第三章-傳熱學數值計算方法.ppt

本章任務：前兩章已闡述了獲得物理現象的理論預測有一些明顯的好處，且一些有趣的現象是受一些微分方程支配的，這些方程已用通用方程歸納了，接下來的任務就是推導求解這個通用方程的方法即所謂的離散化方法。,第三章離散化方法,推導前的假設：設通用變量僅僅是一個變量的函數（一維問題）,3.1數值方法的本質,3.1-1任務1.什么是微分方程的數值解？它是由一組可以構成因變量分布的數組成的集合，即用一組數字表示待定變量在定義域內的分布。類似于在實驗室中進行的實驗，儀器的讀數構成了所研究區(qū)域內被測物理量的分布（有限個離散點的值的集合）。2.實驗數據的處理擬合關系式通常采用的方法是利用實驗結果，擬合出遵循的方程，然后利用方程即可計算出任意位置點上因變量的值。,eg.設隨x的變化遵循高次多項式的形式,利用實驗數據，并采用數值方法求得有限數量的多項式中的各項系數值，進而得到相應的與x遵循的方程式，由此即可求得任意點處的值了。,若最終的興趣是得到不同位置上的值，則此方法有些不便，因為各個系數a本身沒有什么特別的意義，但要求得還必須進行代入過程。,3.數值方法及任務,建立一個把一系列給定點上的值作為原始未知量的方程，實際上求解微分方程的多數方法均屬此類。該方法的任務是提供一組關于這些未知量的代數方程并規(guī)定求解這組方程的算法。,3.1-2離散化的概念,1.離散化方法及基本思想,把注意力集中在網格節(jié)點處的值，用離散的值取代包含在微分方程精確解中的連續(xù)信息，這樣就離散了的分布，這類數值方法叫離散化方法。,根據實際研究對象，把定義域分為若干個有限的區(qū)域，在定義域內連續(xù)變化的待求變量場，由有限區(qū)域上的若干個點的待求變量值來表示，這就是離散化的基本思想。,2.離散化方程：所取網格節(jié)點上未知因變量值的代數方程，此方程由支配的微分方程推導而得。,在推導過程中，需對網格節(jié)點之間如何變化作某種假設，變量在節(jié)點間的分布形式不同，推導離散化方程的方法也就不同；另外可以選擇在整個計算域內滿足一個簡單表達式的分布；更為實際的方法還是采用分段分布，即將計算區(qū)域分布一定數量的子域或單元，每個子域可以有一個獨立的分布假設。,3.1-3離散化方程的結構,1.離散化方程的結構,一個離散化方程是連接一組網格節(jié)點處值的代數關系式，由支配的微分方程推導而得，并表示與該微分方程相同的物理信息。當節(jié)點數很多時，離散方程的解接近于相應微分方程的精確解，相鄰點之間變化很小，有關分段分布的細節(jié)就不那么重要了。相應于一個已知的微分方程，離散化方程的形式決不是唯一的，這起因于分布假設以及推導方法的不同。網格節(jié)點數非常多的極限條件下，所有可能類型的離散化方程將會給出相同的解。,2.離散化方法,常見的方法主要有：有限差分法和有限元法。,兩種方法的區(qū)別來自于選擇分布和推導離散化方程的方法不同。本書主要關注的方法具有有限差分的外形，但它采用了典型的有限元方法所具有的思想，把此方法叫有限差分法可能在于它堅持遵守習慣的有限差分法做法。,3.2推導離散化方程的方法,對于一個已知的微分方程，可以用許多方法推導出所要求的離散化方程。,3.2-1泰勒級數公式,1.定義：在有限差分法中，通過把控制方程中的各階導數用相應的差分表達式來代替而形成離散方程。各階導數的差分表達式可由泰勒級數展開而得，把這種建立離散方程的方法稱為泰勒級數展開法。,2.差分方程式的建立：,節(jié)點i兩側分別有i-2,i-1,i+1,i+2，各節(jié)點間距都為h,用泰勒級數展開有：,取左端及右端的前三項，并進行相加或相減，便可得中心差分的近似式：,剩余項的最低階導數前系數的次數,用同樣的方法可以得到略去截斷誤差O(h)的差分計算式：,為了提高精度，可以得到截斷誤差更高階的差分表達式。,3.幾點說明,.差分表達式分子項系數的代數和為零；.各階導數差分表達式的量綱必須與導數的量綱一致，因而，一階導數各個差分表達式的分母為x，二階為(x)2;.