材料力學(xué)《第五章》彎曲應(yīng)力

11 1引言 11 2對稱彎曲正應(yīng)力 11 3慣性矩與平行軸定理 11 4對稱彎曲切應(yīng)力簡介 11 5梁的強(qiáng)度條件 11 6梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì) 11 7雙對稱截面梁的非對稱彎曲 11 8彎拉 壓 組合強(qiáng)度計(jì)算 第十一章彎曲應(yīng)力 主要介紹 梁的彎曲正應(yīng)力 梁的強(qiáng)度分析與設(shè)計(jì) 彎拉 壓 組合問題 一 梁橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力的對應(yīng)關(guān)系 t f1 FS 正應(yīng)力僅與彎矩有關(guān) 11 1引言 切應(yīng)力僅與剪力有關(guān) s f2 M 二 純彎曲概念 PureBending 若 FS FS x M M x 同時(shí)存在 稱為橫力彎曲或剪切彎曲 梁在彎曲變形的同時(shí)產(chǎn)生剪切變形 如簡支梁的AC BD段 在梁的CD段中 FS 0 M 常量 即只有M存在 沒有剪力作用 稱為純彎曲 實(shí)踐指出 對于工程中簡化為梁的構(gòu)件 正應(yīng)力往往是引起破壞的主要因素 純彎曲 FS 0 梁橫截面上沒有t 只有s 11 2對稱彎曲正應(yīng)力 一 矩形橫截面梁純彎曲實(shí)驗(yàn)研究 彎曲正應(yīng)力的分布為靜不定問題 必須考慮幾何變形 物理和靜力學(xué)三方面的關(guān)系 純彎曲實(shí)驗(yàn) 萬能材料實(shí)驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行 取矩形橫截面梁實(shí)驗(yàn) 梁表面作與梁軸線平行的縱向線 代表縱向纖維 與梁軸線垂直的橫向線 代表橫截面 在梁兩端加彎矩M 使梁產(chǎn)生純彎曲變形 觀察現(xiàn)象 1 橫向線仍為直線 但相對地轉(zhuǎn)過一個(gè)微小角度 仍與已彎曲成圓弧線的縱向線垂直 與軸向拉 壓時(shí)變形相似 2 縱向線均彎曲成圓弧線 且靠近凸面處伸長 靠近凹面處縮短 3 在伸長區(qū) 梁寬度減小 在縮短區(qū) 梁寬度增加 伸長 縮短 二 假設(shè) 1 梁彎曲平面假設(shè) 彎曲變形時(shí) 2 單向受力假設(shè) 由實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和假設(shè)可推知 設(shè)想梁由許多層縱向纖維組成 彎曲時(shí)各縱向纖維處于單向受拉或單向受壓狀態(tài) 梁彎曲變形后 橫截面仍保持為平面 并仍與已變彎后的梁軸線垂直 只是繞該截面內(nèi)某軸轉(zhuǎn)過一個(gè)微小角度 靠近梁頂面的縱向纖維受壓 縮短 靠近梁底面的縱向纖維受拉 伸長 彎曲變形時(shí) 梁橫截面是繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的 從伸長到縮短的過程中 必存在一層縱向纖維既不伸長也不縮短 保持原來的長度 由變形的連續(xù)形可知 中性層 由既不伸長也不縮短的縱向纖維組成 中性軸 中性層與梁橫截面的交線 中性層 中性軸 中性軸垂直于梁橫截面的縱向?qū)ΨQ軸 1 變形幾何關(guān)系 正應(yīng)變分布規(guī)律 二 彎曲正應(yīng)力一般公式 取梁微段dx分析 彎曲變形后 設(shè)中性層曲率半徑為r 橫截面1 1 2 2仍保持為平面 取坐標(biāo)軸 y軸 z軸 y軸與截面對稱軸重合 z軸與中性軸重合 位置未定 但各自繞中性軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度 形成一夾角 為dq 距中性層為y處縱向纖維ab的變形 