2018屆高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2橢圓2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案.docx

2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn))2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn))3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距思考：(1)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？(2)橢圓定義中將“大于|F1F2|”改為“小于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，動點(diǎn)的軌跡是什么？提示(1)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2.(2)當(dāng)距離之和小于|F1F2|時，動點(diǎn)的軌跡不存在2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)焦點(diǎn)(c,0)與(c,0)(0，c)與(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b2基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)到平面內(nèi)兩個定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓()(2)到兩定點(diǎn)F1(2,0)和F2(2,0)的距離之和為3的點(diǎn)M的軌跡為橢圓()(3)橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上()答案(1)(2)(3)2已知橢圓1上的一點(diǎn)P到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為3，到另一焦點(diǎn)距離為7，則m等于()A10 B5C15D25D由題意知2a3710，a5，ma225.3橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(0，8)，F(xiàn)2(0,8)，且橢圓上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為20，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為() 【導(dǎo)學(xué)號：46342060】A.1 B.1C.1 D.1C由題意知c8,2a20，a10，b2a2c236，故橢圓的方程為1.合 作 探 究攻 重 難求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個點(diǎn)(0,2)和(1,0)；(3)經(jīng)過點(diǎn)A(，2)和點(diǎn)B(2，1)解(1)由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)a5，c4，b2a2c225169.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)a2，b1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.(3)法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)依題意有解得因為ab0，所以無解所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：設(shè)所求橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0，mn)，依題意有解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.規(guī)律方法1.利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)先確定焦點(diǎn)位置；(2)設(shè)出方程；(3)尋求a，b，c的等量關(guān)系；(4)求a，b的值，代入所設(shè)方程2當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時，可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(mn，m0，n0)因為它包括焦點(diǎn)在x軸上(mn)或焦點(diǎn)在y軸上(mn)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而簡化了運(yùn)算跟蹤訓(xùn)練1已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)A(0，2)和B，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0，mn)，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得解得所求橢圓方程為x21.橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題(1)橢圓1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|4，則F1PF2的大小為_(2)已知橢圓1中，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，且PF1F2120，則PF1F2的面積為_. 【導(dǎo)學(xué)號：46342061】思路探究(1)(2)解析(1)由1，知a3，b，c.|PF2|2a|PF1|2，cosF1PF2，F(xiàn)1PF2120.(2)由1，可知a2，b，所以c1，從而|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2，即|PF2|2|PF1|242|PF1| .由橢圓定義得|PF1|PF2|2a4 .由聯(lián)立可得|PF1|.所以S|PF1|F1F2|sinPF1F22.答案(1)120(2)規(guī)律方法1.橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.2橢圓中的焦點(diǎn)三角形橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的PF1F2，稱為焦點(diǎn)三角形在處理橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時，可結(jié)合橢圓的定義|MF1|MF2|2a及三角形中的有關(guān)定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)來求解跟蹤訓(xùn)練2(1)已知P是橢圓1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，且F1PF230，則F1PF2的面積是_84由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，知a，b2，c1，|F1F2|2.又由橢圓的定義，知|PF1|PF2|2a2.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，即420(2)|PF1|PF2|，|PF1|PF2|16(2)S|PF1|PF2|sinF1PF216(2)84.(2)設(shè)P是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，若PF1F290，則F1PF2的面積是_由橢圓方程1，知a2，c1，由橢圓定義，得|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2中，PF1F290.|PF2|2|PF1|2|F1F2|2.從而(4|PF1|)2|PF1|24，則|PF1|，因此SPF1F2|F1F2|PF1|.故所求PF1F2的面積為.與橢圓有關(guān)的軌跡問題探究問題1.如圖221，P為圓B：(x2)2y236上一動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，線段AP的垂直平分線交直線BP于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程圖221提示：用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識將題目條件轉(zhuǎn)化為到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原點(diǎn)、對稱軸是否為坐標(biāo)軸，最后由定義確定橢圓的基本量a，b，C所求點(diǎn)Q的軌跡方程為1.2.如圖222，在圓x2y24上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程是什么？為什么？圖222提示：當(dāng)題目中所求動點(diǎn)和已知動點(diǎn)存在明顯關(guān)系時，一般利用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求解用代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程的基本步驟為：(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上動點(diǎn)坐標(biāo)為M(x，y)，已知曲線上動點(diǎn)坐標(biāo)為P(x1，y1)(2)求關(guān)系式：用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即得關(guān)系式(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動點(diǎn)軌跡的方程，并把所得方程化簡即可所求點(diǎn)M的軌跡方程為y21.(1)已知P是橢圓1上一動點(diǎn)；O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程為_(2)一個動圓與圓Q1：(x3)2y21外切，與圓Q2：(x3)2y281內(nèi)切，試求這個動圓圓心的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號：46342062】思路探究(1)點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)點(diǎn)Q與點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系代入法求解(2)由圓的相切，及動圓圓心與兩個定圓圓心、半徑的關(guān)系得軌跡解析(1)設(shè)Q(x，y)，P(x0，y0)，由點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)知x02x，y02y，又1.所以1，即x21.答案x21.(2)由已知，得兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(3,0)，R11；Q2(3,0)，R29.設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，如圖由題設(shè)有|MQ1|1R，|MQ2|9R，所以|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6.由橢圓的定義，知點(diǎn)M在以Q1，Q2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a5，c3.所以b2a2c225916，故動圓圓心的軌跡方程為1.規(guī)律方法1.與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本例(1)所用方法為代入法例(2)所用方法為定義法2對定義法求軌跡方程的認(rèn)識如果能確定動點(diǎn)運(yùn)動的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫出其方程，這種求軌跡方程的方法稱為定義法定義法在我們后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法3代入法(相關(guān)點(diǎn)法)若所求軌跡上的動點(diǎn)P(x，y)與另一個已知曲線C：F(x，y)0上的動點(diǎn)Q(x1，y1)存在著某種聯(lián)系，可以把點(diǎn)Q的坐標(biāo)用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來，然后代入已知曲線C的方程 F(x，y)0，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱相關(guān)點(diǎn)法)跟蹤訓(xùn)練3(1)已知x軸上一定點(diǎn)A(1,0)，Q為橢圓y21上任一點(diǎn)，求線段AQ中點(diǎn)M的軌跡方程解設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0，y0)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Q(x0，y0)在橢圓y21上，y1.將x02x1，y02y代入上式，得(2y)21.故所求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是4y21.(2)在RtABC中，CAB90，|AB|2，|AC|，曲線E過C點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動，且|PA|PB|是定值建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線E的方程解以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系由題意可知，曲線E是以A，B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的橢圓，設(shè)其方程為1(ab0)則2a|AC|BC|4,2c|AB|2，所以a2，c1，所以b2a2c23.所以曲線E的方程為1.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1已知A(5,0)，B(5,0)動點(diǎn)C滿足|AC|BC|10，則點(diǎn)C的軌跡是()A橢圓 B直線C線段D點(diǎn)C由|AC|BC|10|AB|知點(diǎn)C的軌跡是線段AB.2已知橢圓4x2ky24的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，則實數(shù)k的值是() 【導(dǎo)學(xué)號：46342063】A1 B2 C3 D4B橢圓方程可化為x21，由題意知，解得k2.3已知橢圓的焦點(diǎn)為(1,0)和(1,0)，點(diǎn)P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為()A.1 B.y21C.1 D.x21A由題意知c1，a2，b2a2c23.橢圓的方程為1.4已知橢圓1上一點(diǎn)P與橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的連線夾角為直角，則|PF1|PF2|_.48由題意知2得2|PF1|PF2|96.所以|PF