第4章-系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定性.ppt

上海交通大學(xué)自動化系,第4章系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定性,一個實(shí)際系統(tǒng)正常工作的前提是系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)的穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)分析的重要方面。線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述有外部描述和內(nèi)部描述兩種，相應(yīng)地，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性也有外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性兩類，前者是系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性，后者是平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性有區(qū)別，但也存在一定的聯(lián)系。,上海交通大學(xué)自動化系,線性系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性介紹Lyapunov穩(wěn)定性概念線性系統(tǒng)外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的關(guān)系線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)和Lyapunov判別方法,本章的目的,上海交通大學(xué)自動化系,線性系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性主要是有界輸入有界輸出穩(wěn)定性，簡稱為BIBO穩(wěn)定性。定義考慮線性松弛的系統(tǒng)，如果由一個有界輸入所產(chǎn)生的輸出也是有界的，即則稱系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。,4.1線性系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性,上海交通大學(xué)自動化系,注：BIBO穩(wěn)定性必須假定系統(tǒng)是松弛的，因?yàn)橄到y(tǒng)的輸入輸出描述是在此假定下才有意義。系統(tǒng)的輸入輸出描述有脈沖響應(yīng)函數(shù)和傳遞函數(shù)兩種穩(wěn)定性判據(jù)也有相應(yīng)的兩種形式。,上海交通大學(xué)自動化系,單變量線性系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性脈沖響應(yīng)函數(shù)判據(jù)定理線性系統(tǒng)的輸入輸出描述則系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是其中，M是一個有限常數(shù)。,上海交通大學(xué)自動化系,證明：充分性：顯然，系統(tǒng)的輸出是有界的。必要性：用反證法。假設(shè)存在某個時刻，使取輸入,上海交通大學(xué)自動化系,顯然u（t）是有界的，但是輸出是無界的，所以系統(tǒng)不是BIBO穩(wěn)定的。推論對線性定常系統(tǒng)可取，則其BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是,上海交通大學(xué)自動化系,傳遞函數(shù)判據(jù)定理如果單變量線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是正則(或嚴(yán)格正則)有理函數(shù)，則其BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為：的所有極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。證明：若是正則有理函數(shù)，是其重極點(diǎn)，則通過部分分式展開后，必定包含因子,上海交通大學(xué)自動化系,它們的拉氏反變換，或系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)響應(yīng)地包含有下列因子上列因子絕對可積的充分必要條件是具有負(fù)實(shí)部，即系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的多變量線性系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性類似于SISO的情況（略）,上海交通大學(xué)自動化系,推廣形式:線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為顯然，的每一個極點(diǎn)都是A的特征值。所以如果A的所有特征值具有負(fù)實(shí)部，則的所有極點(diǎn)必定具有負(fù)實(shí)部，即系統(tǒng)必是BIBO穩(wěn)定的。但這只是充分條件，而不是必要條件。,上海交通大學(xué)自動化系,例設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為A的特征值為-1與2.5，不全為負(fù)實(shí)部。而其傳遞函數(shù)為的一個極點(diǎn)2.5與零點(diǎn)對消，剩下一個負(fù)實(shí)極點(diǎn)-1，所以系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。