第4章 平面問題有限單元法2

.,李建宇天津科技大學,工程中的有限元方法,FiniteElementMethodinEngineering,內(nèi)容平面問題的有限元法23形函數(shù)的性質(zhì)4整體剛度矩陣的組裝及其性質(zhì)5等效節(jié)點載荷向量要求理解：連續(xù)體有限元分片插值的含義；形函數(shù)的功能及其性質(zhì)；基于虛功方程的整體剛度矩陣的組裝；基于虛功方程的等效節(jié)點載荷向量的生成掌握：常應變?nèi)切螁卧M裝技術；常應變?nèi)切螁卧刃Ч?jié)點載荷向量的生成課后作業(yè)推導常應變?nèi)切螁卧倓偤偷刃лd荷向量,.,回顧,連續(xù)體有限元分析的基本流程,整體離散,單元分析,單元組裝,整體解算,連續(xù)體結(jié)構(gòu),.,離散化方法,回顧,幾何實體的逼近性離散,.,三角形單元分析,回顧,目標：對三角形單元，建立節(jié)點位移與等效節(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換關系。,？,.,回顧,三角形單元分析,單元分析的流程,解決辦法：插值(分片插值的提法),形函數(shù)矩陣,.,形函數(shù)（shapefunction）及其性質(zhì),回顧,下標i,j,m輪換,性質(zhì)：,其中：,（a）Ni(x,y)在i點的節(jié)點位移為1，其它節(jié)點為0。,（b）單元中任一點各形函數(shù)的和為1。,力學意義：固定j，m節(jié)點，使i節(jié)點發(fā)生位移1，則單元內(nèi)各點的位移場為Ni(x,y)。,力學意義：令單元發(fā)生剛體位移u0，則單元內(nèi)各點的位移均為u0，即,.,單元分析流程,回顧,解決辦法：彈性力學幾何方程,B矩陣稱為應變矩陣,得,代入,該單元為常應變單元,.,單元分析流程,回顧,解決辦法：彈性力學物理方程,得,代入,S矩陣稱為應力矩陣。,.,例：對于平面應力問題,代入,得,其中,.,單元分析流程,回顧,解決辦法：單元平衡分析,平面問題虛功原理,代入,得,內(nèi)力虛功,外力虛功,外力虛功內(nèi)力虛功,單元剛度方程,.,單元剛度方程建立了單元的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系，稱為單元剛度矩陣。它是66矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點沿坐標方向發(fā)生單位位移時引起的節(jié)點力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關，即不隨單元或坐標軸的平行移動而改變。,.,一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì),已經(jīng)求出了下列關系,.,一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì),節(jié)點力和節(jié)點位移的關系：(以簡單平面桁架為例)平面問題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)點載荷的作用下，節(jié)點對單元、單元對節(jié)點都有作用力與反作用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱為節(jié)點力。節(jié)點力和節(jié)點位移的關系為單元剛度方程：,.,一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì),單元剛度矩陣的物理意義：將寫成分塊矩陣寫成普通方程其中表示節(jié)點s(s=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點r(r=i,j,m)上所需要施加的節(jié)點力的大小。,.,一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì),單元剛度矩陣的物理意義：將節(jié)點力列向量與節(jié)點位移列向量均擴展成(61)階列矩陣，單元剛度矩陣相應地展開成(66)階方陣：元素K的腳碼，標有“-”的表示水平方向，沒有標“-”的表示垂直方向。,.,一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì),單元剛度矩陣的物理意義：單元剛度矩陣的各元素的物理意義：表示節(jié)點s(s=i,j,m)在水平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平節(jié)點力和垂直節(jié)點力的大小。例如表示節(jié)點j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i所需要施加的水平節(jié)點力的大小。,.,一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì),單元剛度矩陣的性質(zhì)：1)對稱性：是對稱矩陣2)奇異性：是奇異矩陣單元剛度矩陣所有奇數(shù)行的對應元素之和為零，所有偶數(shù)行的對應元素之和也為零。（力學含義是什么？）由此可見，單元剛度矩陣各列元素的總和為零。由對稱性可知，各行元素的總和也為零。,.,一、單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì),單元剛度矩陣的性質(zhì)：例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設,1、求B2、求D3、求S4、求,.,回顧,連續(xù)體有限元分析的基本流程,整體離散,單元分析,單元組裝,整體解算,連續(xù)體結(jié)構(gòu),.,二、單元組裝技術,位移協(xié)調(diào)條件：各單元共享節(jié)點的位移相等,節(jié)點平衡條件：各單元內(nèi)力與節(jié)點外力構(gòu)成平衡力系,.,二、單元組裝技術,以i點為例，利用虛功原理建立平衡方程，設虛位移,各單元i節(jié)點等效內(nèi)力的虛功為:,各單元i節(jié)點等效外力的虛功為:,二、單元組裝技術,由單元剛度方程：,對每一個單元，將i節(jié)點虛位移擴展到單元全部節(jié)點，如，,則,Te表示節(jié)點位移提取矩陣,對i節(jié)點，有,同理，可建立其它節(jié)點的平衡方程。,.,二、單元組裝技術,對i節(jié)點，有,將每一個單元的節(jié)點位移（包括虛位移）擴展到全部節(jié)點位移向量，如,則，,Te表示單元節(jié)點位移提取矩陣,.,二、單元組裝技術,對所有節(jié)點，有,由虛位移的任意性，整理得,總體剛度矩陣,總體剛度方程,.,二、單元組裝技術,總體剛度方程,等效節(jié)點外載荷向量。,.,三、單元等效節(jié)點外載荷向量,連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點移置(分解)，而成為節(jié)點載荷。將載荷移置到節(jié)點上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與節(jié)點載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。,.,三、單元等效節(jié)點外載荷向量,在線性位移模式下，對于常見的一些載荷，可以通過簡單的虛功計算，得出所需的載荷列矩陣。,均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把1/3的重力移到每個節(jié)點,.,三、單元等效節(jié)點外載荷向量,例：,總載荷的2/3移置到節(jié)點i，1/3移置到節(jié)點j，與原載荷同向,.,三、單元等效節(jié)點外載荷向量,載荷向節(jié)點的移置，可以用普遍公式來表示。體力的移置分布面力的移置在線性位移模式下，用直接計算法簡單