彎曲前 彎曲后 中性層長度不變 ab的伸長 ab的正應(yīng)變 為橫截面上正應(yīng)變分布規(guī)律 a 式表示 縱向纖維的正應(yīng)變與其離中性層的距離y成正比 在一定的M作用下 r為常數(shù) y e 中性層下方 y為正值 e也為正值 表示為拉應(yīng)變 b a O2 O1 1 1 2 2 dq r 中性層上方 y為負(fù)值 e也為負(fù)值 表示為壓應(yīng)變 2 物理關(guān)系 正應(yīng)力分布規(guī)律 縱向纖維間無相互擠壓 ab單向受拉 壓 當(dāng)s sp時(shí) 有s Ee 將 a 式帶入 得 為橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律 式中E r為常數(shù) b 式表示 橫截面上某點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)離中性層的距離y成正比 即橫截面上正應(yīng)力沿高度呈線性分布 中性層下方 y為正值 s也為正值 表示為拉應(yīng)力 中性層上方 y為負(fù)值 s也為負(fù)值 表示為壓應(yīng)力 y 0 中性軸上 s 0 y max 上 下表層 s max 由 b 式可得s的分布規(guī)律 但因r的數(shù)值未知 中性軸的位置未確定 y無從算起 所以仍不能計(jì)算正應(yīng)力 用靜力學(xué)關(guān)系解決 3 靜力學(xué)關(guān)系 確定中性軸位置及r的計(jì)算 取微面積dA z y dA dA上微內(nèi)力 sdA 截面上所有微內(nèi)力sdA組成一空間平行力系 可合成為三個(gè)內(nèi)力合力 FN My Mz 1 AsdA FN FN 0 AsdA 0 c b 帶入 c E r不為零 AydA 0 AydA 0 而 AydA Sz yCA 0 yC 0 z軸 中性軸 為形心軸 即中性軸必須通過梁橫截面的形心 s dA 2 AsdA z My My 0 AsdA z 0 d b 帶入 e 令I(lǐng)z Ay2dA 稱Iz為橫截面對z軸的慣性矩 即 為用曲率表示的彎曲變形公式 y軸為縱向?qū)ΨQ軸 3 AsdA y Mz Mz M AsdA y M e 橫截面一定時(shí) Iz一定 d 式自然滿足 s dA 1 r為中性層彎曲變形后的曲率 曲率愈大 彎曲變形程度愈大 可知 M 1 r EIz 1 r 不易變形 將EIz稱為梁的抗彎剛度 將上式帶入 b 表示 梁橫截面上的s與M成正比 與Iz成反比 沿截面高度呈線性分布 中性軸上 y 0 s 0 上 下表層 y max s max s dA 2 中性層曲率 s的方向可由梁的變形直接判定 1 中性軸位置 中性軸過截面形心 結(jié)論 3 正應(yīng)力公式 最大彎曲正應(yīng)力 上 下表層 y ymax 三 最大彎曲正應(yīng)力 令Wz Iz ymax 稱Wz為橫截面的抗彎截面系數(shù) 2 彈性范圍內(nèi) 且Ec Et 1 純彎曲 平面假設(shè)條件下 四 公式適用條件 3 對稱彎曲 y軸為梁橫截面的縱向?qū)ΨQ軸 公式 可用于s sp 對稱彎曲中純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算和中性層曲率計(jì)算 五 推廣 剪切彎曲時(shí) FS M同時(shí)存在 FS 切應(yīng)力t 切應(yīng)變g 橫截面發(fā)生翹曲 不再為平面 1 當(dāng)FS 常數(shù)時(shí) 2 當(dāng)FS隨截面位置變化時(shí) 各橫截面翹曲程度相同 各縱向纖維的變形不受影響 彎曲正應(yīng)力s仍按線性規(guī)律分布 純彎曲正應(yīng)力公式仍可適用 因FS不同 各橫截面翹曲程度不同 各縱向纖維將產(chǎn)生附加的伸長或縮短 