2003SARS傳播的數(shù)學(xué)模型

SARS傳播的數(shù)學(xué)模型摘要：我們以傳統(tǒng)的微分方程為理論基礎(chǔ)，從經(jīng)典的傳染病模型SIR模型入手，參考用2003年6月以前的有關(guān)SARS的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)SARS病情的特殊性進(jìn)行了分析，建立了描述SARS疫情傳播的微分方程模型。還用曲線擬合的方式，給出了模型中參數(shù)的確定方法，以及模型的數(shù)值解法。關(guān)鍵詞：SARS，傳染病模型，微分方程，曲線擬合SARS的簡(jiǎn)介： SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥, 俗稱：非典型肺炎）是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性。 與以往的傳染病不同，SARS具有其自身的特征：除了考慮易感染者、已感染者和移出者外，還要考慮疑似者、疑似者中的確診者、不可控者、不可控者中轉(zhuǎn)化為病人（感染）者。我們從經(jīng)典的傳染病模型SIR模型出發(fā)，考慮了傳染病蔓延過程中政府部門的決策和措施對(duì)抑制疾病蔓延的積極作用基本假設(shè)：1. 除感病特征外，人群的個(gè)體間沒有差異、感病者與易感者的個(gè)體在人群中混合是均勻的人群的數(shù)量足夠大，只考慮傳染過程的平均效應(yīng)。2. 易感者感病的機(jī)會(huì)與他接觸感病者的機(jī)會(huì)成正比。3. 疾病的傳染率為常數(shù)。4. 不考慮出生與死亡的過程和人群的遷出和遷入5 .已感染者以固定的比率痊愈或死亡。6 .對(duì)于一個(gè)SARS康復(fù)者我們可以假設(shè)他二度感染SARS的概率為0，這些人既不是健康者(易感染者)，也不是病人(已感染者)。符號(hào)說明：S(t) 為易感染者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤齀(t) 為已感染者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤齊(t) 為移出者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤齆(t) 為疑似者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤齅(t) 為不可控者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤齥為每個(gè)易感染者平均每天感染的有效人數(shù)h為移出率（即SARS患者的日死亡率和日治愈率之和）e 為不可控者中轉(zhuǎn)化為病人的日轉(zhuǎn)化率a 為被不可控者有效感染的人中可以控制的比率y1為疑似者中每日被診斷為未被感染者占疑似者的比例y2為疑似者中每日被診斷為被感染者占疑似者的比例對(duì)問題一的回答：某種函數(shù)的形式，引入一些參量因子進(jìn)行考慮。對(duì)問題二的回答：模型的建立模型I（SIR） 如果假設(shè)S(t) 為易感染者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?，I(t) 為已感染者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?，R(t) 為移出者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?，k為每個(gè)易感染者平均每天感染的有效人數(shù)，h為移出率，則通過機(jī)理分析，這種情況可以用經(jīng)典的傳染病模型SIR模型來描述，其表達(dá)式為如下的微分方程組：，S(0) = S0，I(0) = I0，R(0) = R0其中S(t) + I(t) + R(t) = 1。 （相對(duì)移出率）解為： 討論：當(dāng)時(shí)， 無論初始條件如何，感病者終將在系統(tǒng)中消失，即有。事實(shí)上，而故存在。由且故存在。若，則。對(duì)于充分大的有。從而對(duì)充分大的有。這將導(dǎo)致。與存在矛盾。可得。設(shè)法提高模型中（改善衛(wèi)生條件、減少傳染期的接觸數(shù)）的值，在模型中，參數(shù)是重要的，通常稱之為相對(duì)移出率。我們可以用S的極值來表示，因此可以由觀測(cè)數(shù)據(jù)給出估計(jì)。 當(dāng)傳染病流行結(jié)束后得到和，由上式就可給出的估計(jì)。模型（針對(duì)SARS特征建立的模型） SARS的傳播機(jī)理又與一般的傳染病不盡相同。不僅有易感染者、已感染者和移出者，還有疑似者和不可控者（自由帶菌者），同時(shí)疑似者和不可控者中都可能有一部分轉(zhuǎn)化為易感染者，也有一部分轉(zhuǎn)化為易感染者。所以，傳統(tǒng)的傳染病模型無法描述SARS的傳播機(jī)理，必須對(duì)其進(jìn)行修改。假設(shè)S(t) 為易感染者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?，I(t) 為已感染者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤琑(t) 為移出者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?，N(t) 為疑似者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤?