高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題例題及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題一、導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用（一）研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值基本思路：定義域 疑似極值點(diǎn) 單調(diào)區(qū)間 極值 最值基本方法：一般通法：利用導(dǎo)函數(shù)研究法特殊方法：（1）二次函數(shù)分析法；（2）單調(diào)性定義法第一組本組題旨在強(qiáng)化對(duì)函數(shù)定義域的關(guān)注，以及求導(dǎo)運(yùn)算和分類(lèi)討論的能力與技巧【例題1】已知函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間解：令，得當(dāng)，即時(shí)，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：0當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：0所以，時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 第二組 本組題旨在強(qiáng)化對(duì)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論的意識(shí)、能力和技巧【例題2】已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).（）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.解：（）由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，得， 由，得，則；而圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，所以，代入得 .于是.由得或，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，；由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是.（）由（）得，令得或.當(dāng)變化時(shí)，、的變化情況如下表：f(x)00f(x)增極大值減極小值增由此可得：當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有極大值，無(wú)極小值；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有極小值，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無(wú)極值.綜上所述，當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值；當(dāng)或時(shí)，無(wú)極值.點(diǎn)評(píng)：本題是前面兩個(gè)例題的變式，同樣考查了對(duì)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的分類(lèi)討論，但討論的直接對(duì)象變?yōu)榱撕瘮?shù)自變量的研究范圍，故此題思路不難，旨在幫助學(xué)生加深對(duì)此類(lèi)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并提升其詳盡分類(lèi)，正確計(jì)算的水平.【例題3】已知函數(shù)，a0，(I)討論的單調(diào)性;(II)設(shè)a=3，求在區(qū)間1，上值域.其中e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).解：（）由于,令得 當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上都是增函數(shù). 當(dāng)，即時(shí)，由得或或或又由得，綜上,當(dāng)在上都是增函數(shù)；當(dāng)在及上都是增函數(shù)，在是減函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在1，2上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).又函數(shù)在區(qū)間1，上的值域?yàn)?點(diǎn)評(píng)：（1）第一問(wèn)在前面例題的理論基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加大了運(yùn)算的難度，涉及到了換元法，分母有理化等代數(shù)技巧；（2）第二問(wèn)將問(wèn)題延伸到了函數(shù)值域上，過(guò)程比較簡(jiǎn)單，是一個(gè)承上啟下的過(guò)渡性問(wèn)題.（二）利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求參數(shù)取值范圍基本思路：定義域 單調(diào)區(qū)間、極值、最值 不等關(guān)系式 參數(shù)取值范圍基本工具：導(dǎo)數(shù)、含參不等式解法、均值定理等【例題4】已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是.（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值.解：（I）由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即又，由已知得聯(lián)立，解得.所以函數(shù)的解析式為 （II）因?yàn)榱町?dāng)函數(shù)有極值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解.則，得.當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故無(wú)極值當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根情況如下表：+0-0+極大值極小值所以在時(shí)，函數(shù)有極值；當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值；點(diǎn)評(píng)：（1） 本題第一問(wèn)是求曲線(xiàn)切線(xiàn)的逆向設(shè)問(wèn)，解題過(guò)程進(jìn)一步強(qiáng)化了對(duì)切點(diǎn)的需求.（2） 本題第二問(wèn)是函數(shù)求極值的逆向設(shè)問(wèn)，解題方法本質(zhì)仍然是求含參數(shù)的函數(shù)的極值，難度不大.【例題5】 設(shè)，函數(shù)（）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍解：（）因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，因此經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn) （）由題設(shè)，當(dāng)在區(qū)間上的最大值為時(shí)，即故得反之，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，而，故在區(qū)間上的最大值為綜上，的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：（1） 本題是求函數(shù)最值的逆向問(wèn)題，答案所用的解法是一種比較特殊的方法，具有一定的思維難度.