將產(chǎn)生附加的正應(yīng)力s 但當(dāng)梁l 5h時(shí) FS產(chǎn)生的附加正應(yīng)力s與M引起的s相比很小 在工程計(jì)算中可略去 純彎曲正應(yīng)力公式仍可適用 誤差 1 在剪切彎曲時(shí)仍可采用純彎曲時(shí)公式計(jì)算正應(yīng)力 例1 懸臂梁如圖示 Me 20kN m E 200GPa 梁用No18工字鋼制成 試求梁的最大彎曲正應(yīng)力和梁軸的曲率半徑 解 1 工字鋼Iz Wz 3 計(jì)算smax 由附錄E表4 P359 查得 Iz 1 66 10 5m4 Wz 1 85 10 4m3 2 作M圖 4 計(jì)算梁軸的曲率半徑r 由 有 11 3慣性矩與平行軸定理 一 簡單截面的慣性矩 1 定義 Iz Ay2dA 為圖形A對z軸的慣性矩 Iy Az2dA 為圖形A對y軸的慣性矩 2 分析討論 1 dA 0 y2 z2 0 Iz Iy 0 單位 m4 cm4 mm4 2 若A A1 A2 An 則 Iz IzA1 IzA2 IzAn SIzAi Iy IyA1 IyA2 IyAn SIyAi 為組合圖形的慣性矩公式 矩形截面的慣性矩 取微面積dA bdy 圓形截面的慣性矩 取微面積dA z y Iz Iy 且有r2 y2 z2 箱形截面的慣性矩 由組合圖形的慣性矩公式 空心圓截面的慣性矩 二 平行軸定理 已知 A Iz0 Iy0 Iz Ay2dA A y0 a 2dA 求 Iz Iy Cy0z0 過形心直角坐標(biāo)系 Oyz 任意直角坐標(biāo)系 z與z0平行 間距為a y與y0平行 間距為b A y02 2ay0 a2 dA Iz Iz0 a2A Iz0 Ay02dA 同理得 解 y y0 a z z0 b Ay0dA 0 AdA A Iy Iy0 b2A Ay02dA 2a Ay0dA a2 AdA 即 截面對任一坐標(biāo)軸z的慣性矩Iz 等于對其平行形心軸z0的慣性矩Iz0加上截面面積與兩軸間距離平方的乘積 已知 d m 求 Iz 解 已知 h b 求 Iz 解 求 圖示圖形對形心軸z的慣性矩Iz 單位 cm 解 1 確定形心位置 2 Iz Iz IzA1 IzA2 21 28 36 59 57 87cm4 A1 A2 其他常見圖形的慣性矩見附錄B P346 工字鋼 角鋼等型鋼的慣性矩見附錄E P352 組合圖形對形心軸z慣性矩Iz的計(jì)算步驟 1 將組合圖形分解為幾個(gè)簡單圖形 由形心公式確定形心位置 2 由平行軸定理分別計(jì)算各簡單圖形對z軸的慣性矩Iz A1 A2 Iz Iz0 a2A 3 由組合公式計(jì)算組合圖形對z軸的慣性矩Iz Iz IzA1 IzA2 IzAn SIzAi 例2 已知鋼帶厚d 2mm 寬b 6mm 鋼帶材料彈性模量E 200GPa 帶輪直徑D 1400mm 求鋼帶內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力和鋼帶受的彎矩 解 分析 已知鋼帶變形 求鋼帶應(yīng)力與彎矩 由前有 應(yīng)力與變形關(guān)系 彎矩與變形關(guān)系 1 計(jì)算smax 2 計(jì)算M 例3 懸臂梁截面為T形如圖示 已知 F 15kN l 0 4m b 12cm d 2cm 求 B截面上的最大彎曲拉應(yīng)力和最大彎曲壓應(yīng)力 MB F l 15 103 0 4 6000N m 解 1 計(jì)算彎矩 2 計(jì)算慣性矩Iz Iz IzA1 IzA2 302 582 884cm4 3 計(jì)算stmax scmax 解 1 作M圖確定截面彎矩 例4受均布載荷作用的簡支梁如圖所示 試求 1 1 1截面上1 2兩點(diǎn)的正應(yīng)力 2 此截面上的最大正應(yīng)力 3 全梁的最大正應(yīng)力 4 已知E 200GPa 求1 1截面的曲率半徑 2 計(jì)算應(yīng)力 