新課標(biāo)復(fù)習(xí)例談與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的熱點(diǎn)問題

新課標(biāo)專題復(fù)習(xí) 例談與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的熱點(diǎn)問題導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)教材以后.引起了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的多方位思考.首先是對(duì)導(dǎo)數(shù)地位的認(rèn)識(shí)的思考.其次是高考如何考的問題.首先,極限和導(dǎo)數(shù)在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間起著重要的銜接作用,同時(shí)也引起了數(shù)學(xué)思維方式的質(zhì)的飛躍.它與數(shù)學(xué)歸納法和極限共同把握著“有限與無限”這一對(duì)矛盾的統(tǒng)一體.正是由于導(dǎo)數(shù)進(jìn)入了中學(xué)課本,才使得原本復(fù)雜的問題(函數(shù)的性質(zhì),曲線的切線問題)有了一個(gè)更可靠的一般性的工具.其次,在高考中每年都對(duì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容的考查力度有逐年加大的趨勢(shì).考點(diǎn)涉及到了導(dǎo)數(shù)的所有內(nèi)容(定義、幾何意義、物理意義，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最（極）值等).考查的題型有客觀題（選擇題、填空題）、主觀題（解答題），考查的形式具有綜合性和多樣性的特點(diǎn)，常常與函數(shù)方程、三角函數(shù)、不等式、甚至與解析幾何等內(nèi)容綜合考查，成為新的高考熱點(diǎn).試題特點(diǎn)如下:1.背景新穎,設(shè)問靈活.2.多方聯(lián)系,綜合性強(qiáng).3.極具思維的深刻性和廣闊性.4.含蓋多種數(shù)學(xué)思想方法.總之把導(dǎo)數(shù)作為考查的熱點(diǎn)是挖掘?qū)W生潛能,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意意識(shí)和探究精神的極好素材.下面就導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)談以下方面。一、與導(dǎo)數(shù)概念有關(guān)的問題例1：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值是（ ）A、0 B、1002 C、200 D、100！解法一：所以選D。解法二：設(shè)，而所以選D。評(píng)析：解法一是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義直接求解，函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)在這點(diǎn)平均變化率的極限。解法二是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則解決問題。例2：如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加，則圓半徑R=10cm時(shí)，圓面積增加的速度是多少.解：評(píng)析：本題考查導(dǎo)數(shù)的物理意義及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，須注意導(dǎo)數(shù)的物理意義是距離對(duì)時(shí)間的變化率，它是表示瞬時(shí)速度.因速度是向量，故變化率可以為負(fù)值。二、與曲線的切線有關(guān)的熱點(diǎn)問題例3：以正弦曲線上一點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線，則直線的傾斜角的范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解：設(shè)過曲線上點(diǎn)P的切線傾斜角是，由題意知故選A。評(píng)析：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率，即，也即導(dǎo)數(shù)的幾何意義。例4：曲線的切線通過點(diǎn)（0，1），且過點(diǎn)（0，1）的切線有兩條，求實(shí)數(shù)的值。解：因?yàn)辄c(diǎn)（0，1）不在曲線上，所以可以設(shè)切點(diǎn)是， 則切線方程是，因?yàn)榍芯€過（0，1）， （*）構(gòu)造，由過點(diǎn)（0，1）點(diǎn)的切線有2條，可知有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，其等價(jià)于“有極值，且極大值乘以極小值等于0，a” 由所以評(píng)析：本題解答關(guān)鍵是把“切線有2條”的“形”轉(zhuǎn)化為“方程有2個(gè)不同實(shí)數(shù)根”的“數(shù)”，即數(shù)形結(jié)合，然后把三次方程有兩個(gè)不同實(shí)根的問題得以轉(zhuǎn)化，三次方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根等價(jià)于“極大值大于0，極小值小于0”。值得注意的是，對(duì)于求過某點(diǎn)的曲線的切線問題，應(yīng)先判斷此點(diǎn)是否在曲線上。三、與函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值有關(guān)的熱點(diǎn)問題例5：求證：上是減函數(shù)，在上增函數(shù)。證明：，所以當(dāng)，函數(shù)是減函數(shù)；當(dāng)，函數(shù)是減函數(shù)，故得證。評(píng)析：導(dǎo)數(shù)方法在應(yīng)對(duì)復(fù)雜的初等數(shù)學(xué)問題具有入手容易，思路清晰和過程簡(jiǎn)便優(yōu)勢(shì)，雖然掌握導(dǎo)數(shù)方法需要花費(fèi)一定的時(shí)間和精力，但“磨刀不誤砍柴功”。例6：設(shè)函數(shù)與數(shù)列滿足關(guān)系：其中是方程的實(shí)數(shù)根；的導(dǎo)數(shù)。（1）證明：；（2）判斷的大小，并證明你的結(jié)論。（1）證明：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)n=1時(shí)，由題知，成立；假設(shè)，成立。是單調(diào)增函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，原式成立，故對(duì)于任意自然數(shù)，都成立。（2）解：所以是單調(diào)增函數(shù)，而即又由（1）知，評(píng)析：本題是函數(shù)、方程、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的自然鏈接，其中將導(dǎo)數(shù)知識(shí)融入數(shù)學(xué)歸納法，令人耳目一新。四、與不等式有關(guān)的熱點(diǎn)問題例7、設(shè)，比較的大小。解：令所以上的增函數(shù)，令所以上是增函數(shù)，因此，.評(píng)析：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)比較兩式大小或證明不等式，常用設(shè)輔助函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)這一工具先研究其單調(diào)性,然后證明不等式就變得極其容易。五、與實(shí)際應(yīng)用問題有關(guān)的熱點(diǎn)問題例8：某汽車廠有一條價(jià)值為萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，產(chǎn)品的增加值萬元與技術(shù)改造投入萬元之間滿足：的乘積成正比；當(dāng)（1）求的解析式及定義域；（2）求出產(chǎn)品的增加值的最大值及相應(yīng)的的值。解：（1）由已知，設(shè)，.（2）當(dāng)當(dāng)所以當(dāng)當(dāng)綜上，當(dāng)萬元，最大增加值是；當(dāng)萬元，最大增加值是。評(píng)析：，只是函數(shù)在處有極值的必要條件，求實(shí)際問題的最值應(yīng)先建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，并根據(jù)實(shí)際意義確定其定義域，然后根據(jù)問題的性質(zhì)可以斷定所建立的目標(biāo)函數(shù)確有最大或最小值，并且一定在定義區(qū)間內(nèi)取得，這時(shí)在定義區(qū)間內(nèi)部又只有一使的點(diǎn)，那么不必判斷是否為極值點(diǎn)，取什么極值，可斷定就是所求的最大值或最小值。六新穎別致的解題方法導(dǎo)數(shù)法例1.求解：兩邊求導(dǎo)得：即為所求。評(píng)析：本題的常規(guī)解法是“錯(cuò)位相減法”，這里構(gòu)造函數(shù)用導(dǎo)數(shù)來解顯得很簡(jiǎn)潔，新穎別致。例2 .求 解： 兩邊求導(dǎo)得：令得：故評(píng)析：本題的常規(guī)解