（2） 本題若用一般方法，則可求出g(0)=0，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)0的恒成立問(wèn)題，此種解法的計(jì)算量將有所加大.（三）導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例題6】設(shè)函數(shù)，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（）求的解析式；（）證明：曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)和直線(xiàn)所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.解：（）方程可化為，當(dāng)時(shí)，；又，于是，解得， 故（）設(shè)為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，由知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即令，得，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為；令，得，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為；所以點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成的三角形面積為；故曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成的三角形面積為定值6.二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的變式與轉(zhuǎn)化（一）函數(shù)的零點(diǎn)存在與分布問(wèn)題問(wèn)題設(shè)置：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍基本方法：通性通法：函數(shù)最值控制法特殊方法：（1）二次函數(shù)判別式法；（2）零點(diǎn)存在性定理 第一組 二次函數(shù)（1） 本組題旨在加深對(duì)二次函數(shù)零點(diǎn)存在性與分布問(wèn)題的認(rèn)識(shí)；（2） 本題旨在提升對(duì)函數(shù)與方程關(guān)系問(wèn)題的認(rèn)識(shí)水平；（3） 研究二次函數(shù)零點(diǎn)分布問(wèn)題時(shí)，除了判別式法以外，應(yīng)補(bǔ)充極值（最值）控制法，為三次函數(shù)零點(diǎn)分布研究做方法上的鋪墊.【例題7】設(shè)函數(shù) （1）略；（2）若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍. 解：因?yàn)?當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ; 所以 當(dāng)時(shí),取極大值 ; 當(dāng)時(shí),取極小值 ; 故當(dāng) 或時(shí), 方程僅有一個(gè)實(shí)根. 解得 或.點(diǎn)評(píng)：本題是零點(diǎn)問(wèn)題的方程形式，用函數(shù)最值控制法解答，屬于本類(lèi)問(wèn)題的原型題.【例題8】已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線(xiàn)平行，且在=1處取得最小值m1(m).設(shè)函數(shù)（1）若曲線(xiàn)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為,求m的值；（2）如何取值時(shí),函數(shù)存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn).解：（1）設(shè)，則； 又的圖像與直線(xiàn)平行 ，解得 又在取極小值，解得 ，解得；所以， 設(shè)，則 ,解得；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）由，得 當(dāng)時(shí)，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程有二解，若，有兩個(gè)零點(diǎn)；若，有兩個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程有一解，即,有一零點(diǎn)點(diǎn)評(píng)：（1） 本題第一問(wèn)是涉及均值定理的最值問(wèn)題，題目計(jì)算量中等，思維難度不大；（2） 第二問(wèn)涉及到的函數(shù)為二次函數(shù)，故而用含參二次方程的根系關(guān)系研究根的分布問(wèn)題，是本部分的原型問(wèn)題和重點(diǎn)問(wèn)題.【例題9】已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.解：若 , ,顯然函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn). 若，令 , 解得 當(dāng) 時(shí), 恰有一個(gè)零點(diǎn)在上; 當(dāng)，即時(shí)，在上也恰有一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí), 則 或 解得或，綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是或.點(diǎn)評(píng)：本題以二次函數(shù)為載體，設(shè)定在區(qū)間范圍上的零點(diǎn)存在性問(wèn)題，解答時(shí)依零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，涉及到含參二次方程根的分布研究、零點(diǎn)存在性定理. 是原型問(wèn)題和重點(diǎn)題.【例題10】已知函數(shù) （II）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍解：（）函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價(jià)于 導(dǎo)函數(shù)在既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù) 即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有 ，即： 整理得：，解得 第二組 三次函數(shù)（1） 本組題旨在加深對(duì)二次函數(shù)零點(diǎn)存在性與分布問(wèn)題的認(rèn)識(shí)；（2） 本題旨在提升對(duì)函數(shù)與方程關(guān)系問(wèn)題的認(rèn)識(shí)水平；（3） 本組題旨在加深對(duì)二次函數(shù)、三次函數(shù)零點(diǎn)分布問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而深化對(duì)導(dǎo)數(shù)方法、極值、最值的理解.【例題11】已知函數(shù)（I）求的單調(diào)區(qū)間；（II）若在處取得極值，直線(xiàn)y=m與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)，有所以的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由解得或，由解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因?yàn)樵谔幦〉脴O大值，所以所以由解得.由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值1，在處取得極小值-3.