給出一個差分表達式時，必須指明是對哪個點建立的，同樣的節(jié)點數，不同的建格式的點，導致不同的截斷誤差，如,對i點只有一階截差，但對i+1點則是二階導數具有二階截差的表達式。,4.優(yōu)缺點：推導比較直截了當，但其中各項的物理意義難以理解。,3.2-2用多項式擬合法建立導數的差分表達式,導數的差分表達式也可以通過多項式的擬合來獲得，相當于對未知函數的局部變化型線采用多項式來逼近。,1.線性擬合：假設函數(x,)在節(jié)點(i,n)附近對x的變化關系近似為線性，則有：,于是有：,2.采用二次曲線擬合，可得到具有二階精度的空間導數,于是有：,主要用來處理對流項的高階格式及邊界條件。,eg:如圖所示，已知區(qū)域內部與邊界節(jié)點的溫度，物體的導熱系數=const。試用多項式擬合法確定穿過壁面的熱流密度。,解：設壁面附近溫度T按線性關系變化，則,如果取溫度分布為二次曲線,則有：,由上面三式可解得：,3.2-3控制容積公式,1.控制容積法的基本思想,把計算區(qū)域分成許多互不重疊的控制容積，并使每一個網格節(jié)點都由一個控制容積所包圍，對每一個控制容積積分微分方程，應用表示網格節(jié)點之間變化的分段分布關系來計算所要求的積分，這樣就得到了包含一組網格節(jié)點處值的離散方程,2.控制容積法誘人的特征,所得結果將意味著任何一組的控制容積內（也是整個容積）,諸如質量、動量以及能量的積分守恒都可以精確地得到滿足。也就是說，不論網格劃分的疏密情況如何，它的解都能滿足控制容積的積分平衡。這個特點提供了在不失去物理上真實性的條件下，選擇控制容積尺寸有更大的自由度。,有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法,即使在粗網格情況下，也顯示出準確的積分守恒。有限差分法,只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，插值函數只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數；上述觀點，可使得對微分方程中不同的項采取不同的插值函數有完全的自由。,3.積分法實施的步驟,將守恒型的控制方程在任一控制容積及時間間隔內對空間及時間積分；需要積分，須先設定待求變量在區(qū)域內的變化規(guī)律，即假定變量的分布函數；將其分布代入控制方程，在控制容積上積分，并整理成關于節(jié)點上未知值的代數方程。,在控制容積積分前，須設定變量的分布規(guī)律，但得到離散方程后，節(jié)點間變量的分布規(guī)律就不再有什么意義了。因此對于不同變量可以采用不同的分布，對微分方程中的不同項可以采用不同的分布假設進行積分。,3.3一個說明性的例子,一、方程的離散化（以一維穩(wěn)態(tài)導熱為例）:,一維穩(wěn)態(tài)導熱問題的控制方程：,一維問題的網格節(jié)點群,給出網格節(jié)點群，劃定控制容積,y、z方向為單位長度，控制容積體積為x。,在整個控制容積內積分方程,選定未知函數及其導數的局部分布函數,分布函數：通常有階梯式分布和分段線性分布兩種,階梯式分布,階梯式分布:一個節(jié)點處的值代表它周圍整個控制容積的值。它雖然簡單，但不能用來計算變量在控制容積界面處的梯度值。故一般只用于源項、物性參數和變量在時域上的分布。,P,E,W,x,分段線性分布,分段線性分布:變量在網格節(jié)點間呈線性分布，可以用來計算變量的梯度，有時也用于計算變量在時域上的分布。,離散化方程采用分段線性分布來計算積分,在整個控制容積內的積分平均值。,上式可整理成如下形式,式中：,說明：,.方程的推廣：二維、三維的情況均適用；,.在推導公式時，采用了能夠估算導數的最簡單的分布假設，當然選用其它形式的內插函數也可以；.沒有必要對所有的量都采用同樣的分布函數；即沒有必要用網格節(jié)點之間線性變化的S來計算,也沒有必要由kP和kE之間線性變化的k計算ke；.對于一個確定的變量，沒有必要對方程中所有各項都采用同樣的分布函數假設。,二、指導原則,分布函數的自由性將會導致不同變型的離散方程的形式。