，M(t) 為不可控者在總?cè)丝谥兴嫉谋壤Ｓ衷O(shè)k為每個(gè)不可控者發(fā)病后被收治前平均每天感染的有效人數(shù)，e 為不可控者中轉(zhuǎn)化為病人的日轉(zhuǎn)化率，h為移出率（即SARS患者的日死亡率和日治愈率之和），a 為被不可控者有效感染的人中可以控制的比率，y1為疑似者中每日被診斷為未被感染者占疑似者的比例，y2為疑似者中每日被診斷為被感染者占疑似者的比例。于是，從經(jīng)典的傳染病模型SIR模型出發(fā)，通過機(jī)理分析動(dòng)態(tài)地修正，得到描述SARS傳播的微分方程模型如下：，S(0) = S0，I(0) = I0，R(0) = R0，N(0) = N0，M(0) = M0參數(shù)的確定上述的SARS傳播模型中，共有6個(gè)參數(shù)。根據(jù)政府發(fā)布的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)信息，每天的y1、y2和h可以使用如下的公式進(jìn)行估計(jì)：一=初步用曲線擬合處理一下原始數(shù)據(jù)，如圖所示： 圖1y1的值主要分布2%4.5%之間，其中概率最大的取值為：3.51%，故我們?cè)谀Ｐ徒⑦^程中，就取3.51%為y1的概率平均值。二=初步用曲線擬合處理一下原始數(shù)據(jù)，如圖2所示：三h =初步用曲線擬合處理一下原始數(shù)據(jù)，如圖3所示：將每天估計(jì)的參數(shù)數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)集，用曲線進(jìn)行擬合（圖1為對(duì)13天中h數(shù)據(jù)的擬合），求出相應(yīng)的近似概率分布，從而可以求得三個(gè)參數(shù)的估計(jì)值。四從數(shù)據(jù)可推算出其值在12%30%之間我們?cè)谶@里令五與城市的人口密度、生活習(xí)慣等因素有關(guān)，由于在強(qiáng)化控制階段對(duì)人員的流動(dòng)控制的相當(dāng)嚴(yán)格，還采取了比如封校、小區(qū)隔離、公共場(chǎng)合的關(guān)閉、減少聚集活動(dòng)等有效措施，故我們可估計(jì)模型的求解從建立的模型來看很難直接得到S，I，R，和M的解析解，這里采用三階龍格庫(kù)塔方法，通過Matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合來求出它們的數(shù)值解。通過采集到的實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算出每一天的S，I，R，N和M，畫出它們作為時(shí)間的函數(shù)的圖象，然后畫出我們通過模型解出的數(shù)值解隨時(shí)間變化的圖形。對(duì)比這兩組圖形曲線，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際和理論存在著一定的差異。這一方面是因?yàn)樵谝咔榘l(fā)展過程中的偶然因素造成的，另一方面也是因?yàn)槲覀兊膮?shù)估計(jì)不精確造成的。所以，我們必須通過不斷的動(dòng)態(tài)的調(diào)整那些非計(jì)算得到的參數(shù)（k，a）來使實(shí)際圖象和理論圖象趨于一致。例如，初步用曲線擬合處理一下原始數(shù)據(jù)，如圖2所示。經(jīng)過不斷調(diào)試，找到適當(dāng)?shù)膋，a，使實(shí)際圖象和理論圖象有最好的符合，從而得到非計(jì)算的三個(gè)參數(shù)，進(jìn)而求得模型的數(shù)值解。初步用曲線擬合處理一下原始數(shù)據(jù)，如圖4所示：圖4經(jīng)過多次調(diào)試,我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)K=0.71人,=0.2,=0.8時(shí),實(shí)際圖象和理論圖象有最好的符合。而這三個(gè)值均在我們估計(jì)的范圍內(nèi)，所以我們認(rèn)為這三個(gè)值的得到是比較合理的。對(duì)政府措施的評(píng)價(jià)： 如果提前5天采取嚴(yán)格的隔離措施，那么在我們建立的模型中參數(shù)K將大大減小，也就是可控人數(shù)N中感染sars的人對(duì)易感人群的感染率將大大降低。反之，若延后5天采取嚴(yán)格的隔離措施，可控人數(shù)N中感染sars的人對(duì)易感人群的感染率將大大升高。由式可得出，可控制比例將增大，不可控人群變化率將降低。 由于所建模型中，常微分方程涉及到的參數(shù)特別多，所以對(duì)參數(shù)的確定有一定的困難，我們僅僅通過圖形法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，顯然其擬合的結(jié)果可靠性、準(zhǔn)確性受到一定限制，數(shù)值解也有相對(duì)的不確定性。對(duì)問題三的回答：旅游業(yè)經(jīng)濟(jì)模型由于SARS的原因，我國(guó)經(jīng)濟(jì)受到了很大的影響，我們通過對(duì)北京對(duì)海外旅游業(yè)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立了如下模型。符號(hào)說明表示n年k月份北京接待海外旅游人數(shù)。方程如圖5所示圖4平均年增長(zhǎng)率如圖5所示圖5由于8月非典得到有效抑制，全國(guó)非典病人也實(shí)現(xiàn)了零增長(zhǎng)，故