,上海交通大學(xué)自動化系,4.2系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性,系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性則是指系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的穩(wěn)定性。Lyapunov穩(wěn)定性理論的發(fā)展史1892年Lyapunov提出了穩(wěn)定性分析的兩種方法：線性化方法和直接法線性化方法的特點(diǎn)：在平衡點(diǎn)線性化的系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的局部穩(wěn)定性直接方法的特點(diǎn)：通過構(gòu)造一能量型的函數(shù)和研究它的時間變化特性來研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,上海交通大學(xué)自動化系,基本概念：非線性系統(tǒng)和平衡點(diǎn),非線性系統(tǒng)其中：f是n1的非線性向量函數(shù)，x是n1的狀態(tài)向量。狀態(tài)向量的一個特定的值稱為點(diǎn)。狀態(tài)的個數(shù)n叫做系統(tǒng)的階。雖然（4.1）不顯含控制輸入，但它也可以應(yīng)用于反饋控制系統(tǒng)。（大家想一想：為什么？）,上海交通大學(xué)自動化系,自治和非自治系統(tǒng),對于線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)的特例,分類：時變和時不變（定常）,定義如果（4.1）中的f不顯含時間t，即（4.1）可以寫成則就說該系統(tǒng)是一自治系統(tǒng)（理想化的概念），否則是非自治系統(tǒng)。,上海交通大學(xué)自動化系,注意：上述定義是對于閉環(huán)系統(tǒng)而言的。對于由控制器和控制對象組成的控制系統(tǒng)，其非自治性可能源于控制對象或控制器隨時間的變化。例如，對于一簡單的控制對象：如果選擇控制器是非線性和時變的（)則該控制系統(tǒng)是非線性且是非自治的。,上海交通大學(xué)自動化系,自治和非自治系統(tǒng)間的區(qū)別,自治系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡與初始時間無關(guān)，而非自治系統(tǒng)則不然。在討論非自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性時需要顯含初始時間。使得分析非常困難在下面我們假定控制對象都是自治系統(tǒng),上海交通大學(xué)自動化系,平衡狀態(tài),平衡狀態(tài)的定義X（t）一旦等于x*，之后系統(tǒng)將永遠(yuǎn)停留在該狀態(tài)x*，則該狀態(tài)x*叫做系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。顯然對于線性時不變系統(tǒng)，如果A非奇異，只有一個平衡狀態(tài)；如果A奇異，則有無窮個，但它們不是分割的。（大家想一想：的平衡狀態(tài)？）,上海交通大學(xué)自動化系,對于非線性系統(tǒng)，平衡點(diǎn)有何特點(diǎn)呢？,平衡狀態(tài)：,這些平衡點(diǎn)是分割的,上海交通大學(xué)自動化系,在線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，為了便于分析和簡化記號，假定平衡點(diǎn)都是什么呢？狀態(tài)空間的原點(diǎn)。對于非線性系統(tǒng)，如果給定一特定的平衡點(diǎn)x*，同樣可以進(jìn)行變換：可以證明（4.2）和（4.3）的解一一對應(yīng)。,研究（4.2）在平衡點(diǎn)x*附近的行為的問題研究（4.3）在原點(diǎn)附近的行為的問題。,上海交通大學(xué)自動化系,公稱運(yùn)動假定x*（t）是系統(tǒng)（4.2）對應(yīng)于初始狀態(tài)x*（0）x0的公稱運(yùn)動軌跡，假定受擾的初始狀態(tài)x（0）x0+x0現(xiàn)在的問題是研究如何變化？,上海交通大學(xué)自動化系,研究（4.4）的平衡點(diǎn)0的穩(wěn)定性的問題,注意：（4.4）是一非自治系統(tǒng),上海交通大學(xué)自動化系,例4.1考慮下面的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)現(xiàn)在的問題是確定初始位置為x0時運(yùn)動x*（t）的穩(wěn)定性解：擾動初始位置x0為x0+x0則關(guān)于運(yùn)動誤差的等價微分方程為顯然，它是一非自治系統(tǒng)。注：對于線性系統(tǒng)而言，其等價系統(tǒng)仍是自治的。,上海交通大學(xué)自動化系,4.2Lyapunov穩(wěn)定性的概念定義：如果對于任意的R0，存在r0使得當(dāng)時，對于所有的t0都有則平衡狀態(tài)x0是穩(wěn)定的，反之則是不穩(wěn)定的。,上海交通大學(xué)自動化系,幾何解釋,上海交通大學(xué)自動化系,例4.2判斷下述系統(tǒng)的穩(wěn)定性,上海交通大學(xué)自動化系,圖4.2VanderPol振蕩器的不穩(wěn)定原點(diǎn),上海交通大學(xué)自動化系,漸近穩(wěn)定性和指數(shù)穩(wěn)定性定義：如果平衡點(diǎn)0穩(wěn)定，并且存在某個正數(shù)r使得隱含著當(dāng)t時，x（t）0，則稱它漸近穩(wěn)定。,思考：穩(wěn)定的條件是否需要？答案是：需要，為什么？