3 計(jì)算曲率半徑 壓應(yīng)力 一 矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力 假設(shè) 11 4對稱彎曲切應(yīng)力簡介 橫截面上剪力FS位于縱向?qū)ΨQ軸上 由切應(yīng)力互等定理可知 截面兩側(cè)邊處的切應(yīng)力方向應(yīng)平行于側(cè)邊 1 截面上各點(diǎn)切應(yīng)力都與剪力平行 2 距中性軸等距離處 切應(yīng)力沿寬度均布 當(dāng)h b 1時(shí)與實(shí)際情況較接近 在以上假設(shè)的基礎(chǔ)上分析得切應(yīng)力的計(jì)算公式為 矩形截面 高h(yuǎn) 寬b h b 分析方法 截面法 1 沿mm nn截面截開 取微段dx dx 彎曲應(yīng)力 彎曲時(shí)的剪應(yīng)力 2 沿kl截面截開 根據(jù)剪應(yīng)力的互等定理 dx很小 在kl面上可認(rèn)為均布 3 列平衡方程 由 即 彎曲應(yīng)力 彎曲時(shí)的剪應(yīng)力 而 代入得 彎曲應(yīng)力 彎曲時(shí)的剪應(yīng)力 式中符號意義 截面上距中性軸y處的剪應(yīng)力 y以外面積對中性軸的靜矩 整個(gè)截面對中性軸的慣性矩 b y處的寬度 對于矩形 彎曲應(yīng)力 彎曲時(shí)的剪應(yīng)力 切應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布 在中性軸上 y 0 在上 下表層 y h 2 t 0 可知 t方向 與橫截面上剪力方向相同 t大小 沿截面寬度均勻分布 沿高度h呈拋物線分布 tmax 為平均切應(yīng)力的1 5倍 二 工字形截面梁橫截面上的切應(yīng)力 切應(yīng)力仍可用矩形截面時(shí)公式計(jì)算 腹板上切應(yīng)力 腹板為矩形 h d 腹板上切應(yīng)力的分布與矩形截面相同 工字形截面 由中間腹板和上下兩塊翼板組成 為所求切應(yīng)力處以外圖形面積w對z軸的靜矩 求得后代入上式得腹板上切應(yīng)力的計(jì)算公式為 即腹板上切應(yīng)力沿腹板高度呈拋物線分布 在中性軸上 y 0 在腹板與翼板交接處 y h 2 對工字型鋼 式中 翼板上切應(yīng)力 可查型鋼求得 在翼板上還存在垂直方向的切應(yīng)力 數(shù)值很小 一般略去不計(jì) 此外 在翼板上還有沿水平方向 z方向 的切應(yīng)力存在 其推導(dǎo)方法和結(jié)果可參考有關(guān)資料 三 彎曲正應(yīng)力與彎曲切應(yīng)力比較 最大彎曲正應(yīng)力 最大彎曲切應(yīng)力 當(dāng)l h時(shí) smax tmax 對實(shí)心截面的細(xì)長梁 彎曲正應(yīng)力是影響梁強(qiáng)度的主要因素 11 5梁的強(qiáng)度條件 對一般梁 彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力的分布規(guī)律為 橫截面的中性軸處 有tmax 并且為純剪切 橫截面的上下邊緣處 有smax 并且為單向受拉 壓 一 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 對一般梁 M M x 作M圖 確定Mmax 即危險(xiǎn)截面 s 為彎曲時(shí)材料許用正應(yīng)力 則 發(fā)生在橫截面的上下邊緣處 且為單向受拉 壓 或 彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 塑性材料 sc st 只需smax st 脆性材料 sc st 應(yīng) 由強(qiáng)度條件可進(jìn)行三方面強(qiáng)度計(jì)算 1 強(qiáng)度校核 2 