因?yàn)橹本€(xiàn)與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)：（1） 本題是三次函數(shù)零點(diǎn)存在性問(wèn)題的典型變式題，涉及圖象交點(diǎn)向函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化關(guān)系；（2） 本題最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究三次函數(shù)根的分布，采用極值（最值）控制法；（3） 在這里應(yīng)結(jié)合上面例題進(jìn)一步揭示研究二次方程與三次方程實(shí)根分布問(wèn)題在方法上的本質(zhì)關(guān)系，以便進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)極值（最值）的認(rèn)識(shí)和對(duì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).（二）不等式恒成立與存在解問(wèn)題問(wèn)題設(shè)置：當(dāng)不等關(guān)系在某個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)恒成立或存在解為條件，求參數(shù)的取值范圍基本思路：轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與參數(shù)之間的不等關(guān)系問(wèn)題基本方法：通性通法：變量分離法、變量轉(zhuǎn)換、最值控制法特殊方法：二次函數(shù)判別式法、二次函數(shù)根的分布研究【例題12】設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù).（）若對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：法一（變量轉(zhuǎn)換，最值控制法）：對(duì)任意都成立. 即對(duì)任意都成立 設(shè)，則對(duì)任意，為單調(diào)遞增函數(shù) 所以對(duì)任意，恒成立的充分必要條件是. 即 ， 于是的取值范圍是法二（變量分離法）：由題設(shè)知：對(duì)任意都成立， 即對(duì)任意都成立.于是對(duì)任意都成立，即.解得的取值范圍是.點(diǎn)評(píng)：變量分離法可以任何一個(gè)變量分離出來(lái)，例如本題也可以求出二次方程的根，這樣就是將變量x分離出來(lái)了，但過(guò)程較復(fù)雜，不宜在此處選用.【例題13】已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線(xiàn)，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線(xiàn)相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：f(x ) g(x)，其中x 0解：（）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線(xiàn)相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則 于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設(shè)，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)評(píng)：（1） 本題以曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題的載體，在第一問(wèn)中考查了函數(shù)最值的求法；（2） 第二問(wèn)是恒成立問(wèn)題的應(yīng)用.兩函數(shù)比較大小通過(guò)相減構(gòu)造新函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)（三）“零點(diǎn)存在與分布問(wèn)題”與“恒成立、存在解問(wèn)題”之間的關(guān)系（1） 研究對(duì)象的本質(zhì)相同，因此解題方向一致：函數(shù)的極值或最值控制是解決這兩類(lèi)問(wèn)題的通性通法，針對(duì)特殊類(lèi)型的函數(shù)，如二次函數(shù)，又都可以用相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究；（2） 研究對(duì)象的載體不同，因此解題方法不同：前者是函數(shù)與其所對(duì)應(yīng)的方程之間關(guān)系的問(wèn)題，后者是函數(shù)與其所對(duì)應(yīng)的不等式之間關(guān)系的問(wèn)題；（3）原型問(wèn)題是根本，轉(zhuǎn)化命題是關(guān)鍵：二者都可以進(jìn)一步衍生出其他形式的問(wèn)題，因此往往需要先將題目所涉及的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為原型問(wèn)題，然后利用通性通法加以解決，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中應(yīng)注意命題的等價(jià)性.【例題14】設(shè)函數(shù)（）略；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（）已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，且.若對(duì)任意的，恒成立，求m的取值范圍.解：（2），令，得到因?yàn)?，?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù).函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=（3）解：由題設(shè)， 所以方程=0由兩個(gè)相異的實(shí)根，故，且，解得因?yàn)槿簦?，不合題意若則對(duì)任意的有則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對(duì)任意的，恒成立的充要條件是,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 綜上，m的取值范圍是四、其它形式的問(wèn)題【例題15】設(shè)函數(shù)其中實(shí)數(shù)（）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)且存在最小值時(shí)，記的最小值為，求的值域；（）若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)，求的取值范圍解：（） ，又， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)（）由題意知 ，即恰有一根（含重根） ，即，又， 當(dāng)時(shí)，才存在最小值， ，.的值域?yàn)椋ǎ┊?dāng)時(shí)，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)由題意得，解得；當(dāng)時(shí)，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)由題意得，解得；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為【例題16】已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn).（I）證明：；（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍.解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，所以有三個(gè)互異的實(shí)根. 設(shè)則 當(dāng)時(shí)， 在