,上海交通大學(xué)自動化系,A穩(wěn)定,B漸近穩(wěn)定,C不穩(wěn)定,上海交通大學(xué)自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,上海交通大學(xué)自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,若偏移一點(diǎn),上海交通大學(xué)自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,上海交通大學(xué)自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,若偏移一下,上海交通大學(xué)自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,上海交通大學(xué)自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,若偏移一下,上海交通大學(xué)自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,上海交通大學(xué)自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,若偏移一下,上海交通大學(xué)自動化系,穩(wěn)定,不穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,曲面無摩擦,曲面有摩擦,上海交通大學(xué)自動化系,漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近的運(yùn)動軌跡,上海交通大學(xué)自動化系,平衡點(diǎn)的吸引域起始于其內(nèi)的軌跡最終都收斂于原點(diǎn)的所有點(diǎn)的集合工程上，有時還要求盡快回到平衡點(diǎn)0指數(shù)穩(wěn)定的定義如果存在兩個嚴(yán)格的正數(shù)和，使得在原點(diǎn)的某個領(lǐng)域Br上，有則稱平衡點(diǎn)0是指數(shù)穩(wěn)定的。,上海交通大學(xué)自動化系,含義：指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)的狀態(tài)向量收斂到原點(diǎn)的速度比指數(shù)函數(shù)還快。,指數(shù)穩(wěn)定,漸近穩(wěn)定,指數(shù)穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定之間的關(guān)系,漸近穩(wěn)定,指數(shù)穩(wěn)定,？,答案：No。漸近穩(wěn)定并不能保證指數(shù)穩(wěn)定,利用指數(shù)穩(wěn)定性可以給出任意時刻狀態(tài)的界,上海交通大學(xué)自動化系,局部和全局穩(wěn)定性的概念如果對于狀態(tài)空間上的任意初始狀態(tài)，都是漸近穩(wěn)定（指數(shù)穩(wěn)定），則稱原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定（指數(shù)穩(wěn)定）,線性時不變系統(tǒng)要么是漸近穩(wěn)定的，臨界穩(wěn)定，不穩(wěn)定，而漸近穩(wěn)定也總是指數(shù)穩(wěn)定和全局穩(wěn)定的。（自動控制原理中沒有細(xì)分的原因）,上海交通大學(xué)自動化系,4.3線性化和局部穩(wěn)定性,Lyapunov線性化關(guān)心的是非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。直覺：非線性系統(tǒng)的局部的運(yùn)動特性應(yīng)該類似于其線性化近似。它就是將這種直覺理論化。Lyapunov線性化理論為對實(shí)際系統(tǒng)，應(yīng)用線性控制進(jìn)行穩(wěn)定設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。應(yīng)用線性控制進(jìn)行穩(wěn)定設(shè)計(jì)能保證原物理系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。,上海交通大學(xué)自動化系,假定f（x）是連續(xù)可微的，,非線性系統(tǒng)的線性化方法,原非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)的線性化或線性近似,上海交通大學(xué)自動化系,對于控制輸入為u的非自治系統(tǒng)如果f（0，0）0，則有：,上海交通大學(xué)自動化系,例4.3確定下述系統(tǒng)在原點(diǎn)的線性化近似,解：易于驗(yàn)證原點(diǎn)是該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，在該點(diǎn)的雅克比矩陣為:,線性化系統(tǒng),上海交通大學(xué)自動化系,線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定性和原非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系定理4.1（Lyapunov線性化方法）如果線性化系統(tǒng)是嚴(yán)格穩(wěn)定的，那么平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的（原非線性系統(tǒng)）；如果線性化系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，那么平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的（原非線性系統(tǒng)）；如果線性化系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，那么由線性近似得不到有關(guān)原非線性系統(tǒng)的任何結(jié)果。