設(shè)計(jì)截面 smax s 選擇型鋼時(shí) 若 則可選用 3 確定許可載荷 Mmax s Wz 由Mmax F 二 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 一般對短梁 l 5h 組合截面腹板較薄 工字形 T形 槽形等 抗剪切強(qiáng)度低 焊縫 膠合面 鉚釘連接等 的場合要進(jìn)行彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度校核 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 t 為材料的許用切應(yīng)力 解 1 作FS M圖 例5圖示矩形截面木梁 已知b 0 12m h 0 18m l 3m 材料 7MPa 0 9MPa 試校核梁的強(qiáng)度 可知 FSmax 5400NMmax 4050N m 2 校核梁的強(qiáng)度 6 25MPa 0 375MPa 梁安全 例6圖示減速箱齒輪軸 已知F 70kN d1 110mm d2 100mm 材料 100MPa 試校核軸的強(qiáng)度 12 25kN m 9 8 解 1 作M圖 確定危險(xiǎn)截面 C截面 Mmax 12 25kN m 為危險(xiǎn)截面 D截面 MD 9 8kN m 但其直徑較小 也可能為危險(xiǎn)截面 2 強(qiáng)度校核 C截面 93 9MPa D截面 99 9MPa 梁滿足強(qiáng)度要求 解 1 作M圖 例7圖示T形截面鑄鐵梁 已知Iz 8 84 10 6m4 y1 45mm y2 95mm 材料 t 35MPa sc 140MPa 試校核梁的強(qiáng)度 可知危險(xiǎn)截面 D截面 B截面 D截面 最大正彎矩MD 5 66kN m B截面 最大負(fù)彎矩MB 3 13kN m 59 8MPa c 梁安全 MD MB y2 y1 sa sd 即最大壓應(yīng)力為D截面上a點(diǎn) 而最大拉應(yīng)力為D截面上b點(diǎn)或B截面上c點(diǎn) 由計(jì)算確定 stmax 33 6MPa t 注意 若將梁倒置 則 stmax 59 8MPa t 梁不安全 2 校核梁的強(qiáng)度 彎曲正應(yīng)力是決定梁強(qiáng)度的主要因素 11 6梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì) 是設(shè)計(jì)梁的主要依據(jù) 要使smax 則應(yīng)使Mmax Wz 一 合理安排梁的載荷及支座 目的 使Mmax 如 合理安排載荷 Mmax 0 25Fl Mmax 0 167Fl Mmax 0 125ql2 Mmax 0 025ql2 如 合理安排支座 二 梁的合理截面形狀 Mmax s Wz 即梁所能承受的彎矩Mmax與Wz成正比 Wz越大越有利 另外 梁所用材料的多少和重量的大小與橫截面面積A成正比 面積越小 材料越少 重量越輕 越經(jīng)濟(jì) 梁的合理截面形狀應(yīng)為 A較小而Wz較大 如 矩形截面 高h(yuǎn) 寬b h b 實(shí)際中矩形截面梁均為豎放 豎放時(shí) 平放時(shí) 即矩形截面梁豎放比平放具有更高的彎曲強(qiáng)度 若 h b 3 2時(shí) 豎放時(shí)強(qiáng)度比平放時(shí)強(qiáng)度高50 根據(jù)彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律 離中性軸愈遠(yuǎn) 正應(yīng)力愈大 靠近中性軸處 正應(yīng)力很小 因此靠近中性軸處的材料工作時(shí)未充分發(fā)揮作用 如 矩形截面改為工字形截面 可提高Wz 所以應(yīng)將盡可能多的材料配置在遠(yuǎn)離中性軸處的部位 其他如箱形截面 T形截面 