)（每次取出1個(gè)數(shù)據(jù)），則不同順序的取法的種數(shù)有（ ）A5種 B6種 C10種 D12種二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）7若，則滿足該方程的所有根之和為 . 8（人教版考生做）如圖A，在 ABCD中，過A，B，C三點(diǎn)的圓交AD于E，且與CD相切，若AB=4，BE=5，則DE的長(zhǎng)為 8（北師大版考生做）如圖B，等邊三角形ABC中，D，E分別為AB，BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總使AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AGCD于點(diǎn)G，則 9已知，且，則 10元旦期間，甲、乙兩人到特價(jià)商店購(gòu)買商品，已知兩人購(gòu)買商品的件數(shù)相同，且每件商品的單價(jià)只有8元和9元兩種.若兩人購(gòu)買商品一共花費(fèi)了172元，則其中單價(jià)為9元的商品有 件11如圖，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD與地面成，A=，CD=4m，BC=m，則電線桿AB的長(zhǎng)為 m (第11題圖)ABCD（第8題圖A）BCDAE（第8題圖B）D12實(shí)數(shù)與，使得，四個(gè)數(shù)中的三個(gè)有相同的數(shù)值，則所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)為 三、解答題（本大題共3個(gè)小題，每小題20分，共60分）13.（本題滿分20分）已知：是完全平方式求證： 14.（本題滿分20分）如圖，將OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M，N以每秒個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，過點(diǎn)N作NPBC，交OB于點(diǎn)P，連接MP （1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；（2）記OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0 t 6）；并求t為何值時(shí)，S有最大值？（備用圖）(第14題圖)（3）試探究：當(dāng)S有最大值時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)T，使直線MT把ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是ONC面積的？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 15.（本題滿分20分）對(duì)于給定的拋物線，使實(shí)數(shù)，適合于.（1）證明：拋物線通過定點(diǎn)；（2）證明：下列兩個(gè)二次方程，與中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.2013年九年級(jí)試卷參考答案一、 選擇題（每小題5分，共30分）16 C D B A D C二、 填空題（每小題5分，共30分）：7. ； 8. A：；B：； 9. 4； 10. 12； 11. ； 12. .三、解答題：（每題20分，共60分）13. 證明：把已知代數(shù)式整理成關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，得原式3x2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc 它是完全平方式， 0. 即4(a+b+c)212(ab+ac+bc)=0. 2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0,(ab)2+(bc)2+(ca)2=0.要使等式成立，必須且只需： 解這個(gè)方程組，得.14. 解：（1）（6，4）；（）.（其中寫對(duì)B點(diǎn)得1分）3分（2）SOMP =OM， S =（6 -t）=+2t （0 t 6）當(dāng)時(shí)，S有最大值8分 （3）存在 由（2）得：當(dāng)S有最大值時(shí)，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：M（3，0），N（3，4），則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為： 設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為：，解方程組得直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為SOCN 436，SORT SOCN 210分一、 當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)O、C之間時(shí)，分割出的三角形是OR1T1，二、 如圖，作R1D1y軸，D1為垂足，則SOR1T1RD1OT b2.， b =.b1 ，b2 （不合題意，舍去）此時(shí)點(diǎn)T1的坐標(biāo)為（0，）.15分 當(dāng)點(diǎn)T在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分割出的三角形是R2NE，如圖，設(shè)MT交CN于點(diǎn)E，（備用圖）R2T1T2R1D2D1點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為4，由得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，作R2D2CN交CN于點(diǎn)D2，則SR2NEEND2 =2.，b=.b1，b2（不合題意，舍去）此時(shí)點(diǎn)T2的坐標(biāo)為（0