,上海交通大學(xué)自動化系,例4.4判斷下述倒立擺的兩個平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,平衡狀態(tài)：,上海交通大學(xué)自動化系,平衡點(diǎn)的情況線性化系統(tǒng)：容易看出當(dāng)b0時，該線性化系統(tǒng)嚴(yán)格穩(wěn)定，因此由定理4.1原非線性系統(tǒng)在該平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定。,上海交通大學(xué)自動化系,平衡點(diǎn)的情況線性化系統(tǒng)：容易看出當(dāng)b0時，該線性化系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此由定理4.1原非線性系統(tǒng)在該平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。,上海交通大學(xué)自動化系,例4.4確定下述系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和在原點(diǎn)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。,解：求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)：由f（x）0有平衡點(diǎn)為：,顯然，當(dāng)時，該系統(tǒng)只有一個平衡點(diǎn)x0。,上海交通大學(xué)自動化系,在x0處的線性化系統(tǒng)為：常數(shù)a取值不同，該線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定性也不同：a0：不穩(wěn)定a=0：無法確定,Lyapunov線性化方法：,上海交通大學(xué)自動化系,4.4Lyapunov直接方法基本思想：如果一個物理系統(tǒng)的總能量是連續(xù)消散的，那么該系統(tǒng)的狀態(tài)最終會回到平衡點(diǎn)。,先看一個非線性質(zhì)量阻尼彈簧系統(tǒng)：,動態(tài)方程：,上海交通大學(xué)自動化系,現(xiàn)在的問題：拉小車一段距離后釋放，其后的運(yùn)動是否穩(wěn)定？,目前，可利用的判定方法：根據(jù)定義和Lyapunov線性化方法。對于該系統(tǒng)，這兩種方法都不能應(yīng)用。為什么呢？第一種：要求知道一般解第二種：局部結(jié)論，或者線性化系統(tǒng)臨界穩(wěn)定,上海交通大學(xué)自動化系,該機(jī)械系統(tǒng)的總能量：,機(jī)械能量和穩(wěn)定性概念之間的關(guān)系：,零能量對應(yīng)于平衡點(diǎn)原點(diǎn)漸近穩(wěn)定性意味著機(jī)械能收斂到0不穩(wěn)定性與能量的增加有關(guān),上海交通大學(xué)自動化系,結(jié)論：標(biāo)量值（機(jī)械能）間接反映了狀態(tài)向量的大小，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由系統(tǒng)的機(jī)械能的變化來表征。,在運(yùn)動過程中能量的變化率,起始于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)的能量直到前都是連續(xù)消散的。進(jìn)一步，它必定停留在彈簧的自然長度處。,Lyapunov直接方法就是上述思想對一般復(fù)雜系統(tǒng)的推廣。,上海交通大學(xué)自動化系,4.4.1正定函數(shù)和Lyapunov函數(shù)上述能量函數(shù)有兩個性質(zhì)：（1）它是嚴(yán)格正值，當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)向量為0時才為0；（2）單調(diào)減小。上述性質(zhì)在這里用正定函數(shù)和Lyapunov函數(shù)來描述。,正定函數(shù)的定義:,如果一標(biāo)量函數(shù)V（x）滿足下述條件：（1）V（0）0；（2）則說它是局部正定函數(shù)。,上海交通大學(xué)自動化系,如果將上面的換成整個狀態(tài)空間，其性質(zhì)仍然成立，我們就說它是全局正定函數(shù)。,例如倒立擺的機(jī)械能為：,是局部正定的；而上述非線性質(zhì)量阻尼彈簧系統(tǒng)的機(jī)械能是全局正定的。注意：動能本身不是正定的。,上述定義中，隱含著原點(diǎn)為函數(shù)V的唯一最小點(diǎn)。,上海交通大學(xué)自動化系,正定函數(shù)的集合意義：,V,0,0.45,0.63,0.77,C=0.89,0,0.5,-1,-0.5,1,0.5,-1,-0.5,1,正定函數(shù)的典型形狀,正定函數(shù)的等高線表示,上海交通大學(xué)自動化系,類似地，正半定，負(fù)定，負(fù)半定,如果V（x）可微，,它也稱為V沿系統(tǒng)運(yùn)動軌跡的導(dǎo)數(shù),Lyapunov函數(shù)的定義：,如果函數(shù)V（x）滿足下述條件:（1）在球上，它是正定的；（2）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（3）沿任一運(yùn)動軌跡的其時間導(dǎo)數(shù)是負(fù)半定的。則稱V（x）為該系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)。