數(shù)列問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想學(xué)法指導(dǎo)不分本

數(shù)列問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想http:/www.DearEDU.com田寶運(yùn) 劉中原 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，蘊(yùn)含著極其豐富的數(shù)學(xué)思想。若能有效的運(yùn)用其數(shù)學(xué)思想去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，在高考中大為有益。 一、方程思想 等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式集中了等差（或等比）數(shù)列的五個(gè)基本元素、d（或q）、n、。“知三求二”是等差（或等比）數(shù)列最基本的題型，通過(guò)解方程的方法達(dá)到解決問(wèn)題的目的。 例1 在等比數(shù)列中，已知，求的前8項(xiàng)的和。 解： （1） 由 有 將代入（1），得（舍去） 將代入（1），得。 當(dāng)q=2時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 二、函數(shù)思想 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動(dòng)態(tài)的函數(shù)觀點(diǎn)是解決數(shù)列問(wèn)題的有效方法。數(shù)列的項(xiàng)可看作定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)，如等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)的和公式。當(dāng)時(shí)，可以看作自變量n的一次和二次函數(shù)。因此利用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問(wèn)題不僅能加深對(duì)數(shù)列的理解，也有助于學(xué)生解題思維能力的培養(yǎng)及增強(qiáng)應(yīng)用函數(shù)思想解題的意識(shí)。 例2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且，求。 解：顯然公差，所以是n的二次函數(shù)且無(wú)常數(shù)項(xiàng)。于是設(shè)，則 解得 所以 從而 例3 已知數(shù)列中，求證。 解：設(shè)，則。 因?yàn)?，所以，所?即在2，上是單調(diào)減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，。 三、分類討論思想 分類是按一定的標(biāo)準(zhǔn)把所要研究的對(duì)象分成若干種情況，把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成若干個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而獲得完整的解答。 例4 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為q（q0），前n項(xiàng)和為，且，求。 解：（1）當(dāng)q=1時(shí)，則，所以。 （2）當(dāng)0q1時(shí)，則，。由，知 所以 綜上得 四、數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)列是特殊函數(shù)，它的圖象是由一些有規(guī)律的間斷點(diǎn)構(gòu)成的，具有鮮明的幾何意義。如等差數(shù)列在平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)（n，）、（n，）、（n，）（），當(dāng)時(shí)分別在直線、拋物線及直線上，這樣就可以利用這些間斷點(diǎn)的規(guī)律，借形攻數(shù)。 例5 設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A. d0B. C. D. 與均為的最大值 解：因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中點(diǎn)（n，）在拋物線上，且，所以拋物線對(duì)稱軸方程為 又易知d0，所以與均為的最大值且，所以。 故選C。 五、化歸思想 就是把待解決的問(wèn)題或未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸納為已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。 例6 已知數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且。求的通項(xiàng)公式。 解：當(dāng)時(shí)， 而，即 所以數(shù)列是公比為