事實上，網格節(jié)點數的增加，所有這些不同形式的方程都會給出相同的解。附加要求：即使是采用很粗的網格，解也應該滿足物理上真實的性狀和總的平衡。,.物理上的真實性：一個真實的變化應當具有與準確變化相同的定向性傾向。如：無內熱源的熱傳導問題，熱固體被繞流流體冷卻，可以用此真實性來檢驗離散化方程的準確性。,物理上真實與不真實的性狀,.總平衡的要求,對整個計算域應該滿足積分守恒，要求q、qm及動量通量必須準確地同相應的源和匯建立平衡，這種平衡對任何數目的網格節(jié)點都應當得到滿足。,三、源項的處理,通常來講，源項是因變量本身的函數，構成離散方程的過程中，需要知道這種函數關系。由于離散化方程需要用線性代數的技術來求解，所以，形式上只能考慮一種線性的函數關系，即,SP為TP的系數，不代表在節(jié)點P計算式的結果。TP代表整個控制容積的值，采用了階梯式分布。,應用線性化的源項表達式，離散化方程的形式一樣，但系數有所改變。,四、不同離散方法的比較,.Taylor展開法與多項式擬合法偏重于從數學角度進行推導，把方程中的各階導數用相應的差分式來表示；而控制容積法和平衡法則側重于從物理觀點來分析，每個離散方程都是有限大小容積上某種物理量守恒的表示式。.Taylor展開法與多項式擬合法優(yōu)點：易于對離散方程進行其數學特性的分析；缺點：變步長網格的離散方程形式比較復雜，導出過程的物理概念也不清晰，且不能保證所得方程具有守恒特性。,.控制容積法(平衡法)優(yōu)點：導出過程物理概念清晰，離散系數具有一定的物理意義，并可以保證所得方程具有守恒特性。缺點：不便于對方程進行數學特性的分析。.這兩種方法分別展示了有限差分法與有限元法這兩種數值解法的基本特點，有限容積法更具有吸引力。,Taylor展開法,控制容積法,3.4四項基本法則,離散化方程應當服從的這些法則，可以確保所得的解滿足物理上的真實性以及總的平衡這兩個要求。,法則1：在控制容積面上的連續(xù)性,在同一個界面上各物理量（及有關物性）及其一階導數是連續(xù)的。所謂連續(xù)是指從界面兩側的兩個控制容積寫出的該界面上的值是相等的，即：,e,如圖所示，在P、E兩個控制容積的公共界面e上，離開P控制容積穿過e界面的q、qm及動量通量應各自等于穿過e界面進入E控制容積的相應的量。若公共界面e上的型線選擇不妥，可能導致界面上連續(xù)性受到破壞如上圖所示，界面上采用了二次曲線，由于從P控制容積及E控制容積來確定的二次曲線擬合點不完全相同，在e界面上，無論是值還是其導數從P、E兩側控制容積確定的值均不相等，使得格式失去守恒性。,說明界面連續(xù)性的示意,若公共界面e上的導熱系數選擇不妥，也可能使界面上連續(xù)性被破壞,如：在給定的控制容積的各個表面上，熱流密度完全為控制容積中心節(jié)點的導數系數kP或kE所控制，這樣在考慮P點周圍的控制容積時，在界面e處的熱流密度將表示成,而在把E作為控制容積的中心節(jié)點時，界面e處的熱流密度將表示成,從物理意義上看，若從界面的兩側計算所得通量不能相互抵消，相當于在界面上存在一個由計算而造成的源或匯，使總體計算誤差增加。,為避免出現這種不連續(xù)性，注意：必須把界面上的熱流看成是屬于界面本身，而不是屬于一定的控制容積的即物性參數用界面上的值。,法則2：正系數,所有的系數（ap以及各相鄰節(jié)點系數anb）必須總是正的。在一個網格節(jié)點處因變量值的增加，應當導致相鄰網格節(jié)點上該值的增加，而不是減少。即方程：,要求aE、aW均與aP有相同的正負號，皆為正或負，規(guī)定取正。若相鄰節(jié)點系數有正、有負，則往往不能確保得到物理上真實的解。以后的討論只接受那些確保在所有情況下系數均為正的公式。,法則3：源項的負斜率線性化,當源項線性化為時，系數SP必須滿足:,因為線性化后，系數aE、aW沒有變化，而ap變化為:,若Sp0，則中心節(jié)點系數ap有可能變?yōu)樨撝担蝗鬝p0，則可以保證中心節(jié)點系數ap0.,實際問題也表明，Sp不能為正。若如果這時沒有有效的散熱機構，可能會反過來使如此反復會造成溫度飛升的不穩(wěn)定現象。,法則4：相