,上海交通大學(xué)自動化系,x1,x2,1,-1,1,-1,0.5,上海交通大學(xué)自動化系,4.4.2平衡點(diǎn)定理,Lyapunov局部穩(wěn)定性定理定理4.2如果在一球上，如果存在一標(biāo)量函數(shù)V（x），具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且V（x）正定為負(fù)半定則平衡點(diǎn)0是穩(wěn)定的；如果球上是局部負(fù)定的，則平衡點(diǎn)0是漸近穩(wěn)定的。,上海交通大學(xué)自動化系,證明：使用Lyapunov函數(shù)的幾何解釋來證明（以n2的情況為例）,(a),(b),上海交通大學(xué)自動化系,證明穩(wěn)定性,根據(jù)定義證明：對于任意的正數(shù)R，存在一個嚴(yán)格正數(shù)r，使得起始于球內(nèi)的任一軌跡始終保持在球內(nèi)。,令m是V在球面上的最小值，由于V連續(xù)且正定，所以m一定存在且嚴(yán)格正；又由于V（0）0，所以，由V（x）的連續(xù)性，在原點(diǎn)的領(lǐng)域存在一個球，滿足,上海交通大學(xué)自動化系,由定理負(fù)半定的條件，可知，V將保持嚴(yán)格小于m，因此其軌跡不可能穿出球面綜上，結(jié)論得證。,下面考慮負(fù)定的情況：（反證法）起始于某個球內(nèi)的軌跡將保持在內(nèi)。由于V是下有界且連續(xù)減小，那么V趨向于極限L，即現(xiàn)假定:那么由V（0）0和V的連續(xù)性，在原點(diǎn)的領(lǐng)域存在一個球，軌跡將不會進(jìn)入該球,上海交通大學(xué)自動化系,另一方面，由于連續(xù)正定且有界，所以，一定大于某個嚴(yán)格正數(shù)L1。這意味著V將在有限時間V0-LL1內(nèi)從初值V0減小到小于L的某個值。這與假設(shè)矛盾。于是漸近穩(wěn)定性的結(jié)論得證。,應(yīng)用上述定理對非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析的步驟：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V（x）確定V沿著系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)問題：如何構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V（x）？,上海交通大學(xué)自動化系,例4.4倒立擺系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性（局部穩(wěn)定性）,考慮下述標(biāo)量函數(shù)：,可以驗(yàn)證它是局部正定函數(shù)。,那么由上述定理可知：該系統(tǒng)的原點(diǎn)是穩(wěn)定的。,上海交通大學(xué)自動化系,例4.5判斷下述系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性,首先構(gòu)造一正定函數(shù)如下：,V沿著系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù),在球內(nèi)局部負(fù)定，因此，由定理可知：該系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定。,上海交通大學(xué)自動化系,全局穩(wěn)定性的Lyapunov定理有時系統(tǒng)的工作范圍比較大，僅僅進(jìn)行局部穩(wěn)定性分析是不夠的，需要判斷全局穩(wěn)定性。你可能會想：將上述定理中的替換成整個狀態(tài)空間，局部正定換成全局就行了。但結(jié)論是：僅做這種替換是不夠的。還需對V附加條件：V（x）徑向無界。,上海交通大學(xué)自動化系,定理4.3（全局穩(wěn)定性）,假定存在一個標(biāo)量函數(shù)V具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)且滿足下列條件：,V（x）正定負(fù)定,則平衡點(diǎn)原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。證明：與前面的定理相同。,上海交通大學(xué)自動化系,附加徑向無界條件的原因：徑向無界可以保證其等高線是封閉的。,上海交通大學(xué)自動化系,例4.6判斷系統(tǒng)原點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。其中可以構(gòu)造Lyapunov函數(shù)候選：V是無界的，其導(dǎo)數(shù)為：,由定理4.3可知：原點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定。,思考題：判斷下述系統(tǒng)的平衡點(diǎn)原點(diǎn)的全局穩(wěn)定性（a）（b）,上海交通大學(xué)自動化系,說明：對于同一個系統(tǒng)，可能存在多個Lyapunov函數(shù)；如：如果V是某系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，則也是Lyapunov函數(shù)。其中，如果Lyapunov函數(shù)選擇得好，可以給出比較精確的結(jié)果：如對于倒立擺的例子而言，選擇函數(shù),上海交通大學(xué)自動化系,作為Lyapunov函數(shù)候選，則在原點(diǎn)的鄰域局部有,因此原點(diǎn)漸近穩(wěn)定,Lyapunov分析中的所有定理都是充分的。即：對于一個特定的Lyapunov函數(shù)候選，如果不滿足的條件，這時，并不能得出有關(guān)系統(tǒng)穩(wěn)定性的任何結(jié)論。