槽形截面等都可提高Wz 一般可用Wz A來評價(jià)梁截面形狀的合理性和經(jīng)濟(jì)性 若Wz A較大 則表示梁截面形狀較為合理性 較為經(jīng)濟(jì) 矩形截面 可知 矩形截面較圓形截面更為合理 圓形截面 設(shè)直徑d h 工字鋼 槽鋼 此外在考慮梁的合理截面形狀時(shí) 還應(yīng)考慮到材料的力學(xué)性能 對 t c 的塑性材料 一般采用對稱于中性軸的截面 此時(shí)有 tmax cmax 比較合理 如T形截面 并使中性軸偏向于強(qiáng)度較弱的一邊 對 t c 的脆性材料 一般采用不對稱于中性軸的截面 tmax t cmax c 設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)有 由 即 可使最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到材料的許用應(yīng)力 對鋼筋混凝土梁 應(yīng)將鋼筋置于梁中較大拉應(yīng)力處 三 等強(qiáng)度梁的概念 一般M M x Mmax 對等截面梁 需按最大彎矩Mmax處設(shè)計(jì) 即采用截面沿軸線變化的變截面梁 因此對Mmax以外的其他截面上的材料未得到充分利用 為節(jié)約材料 減輕重量 從強(qiáng)度考慮 可在M較大處采用較大的截面 M較小處采用較小的截面 變截面梁的強(qiáng)度條件 近似采用等截面梁的公式 M x 為梁截面上的彎矩 Wz x 為梁截面的抗彎截面系數(shù) 若使變截面梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力 即得到等強(qiáng)度梁 等強(qiáng)度梁的強(qiáng)度條件 可得等強(qiáng)度梁的Wz x 沿梁軸線得變化規(guī)律 如 懸臂梁受F作用 矩形截面 h b 1 b為常量 h x 為變量 M x Fx 即h x 按拋物線規(guī)律變化 自由端 x 0 h 0 但不能滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件 所以由一段h為常量 工程實(shí)際中的魚腹梁即為此種等強(qiáng)度梁 2 h為常量 b x 為變量 即b x 按直線規(guī)律變化 其等強(qiáng)度梁為一三角形板 實(shí)際中將其分成狹條 再重疊起來 即得到常見的板彈簧 對于圓截面的等強(qiáng)度梁 也可由條件 求得直徑d x 的規(guī)律變化 但實(shí)際中考慮到軸的加工方便和結(jié)構(gòu)裝配上的要求 常采用階梯形狀的梁 階梯軸 來代替理論上的等強(qiáng)度梁 11 8彎拉 壓 組合強(qiáng)度計(jì)算 一 彎 拉 壓 組合變形 實(shí)例 搖臂 軸向力產(chǎn)生軸向拉伸 橫向力產(chǎn)生對稱彎曲 搖臂為拉 彎曲組合變形 鉤頭螺栓 外力與軸線平行 但不重合 稱為偏心拉伸 壓縮 向軸線平移后 F M 螺栓為拉 彎曲組合變形 桿件受軸向力和橫向力同時(shí)作用時(shí)產(chǎn)生拉 壓 與彎曲的組合變形 彎拉 壓 組合分析 1 外力分析 Fx 軸向力 使梁產(chǎn)生軸向拉伸 2 內(nèi)力分析 作FN圖 M圖 危險(xiǎn)截面 B截面 固定端 F Fx Fsinj Fy Fcosj Fy 橫向力 使梁產(chǎn)生對稱彎曲 m m截面內(nèi)力 FN Fx Fsinj M Fyx Fxcosj FN Fsinj Mmax Flcosj 3 應(yīng)力分析 FN 產(chǎn)生正應(yīng)力sN l A B M 產(chǎn)生彎曲正應(yīng)力sM 均布 沿高度線性分布 危險(xiǎn)點(diǎn) a b 4 強(qiáng)度校核 tmax t 應(yīng) cmax c 彎拉 壓 組合分析步驟 1 外力分析 將外