,上海交通大學(xué)自動化系,4.4.3不變集定理,一方面，對于大多數(shù)系統(tǒng)都要求漸近穩(wěn)定性而在很多情況下僅是負(fù)半定的。如果這時應(yīng)用前面的定理只能得到穩(wěn)定的結(jié)果。但是這時有的系統(tǒng)實(shí)際是漸近穩(wěn)定的。問題是：如何進(jìn)一步給出有關(guān)漸近穩(wěn)定性的結(jié)論,LaSalle不變集定理就是其工具之一。,上海交通大學(xué)自動化系,不變集：它是平衡點(diǎn)概念的推廣,不變集的定義：如果起始于集合G內(nèi)任一點(diǎn)的系統(tǒng)的每條軌跡都始終保持在該集合G內(nèi)，則稱集合G為該系統(tǒng)的一個不變集。,平衡點(diǎn)是一個不變集，平衡點(diǎn)的吸引域也是一個不變集。最平凡的不變集是什么？狀態(tài)空間中系統(tǒng)的軌跡是否是一不變集？為什么？,上海交通大學(xué)自動化系,定理4.4（局部不變集定理）,考慮自治系統(tǒng)其中，f連續(xù)，V是一具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)。假定,對于某個l0，由所定義的區(qū)域有界對于中的所有x，,令R是內(nèi)使得的所有點(diǎn)的集合，而M是R上的最大不變集。則起始于的每條軌跡x(t)當(dāng)t時，趨向于M。,上海交通大學(xué)自動化系,注：定理中的最大是指所有不變集的并,該定理的幾何意義,V,上海交通大學(xué)自動化系,上述定理的證明要用到拓?fù)鋵W(xué)和實(shí)分析中的許多概念，這里我們略去證明。重點(diǎn)是如何應(yīng)用它。,例4.7,動態(tài)方程：,上海交通大學(xué)自動化系,應(yīng)用不變集定理可以判定原點(diǎn)實(shí)際上是漸近穩(wěn)定的。為此，我們需要證明不變集M僅含原點(diǎn)集合R是相平面上的水平軸。假定M含有位置不為0的點(diǎn)，那么，在該點(diǎn)處，其加速度這表示系統(tǒng)的軌跡會立即離開集合R，因此離開集合M。與不變集的定義矛盾。,上海交通大學(xué)自動化系,推論,考慮自治系統(tǒng)其中，f連續(xù)，V是一具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)。假定在原點(diǎn)的某個鄰域上,V（x）局部正定負(fù)半定令R是使得的所有點(diǎn)的集合，它不包含系統(tǒng)的任何軌跡（原點(diǎn)除外）,則原點(diǎn)漸近穩(wěn)定。,上海交通大學(xué)自動化系,定理4.5（全局不變集定理）,考慮自治系統(tǒng)其中，f連續(xù)，V是一具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)。假定,*在整個狀態(tài)空間上，當(dāng),令R是使得的所有點(diǎn)的集合，而M是R上的最大不變集。則系統(tǒng)的每條軌跡x(t)當(dāng)t時，全局漸近地收斂于于M。,上海交通大學(xué)自動化系,動態(tài)方程：,例4.8一類2階非線性系統(tǒng),其中，b和c是連續(xù)函數(shù)，且分別滿足下列符號條件：,它可以描述：具有非線性阻尼和彈簧的質(zhì)量阻尼彈簧系統(tǒng)；非線性RLC電路,上海交通大學(xué)自動化系,令R是使得即的所有點(diǎn)的集合，由于意味著所以R上的不變集M僅包含原點(diǎn)。所以由局部不變集定理，原點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。進(jìn)一步，如果則原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。,上海交通大學(xué)自動化系,4.5基于Lyapunov直接方法的系統(tǒng)分析,前面我們已經(jīng)得到了若干定理，現(xiàn)在你一定會認(rèn)為利用這些工具對實(shí)際的非線性控制系統(tǒng)的分析將非常容易前提：Lyapunov函數(shù)已知對一個復(fù)雜的非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行分析的難點(diǎn)：對于一個特定的問題如何構(gòu)造Lyapunov函數(shù)經(jīng)驗(yàn)、直覺、物理理解,上海交通大學(xué)自動化系,4.5.1線性時不變系統(tǒng)的Lyapunov分析,（數(shù)學(xué)準(zhǔn)備）,對稱、斜對稱、正定矩陣,如果則稱方陣M是對稱的；如果則稱方陣M是斜對稱的。,事實(shí)：,*任一方陣可以表示為一對稱矩陣和一斜對稱矩陣的和：,對稱,斜對稱,上海交通大學(xué)自動化系,*與斜對稱矩陣有關(guān)的二次型函數(shù)總是為0。即，如果M為一斜對稱矩陣，則有,利用這一點(diǎn)：我們在討論二次型函數(shù)時，可以假定M是對稱的，而不失一般性。,如果則稱方陣M為正定陣。,上海交通大學(xué)自動化系,事實(shí),（）正定（）的所有特征值為正（）所有的主子行列式為正上述三條等價。,上海交通大學(xué)自動化系,線性時不變系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù),對于該系統(tǒng)，可以考慮下述Lyapunov函數(shù)候選,其中，P是對稱正定陣,其中，,Lyapunov方程,上海交通大學(xué)自動化系,現(xiàn)在的問題：確定Q是否是正定的？我們知道：定理4.4僅僅是充分的，這種自然的方法有時會得不到結(jié)論。如對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，但Q不是正定的。,為此，看下面的例子：,如果取,顯然，Q不是正定的，因此得不到任何結(jié)論,上海交通大學(xué)自動化系,定理4.